Teorema de la Divergencia

2.11. Teorema de Gauss de la divergencia.
El Teorema de la divergencia es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de
Green en el plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una
integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida B, en la cual la
superficie S es su frontera.
Teorema. Sea B ⊆ R 3 una región sólida en el espacio limitada por una superficie
simple y cerrada S, con orientación positiva y sea F el campo vectorial definido por
F : A ⊆ ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) ,
tal
que
sus
funciones componentes F1 , F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de primer
orden en la región B y e incluso en S. Si n es el vector normal unitario correspondiente
a la orientación positiva de S, entonces:
w
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV
S
EJEMPLO 70. Utilice el
B
teorema de la Divergencia para evaluar la integral de
superficie del campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 3xy 2 , xe z , z 3 ) a través de la superficie del
sólido acotado por el cilindro y 2 + z 2 = 1 y los planos x = −1 y x = 2 .
Solución. El sólido acotado por la superficie S, puede escribirse como la unión de tres
superficies, a saber, S1 , S 2 y S3 , como se indica en la Figura 71. Al aplicar el Teorema
de la Divergencia
w
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV
S
B
= ∫∫∫ ∇ ⋅ ( 3 xy 2 , xe z , z 3 ) dV
B
= ∫∫∫ ( 3 y 2 + 0 + 3 z 2 ) dV
B
= 3∫
2
2π
1
∫ ∫ rdrdθ dx
−1 0
0
= 9π
Si se desea comprobar que en efecto
w
∫∫ F ⋅ ndS = 9π ,
se debe recordar que la
S
orientación positiva de esta superficie cerrada viene dada por la dirección en que los
vectores normales apuntan hacia fuera del sólido que encierra la superficie, así pues,
para la superficie S1 , y parametrizarla a través de la función , su vector normal en la
orientación positiva viene dada por n = gu × g v , para la superficie S 2 su vector unitario
normal viene dado por n = (1,0,0 ) y para la superficie S3 estaría dado por n = ( −1,0,0 ) ,
por lo que al aplicar las propiedades de la integral de superficie obtendríamos la
siguiente expresión
w
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS
S
S1
S2
S3
ˆ − F ⋅ idS
= ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ idS
∫∫ ˆ
S1
S2
S3
Se deja como ejercicio al lector esta comprobación.
Figura 71. Superficie S del Ejemplo 70.
EJEMPLO 71. Utilice el teorema de la Divergencia para evaluar la integral de
1


superficie del campo vectorial F ( x, y, z ) =  z 2 x, y 3 + tan z, x 2 z + y 2  a través de la
3


superficie del sólido acotado por la parte superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Solución. La superficie S que delimita a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 observada en la indica
en
la
Figura
72,
puede
ser
parametrizada
por
la
función
vectorial
g : ℜ2 → ℜ3 / g (φ ,θ ) = ( s en (ϕ ) cos (θ ) ,s en (ϕ ) sen (θ ) , cos (ϕ ) ) . Al aplicar el Teorema
de la Divergencia
w
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫ div ( F ) dV
S
B
1


= ∫∫∫ ∇ ⋅  z 2 x, y 3 + tan ( z ) , x 2 z + y 2  dV
3


B
= ∫∫∫ ( z 2 + y 2 + x 2 ) dV
B
=∫
2π
0
π
1
0
0
∫ ∫ r sen (ϕ ) drdϕ dθ
2
= 4π
Aquí si puede observar que el cálculo de la integral
w
∫∫ F ⋅ ndS
se realiza de una manera
S
más sencilla que si se hubiese resuelto la integral del campo vectorial F sobre la
superficie S.
Figura 72. Superficie S del Ejemplo 71.
EJERCICIOS PROPUESTO 2.11
1)
2)
3)