Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Universidad Autónoma del Estado de México
Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”
Academia de Matemáticas
Núcleo de formación: Matemáticas
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
para la asesoría en el área de matemáticas
M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.
JUNIO 2009
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
INDICE
Presentación………………………………………………………………………………………………4
Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6
Ejercicios……………………………………………………………………………… 7
Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8
Ejercicios…………………………………………………………………………………9
Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10
Ejercicios……………………………………………………………………………….11
Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12
Ejercicios………………………………………………………………………………..13
Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14
Ejercicios………………………………………………………………………………..14
Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15
Ejercicios………………………………………………………………………………..16
Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17
Ejercicios………………………………………………………………………………..18
Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20
Ejercicios…………………………………………………………………………………21
Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22
Ejercicios…………………………………………………………………………………23
Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24
Ejercicios…………………………………………………………………………………25
Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26
Ejercicios………………………………………………………………………………….27
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Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28
Ejercicios………………………………………………………………………………...29
Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30
Ejercicios…………………………………………………………………………………31
Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32
Ejercicios…………………………………………………………………………………33
Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34
Ejercicios…………………………………………………………………………………35
Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36
Ejercicios………………………………………………………………………………..38
Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39
Ejercicios………………………………………………………………………………..40
GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
PRESENTACION
El presente Cuaderno de ejercicios
de Cálculo Diferencial pretende
apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura
presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por
resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de este
cuaderno de ejercicios
encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le
permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los
ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.
Así, los ejercicios que resuelva le proveerán
de un conocimiento
básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más
completo. El cuaderno contiene ejemplos
de funciones, límites,
derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,
así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de
problemas prácticos.
De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir
consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de
Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se
entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión
personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría
disciplinaría.
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Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se
busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el
alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de
las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.
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Tema No. 1. Límite de una función.
Definición de función: Decir que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que cuando x
𝑥→0
está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
Ejemplo: Encuentre el lim
𝑥 2 −𝑥−6
𝑥→3
𝑥−3
Solución. Note que (𝑥 2 − 𝑥 − 6)/(𝑥 − 3) no está definido para x=3,
pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende
a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por
ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco
de álgebra para simplificar el problema.
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥2 − 𝑥 − 6
lim
= lim
= lim(𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
𝑥−3
𝑥−3
La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la
definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo
tanto, no se ha dividido entre cero.
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Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:
1. lim (2𝑥 − 8)
𝑥→3
Respuesta: -2
2
2. lim ( + 1)
𝑥→3 𝑥
3. lim (𝑥 2 − 3𝑥 + 1)
𝑥→−2
4. lim
Respuesta: 11
√9+𝑥 2
𝑥→4 𝑥−3
5. lim
𝑥 2 +3𝑥−4
𝑥−1
𝑥→1
Respuesta: 5
3
6. lim √5𝑥 + 7
𝑥→4
√5𝑥−√5
𝑥→1 1−𝑥
7. lim
8. lim
3−√4𝑥+1
𝑥→2 𝑥 2 −2𝑥
Respuesta: -1/3
Calcule el límite por la derecha de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3
Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:
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lim
|𝑥|
Respuesta: -1
𝑥→−4 𝑥
Tema No. 2. Límites trigonométricos.
El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los
teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)
Ejemplo: Hallar el valor del límite lim
(3𝑥−6) cos(𝑥−2)
𝑥→2
𝑥−2
En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte
trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si 𝑥 → 2
entonces 𝑥 − 2 → 0, así que al aplicar el teorema del límite de un
producto de dos funciones, se tiene:
lim
𝑥→2
(3𝑥−6) cos(𝑥−2)
𝑥−2
= lim
3𝑥−6
𝑥→2 𝑥−2
. lim cos(𝑥 − 2)
𝑥→2
En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación
cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después
se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de
la forma lim cos 𝑢 = 1, donde u=x-2, entonces
𝑢→0
3(𝑥 − 2)
. lim cos(𝑥 − 2)
𝑥→2 𝑥 − 2
𝑥−2→0
= lim
= lim 3
𝑥→2
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lim cos(𝑥 − 2)
𝑥−2→0
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= (3) (1)
=3
Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.
