Guía 11. Integrales de Línea, Integrales de Superficie

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo III
Guı́a #11: Integrales de Lı́nea y Superficie
22109
Rodrigo Vargas
1. Calcule la integral de lı́nea
Z
x2 dx + xydy entre el origen y (2, 1) a lo
Γ
largo de las siguientes curvas:
a) (2t, t2 ), 0 ≤ t ≤ 1
b) 2 sen π2 t, t , 0 ≤ t ≤ 1
c) (2t2 , t), 0 ≤ t ≤ 1
2. Evalúe cada una de las siguientes integrales de lı́nea:
Z
a)
x3 dx + y 9 dy en donde Γ es la curva que va desde (0, 0) hasta (π, 0)
Γ
a lo largo de la curva y = x3 sen2 x.
Z
b)
ex dx + ey dy en donde Γ es la curva que va desde (0, 0) hasta (π, 0)
Γ
a lo largo de la curva y = x3 sen2 x.
ZZ
3. Calcule
F~ · ~ndS directamente y usando el Teorema de la divergencia,
S
en donde
F~ = xyi + yzj + xyk ,
y ~n es el vector unitario normal a la superficie S la que consiste de la
superficie total que encierra la semi-esfera unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1, con
z ≥ 0.
4. Resuelva el problema anterior, pero ahora S es la superficie total que
encierra el cono de helado dado por
o
n
p
C = (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ∨ z ≥ x2 + y 2 .
1
5. Use el Teorema de la divergencia para calcular
ZZ
F~ · ~ndS en donde
S
F~ = 2xi + y 2j + z 2 k ,
y ~n es el vector unitario normal a la superficie de la esfera unitaria x2 +
y 2 + z 2 = 1.
ZZ
F~ · ~ndS en donde
6. Use el teorema de la divergencia para calcular
S
F~ = xy 2 i + x2 yj + xyk ,
y ~n es el vector normal unitario a la superficie del cilindro x2 + y 2 = 1,
superficie que incluye los correspondientes discos x2 + y 1 ≤ 1 para z = 1
y z = −1.
ZZ
7. Calcule
(∇×F~ )·~ndS sobre la superficie de la semiesfera x2 +y 2 +z 2 = 1
S
con z ≥ 0 incluyendo la superficie x2 + y 2 ≤ 1 para z = 0 y la función
vectorial:
F~ = y 2i + (2xyez + 3)j + (xy 3 cos z + z 4 )k .
ZZ
8. Use el Teorema de la divergencia para calcular
F~ · ~ndS para las siguS
ientes funciones:
a) F~ = xi + yj + zk
b) F~ = x2 i + y 2j + z 2 k
y ~n es el vector unitario normal a la superficie del cubo de lado unitario
centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes coordenados.
Z
9. Determine para cuales funciones la integral de lı́nea F~ · d~r es independiγ
ente del camino. Para aquellas que son independientes del camino, calcule
la integral a lo largo de la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1).
a) F~ = y 2 i + (2xyez + 3)j + (xy 3 cos z + z 4 )k
b) F~ = (2xyz 3 + z)i + x2 z 3 j + (3x2 yz 2 + x)k
c) F~ = xi + yj + zk
2
10. Encuentre la integral
ZZ
F~ · ~ndS, para las siguientes funciones en las
S
superficies que rodea al cubo de arista 2 y que se encuentra en posición
normal y centrado en el origen del sistema de coordenadas:
a) F~ = yzi + xzj + xyk
b) F~ = x2 i + y 2j + z 2 k
c) F~ = (x − y)i + (y − z)j + (x − y)k
d) F~ = (x + y)i + (y + z)j + (x + z)k
11. Resuelva el problema anterior, pero ahora integrando sobre la superficie
que envuelve al cuerpo limitado por el plano z = 0 y el paraboloide z =
1 − x2 − y 2 .
12. Hallar el área de una superficie en forma de helicoide dada por medio de
la función:
φ(u, v) = (u cos v, u sen v, v)
para (u, v) en el rectángulo [0, 1] × [0, 2π].
ZZ
13. Use el Teorema de Stokes para evaluar
(∇ × F~ ) · ~ndS en donde ~n es el
S
vector unitario normal a la superficie S que consiste de la porción ubicada
en el hemisferio superior del elipsoide x2 + (y/2)2 + (z/3)2 = 1 y la función
F~ está dada por
F~ = (x2 − y)i + xj + xyz 2 k .
Z
14. Use el Teorema de Stokes para evaluar y 3dx−x3 dy +z 3 dz en donde γ es
γ
la curva cerrada simple que resulta de la intersectar el cilindro x2 + y 2 = 1
y el plano x + y + z = 1 recorrida en sentido tal que la correspondiente
proyección de la curva en el plano x − y sea recorrida en sentido contrario
a los punteros del reloj. Compruebe su resultado integrando directamente.
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