1. lim 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Respuesta: 0
𝑥→0
2. lim 6 cos(𝑥 − 1)
𝑥→1
3. lim [
2𝑥−1
𝑥→0 cos 𝑥
4. lim [
𝑥→3
5. lim [
𝑥→2
3𝑠𝑒𝑛2 (𝑥−3)
𝑥 2 −6𝑥+9
]
5𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥−2)
𝑥 2 +2𝑥
6. lim [(𝑥 2
𝑥→2
Respuesta: -1
]
𝑥−4
−6𝑥+8) cot(𝑥−2)
𝑥 2 +3𝑥+2
7. lim [(𝑥+2)
𝑥→−2
Respuesta: 5
]
sec(𝑥+2)
]
Respuesta: -1
]
8. lim 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 cos 2𝑥
𝑥→0
9. lim [
𝑥→2
7 𝑠𝑒𝑛(𝑥−2)sec(𝑥−2)
tan(𝑥−2)
]
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Respuesta:
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10. lim [
𝑥→0
2 𝑠𝑒𝑐𝑥
csc 𝑥
Respuesta: 0
]
Tema No. 3. Continuidad de una función.
Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son:
discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o
asintótica y discontinuidad de salto.
Ejemplo: Analizar la continuidad de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
𝑥+2
en x= -2,
en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de
discontinuidad corresponde.
Analizando la condición de continuidad
a) 𝑓(−2) =
b) lim
𝑥 2 −4
𝑥→−2 𝑥+2
(−2)2 −4
−2+2
= lim
=
𝑥→−2
0
0
No está definido en los números reales.
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥+2
= lim (𝑥 − 2) = −4
𝑥→−2
Existe en los números reales.
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Por lo tanto
𝑓(−2) ≠ lim
𝑥 2 −4
𝑥→−2 𝑥+2
No se cumple la condición de
continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.
Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no
en 2; si no lo es, explique por qué.
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 12
2. 𝑓(𝑥) =
3. 𝑔(𝑥) =
Respuesta: si
8
𝑥−2
3𝑥 2
𝑥−2
Respuesta: no, porque g (2) no existe.
4. 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1
5. ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3
Respuesta: no, porque h (2) no existe.
6. ℎ(𝑥) = |3 − 5𝑥 2 |
7. 𝑔(𝑡) =
8. 𝑔(𝑡) =
𝑡 3 −8
𝑡−2
Respuesta: no, porque g (2) no existe.
4𝑡−8
𝑡−2
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Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones
algebraicas racionales.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una
función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar
con cero el denominador.
Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función
2𝑥
𝑥 2 − 3𝑥
Igualando con cero el denominador:
𝑥 2 − 3𝑥 = 0
Resolviendo por factorización:
𝑥(𝑥 − 3) = 0
𝑥=0
𝑥=3
𝑓(𝑥) =
Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.
Calculando el límite de la función en estos dos puntos
a) Para x=0
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lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥 2 −3𝑥
= lim
2𝑥
𝑥→0 𝑥(𝑥−3)
=lim
2
2
=-
𝑥→0 𝑥−3
3
La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto
(0,-2/3)
Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes
funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se
presenta.
1.𝑓(𝑥) =
3𝑥−4
𝑥−2
Respuesta: Disc. evitable x=2
5
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥−3
3. 𝑓(𝑥) =
4. 𝑓(𝑥) =
5. 𝑓(𝑥) =
6.𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥 2 −4𝑥+3
Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3
8
𝑥2
6𝑥+3
𝑥 3 +5𝑥 2 −6𝑥
Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1
𝑥 3 −5𝑥
7. 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
2𝑥
𝑥 2 +1
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Respuesta: Continua
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Tema No. 5. Incrementos.
Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final
con el valor inicial y se denota por ∆𝑓(𝑥), eso es:
∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 )
Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, obtenga el incremento
de la función.
El incremento de la función se obtiene con:
∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
Entonces 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − 4(𝑥 + ∆𝑥) + 3
= 𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 3
Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la función, esto es
∆𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 3) − (𝑥 2 − 4𝑥 + 3)
= (2𝑥 + ∆𝑥 − 4)∆𝑥
Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones
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1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 − 7
Tema No. 6. La derivada de una función.
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos,
geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la
curva en ese punto.
Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5
Aplicando la definición de derivada:
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim
Resulta:
3(𝑥 + ℎ)2 + 4(𝑥 + ℎ) − 5 − (3𝑥 2 + 4𝑥 − 5)
= lim
ℎ→0
ℎ
Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos
indicados, se tiene:
3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5
= lim
ℎ→0
ℎ
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3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5
= lim
ℎ→0
ℎ
Simplificando
6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
Realizando la división
= lim (6𝑥 + 3ℎ + 4)
ℎ→0
Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se obtiene la derivada
de la función
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 4
Ejercicios: Utilizando la definición, calcule la derivada de las
siguientes funciones.
1.
2.
3.
4.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 7
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 6
𝑓(𝑥) = √2 𝑥 5
−2
5. 𝑓(𝑥) =
Respuesta: -3-4x
5
8. 𝑓(𝑥) =
10. 𝑓(𝑥) =
Respuesta: 2𝑥 + 1
Respuesta: 8𝑥 −5
𝑥4
6. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥
7. 𝑓(𝑥) = 9 − 3𝑥 − 2𝑥 2
9.𝑓(𝑥) =
Respuesta: 6𝑥 2
𝑥−3
1
Respuesta:
𝑥+3
3
4
𝑥+
−1
(𝑥+3)2
1
3
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Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas.
Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la
derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de
teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden
ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de
cálculo.
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) =
2
3𝑥 2
Transformando la función a la forma de potencia
2
𝑓(𝑥) = 𝑥 −2
3
Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la
función.
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =
=−
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2
(−2𝑥 −3 )
3
4 −3
𝑥
3
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=−
4
3𝑥 3
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 −3
2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 7 +2𝑥 − 6
3. 𝑓(𝑥) =
Respuesta: 9𝑥 −4
−8
Respuesta: -80𝑥 −11
𝑥 10
4.𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6𝑥 − 2
5. 𝑓(𝑥) =
3
Respuesta: −6𝑥 −6
5𝑥 5
6. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 10 + 12𝑥 7 − 5𝑥 4 + 8
6
7. 𝑓(𝑥) = √𝑥
Respuesta:
1
1
1
𝑥
𝑥
𝑥3
8. 𝑓(𝑥) = + 2-
9. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −5 + 2𝑥 −3
3
10. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 3 √𝑥 +
1
6
6 √𝑥 5
Respuesta:−15𝑥 −6 − 6𝑥 −4
3
𝑥3
−3
Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) =
3𝑥 2 −2𝑥
3𝑥
Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:
𝐷𝑥 [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)𝐷𝑥 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥 𝑔(𝑥)
]=
[𝑔(𝑥)]2
𝑔(𝑥)
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Aplicando el teorema correspondiente
3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥 2 − 2𝑥)(3) 18𝑥 2 − 6𝑥 − 9𝑥 2 + 6𝑥
=
=
(3𝑥)2
9𝑥 2
9𝑥 2
= 2=1
9𝑥
Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)(𝑥 3 + 1)
2. 𝑓(𝑥) = (𝑥 4 − 1)(𝑥 2 + 1)
3.𝑓(𝑥) =
1
3𝑥 2 +1
4. 𝑓(𝑥) =
Respuesta: 5𝑥 4 + 6𝑥 2 + 2𝑥
Respuesta:
−6𝑥
(3𝑥 2 +1)2
2
5𝑥 2 −1
5. 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
6. 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
Respuesta:
𝑥+1
2
(𝑥+1)2
𝑥−1
7. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2
Respuesta: 2x-2
8.𝑓(𝑥) = (5𝑥 2 − 3√𝑥)5
5
9.𝑓(𝑥) = √(2𝑥 2 − 3𝑥 + 1)3
10. 𝑓(𝑥) =
Respuesta:
12𝑥−9
5
5 √(2𝑥 2 −3𝑥+1)2
(2𝑥−5)7
2𝑥
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Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas
directas.
La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen
aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados
en el texto o en el prontuario o formulario.
Ejemplo: Hallar la derivada de la función
f(x) = tan 4x 3 − 2 cot x 2 + sec(2x − 1)
Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los
teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y
simplificando, se tiene:
Dx f(x) = sec 2 4x 3 Dx (4x 3 ) + 2 csc 2 x 2 Dx (x 2 )
+ sec(2x − 1) tan(2x − 1)Dx (2x − 1)
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= 12x 2 sec 2 4x 3 + 4x csc 2 x 2 + 2 sec(2x − 1) tan(2x − 1)
Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones
1. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 1)
2. 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 7
3
3. 𝑓(𝑥) = tan √𝑥
4.
5.
6.
7.
𝑓(𝑥) = sec(1 − 2𝑥 − 𝑥 3 )
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + cos 5𝑥
3
𝑓(𝑥) = cot √𝑥 − csc √𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛5 𝑥 5
Respuesta: 3 cos (3x-1)
Respuesta:
3
𝑠𝑒𝑐 2 √𝑥
3
3 √𝑥 2
Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x
Repuesta:25𝑥 4 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 5
8. 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛2 2𝑥
9. 𝑓(𝑥) =
10.
2𝑥−1
tan 5𝑥
𝑓(𝑥) = cos(tan 3𝑥)
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Respuesta: −3 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(tan 3𝑥)
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Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas
inversas.
Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas,
se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse
en el texto o en el prontuario o formulario.
Ejemplo: Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (4 − 5𝑥 3 )
Sí
u= 4-5𝑥 3 , utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =
1
√1−𝑢2
𝐷𝑥 𝑢
se
tiene:
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =
1
√1 − (4 −
=
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5𝑥 3 )2
𝐷𝑥 (4 − 5𝑥 3 )
−15𝑥 2
√1 − (4 − 5𝑥 3 )2
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Ejercicios: Derive las siguientes funciones:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 1)
Respuesta:
2
√1−(2𝑥−1)2
2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥 2 + 3)
3.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan(1 + 𝑥 + 𝑥 2 )
Respuesta:
1+2𝑥
Respuesta:
−1
1+(1+𝑥+𝑥 2 )2
4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot(3𝑥 2 − 1)
5. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sec(5 − 𝑥)
(5−𝑥)√(5−𝑥)2 −1
3
6. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 csc √𝑥
7. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot √𝑥
Respuesta:
−1
2 √𝑥
(1 + 𝑥)−1
8. 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
9. 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐 tan 5𝑥
cot 7𝑥
10. 𝑓(𝑥) = ( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)5
Respuesta:
15(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)4
√1−9𝑥 2
Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas.
Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los
teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto
o en el prontuario o formulario.
Ejemplo: Calcule la derivada de la función log 3 (𝑥 3 − 𝑥 2 + 1)
Considerando u= 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 , aplicando el teorema
1
𝐷𝑥 log 𝑎 𝑢 = log 𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢
𝑢
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =
se tiene:
1
log 3 𝑒 (3𝑥 2 − 2𝑥)
3
2
𝑥 −𝑥 +1
3𝑥 2 − 2𝑥
= 3
log 3 𝑒
𝑥 − 𝑥2 + 1
Ejemplo: Determine la derivada de la función 𝑦 = ln(6𝑥 2 + 3𝑥)
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
1
Considerando 𝑢 = 6𝑥 2 + 3𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 = 𝐷𝑥 𝑢, se
𝑢
tiene
𝐷𝑥 𝑦 =
1
(12𝑥 + 3)
6𝑥 2 + 3𝑥
=
12𝑥 + 3
6𝑥 2 + 3𝑥
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥 4 − 4𝑥 2 )
4𝑥 3 −8𝑥
Respuesta:
𝑥 4 −4𝑥 2
log 2 𝑒
2. 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥 2 − 𝑥)
3. 𝑓(𝑥) = tan(ln 𝑥 2 )
4. 𝑓(𝑥) = ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ln(tan 3𝑥)
5. 𝑓(𝑥) = ln(𝑡𝑎𝑛2 3𝑥)
6. 𝑓(𝑥) =
Respuesta:
6𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥
tan 3𝑥
cos 4𝑥
log 5𝑥
7. 𝑓(𝑥) = log 5 (𝑠𝑒𝑛 2𝑥)
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8. 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥 − 𝑥 2 ))
9. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos( ln 𝑥 2 )
10. 𝑓(𝑥) = √1 + ln 3𝑥
Respuesta:
1
2𝑥√1+ln 3𝑥
Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales.
Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los
teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el
libro de texto, en formulario o prontuario.
Ejemplo: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥
2 +𝑥
Considerando 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎𝐷𝑥 𝑢,
se tiene:
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥
2 +𝑥
ln 7 𝐷𝑥 (𝑥 2 + 𝑥)
Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene
la derivada de la función
= (2𝑥 + 1)7𝑥
2 +𝑥
ln 7
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒 cos 2𝑥
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Considerando 𝑢 = cos 2𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝐷𝑥 𝑢, se
tiene:
𝐷𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒 cos 2𝑥 𝐷𝑥 cos 2𝑥
Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la
derivada de la función
= −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑒 cos 2𝑥
Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2
Respuesta:2𝑥−2 ln 2
2. 𝑓(𝑥) = 74−𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 43𝑥
5. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
2 +𝑥
2 +3𝑥−8
6.𝑓(𝑥) = 𝑒 cos 𝑥
3
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Respuesta: −3𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3 𝑒 cos 𝑥
3
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Tema No.12. Derivación logarítmica.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada
de una función elevada a otra función y para efectuar la
demostración de teoremas para el cálculo de derivadas.
Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los
logaritmos:
a) ln 𝐴 𝐵 = ln 𝐴 + ln 𝐵
𝐴
b) ln = ln 𝐴 − ln 𝐵
𝐵
c) ln 𝐴𝑛 = 𝑛 ln 𝐴
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 5𝑥
Igualando la función con y
𝑦 = 𝑥 5𝑥
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Aplicando el logaritmo natural
ln 𝑦 = ln 𝑥 5𝑥
Aplicando la propiedad de los logaritmos
ln 𝑦 = 5𝑥 ln 𝑥
Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad
1
𝐷 𝑦 = 5𝑥 𝐷𝑥 ln 𝑥 + ln 𝑥 𝐷𝑥 (5𝑥)
𝑦 𝑥
1
= (5𝑥) + 5 ln 𝑥 = 5 + 5 ln 𝑥
𝑥
Despejando 𝐷𝑥 𝑦
𝐷𝑥 𝑦 = 𝑦(5 + 5 ln 𝑥)
Sustituyendo 𝑦 = 𝑥 5𝑥
𝐷𝑥 𝑥 5𝑥 = 5𝑥 5𝑥 + 5𝑥 5𝑥 ln 𝑥
Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga
la derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = (3𝑥)2𝑥
Respuesta: (3𝑥)2𝑥 (2 + 2 ln 3𝑥)
2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 )cos 2𝑥
3. 𝑓(𝑥) = (cos 3𝑥)𝑥+2 R:(cos 3𝑥)𝑥+2 ((−3𝑥 − 6)3𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠3𝑥)
4. 𝑓(𝑥) = (𝑥 5 − 5𝑥 2 )5𝑥−6
5. 𝑓(𝑥) = ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 )cot(3𝑥−1)
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Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función.
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como
resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la
derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y
a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas
de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la
ordinaria.
Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función
𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 2𝑥 6 − 5𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 + 2
La primera derivada de la función es:
𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥 6 + 12𝑥 5 − 20𝑥 3 + 24𝑥 2 − 2
La segunda derivada
𝐷𝑥2 𝑓(𝑥) = 42𝑥 5 + 60𝑥 4 − 60𝑥 2 + 48𝑥
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La tercera derivada
𝐷𝑥3 𝑓(𝑥) = 210𝑥 4 + 240𝑥 3 − 120𝑥 + 48
La cuarta derivada
𝐷𝑥4 𝑓(𝑥) = 840𝑥 3 + 720𝑥 2 − 120
La quinta derivada
𝐷𝑥5 𝑓(𝑥) = 2520𝑥 2 + 1440𝑥
Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 5 − 2𝑥 3
R: 240
2. 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥 − 3)
3. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 2)
4. 𝑓(𝑥) = √4𝑥 2 − 5
5. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1
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R.
105
√(2𝑥−1)9
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Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.
Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de
correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la
otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con
respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable
dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al
derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El
procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de
texto y en el formulario o prontuario.
Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con
respecto a x de la función
3𝑥 4 𝑦 2 + 3𝑥 2 = 𝑥𝑦 + 7
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Derivando con respecto a x
𝐷𝑥 (3𝑥 4 𝑦 2 ) + 𝐷𝑥 (3𝑥 2 )=𝐷𝑥 (𝑥𝑦) + 𝐷𝑥 (7)
Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥 4 𝑦 2
y 𝑥𝑦 se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.
Calculando las derivadas y representando por y ´
con respecto a x.
la derivada de y
6𝑥 4 𝑦𝑦´ + 12𝑥 3 𝑦 2 + 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦
Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que
contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los
términos
𝑦 ′ (6𝑥 4 𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 − 6𝑥
Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.
𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 − 6𝑥
𝑦 =
6𝑥 4 𝑦 − 𝑥
′
Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes
funciones
1. 𝑥𝑦 + 𝑥 3 = 𝑦 2
R: 𝑦 ′ =
𝑦+3𝑥 2
2𝑦−𝑥
2. 𝑥 3 + 𝑦 2 + cos 𝑥𝑦 = 3𝑥𝑦
3. 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 = 𝑦 2 − cos 𝑦
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4. 𝑥 3 + 𝑦 2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a
una curva.
Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad
inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación
geométrica de la derivada de una función real de variable real
continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta
tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante
la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la
geometría analítica para rectas
Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la
curva 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5𝑥 + 3 en el punto de abscisa x=0.
La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0
en la ecuación de la curva.
𝑓(0) = 3
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Entonces el punto de tangencia es P (0,3).
La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando
la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la
función es:
𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 5
El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:
𝑚 = 𝑓 ′ (0) = −5
Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo
un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:
𝑦 − 3 = −5(𝑥 − 0)
5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
La ecuación de la normal es:
1
𝑦 − 3 = (𝑥 − 0)
5
𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0
Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:
∝= 𝑎𝑛𝑔 tan 𝑚 = 𝑎𝑛𝑔 tan(−5)
∝= 101º
Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al
ángulo de la recta tangente, esto es:
𝛽 = 101º + 90º = 191º
Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la
curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas
rectas en el mismo plano.
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1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3, 𝑒𝑛 𝑥 = 1
2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 − 5,
R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0
𝑒𝑛 𝑥 = 1
3. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva
𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 , con ángulo de inclinación de 135°.
4. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 en x=-2
R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0
Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.
La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una
función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es
para realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin
embargo, en problemas de aplicación el objetivo principal es
determinar los valores máximos o mínimos que optimicen el problema.
Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así
como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el
procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la
primera y segunda derivada.
Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 3 , así como los intervalos en los cuales es
creciente y decreciente.
Derivando la función
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 9
Igualando con cero la primera derivada
3𝑥 2 − 6𝑥 − 9 = 0
Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los
puntos críticos
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
x-3=0
x=3
x+1=0
y
x=-1
Calculando la segunda derivada de la función
𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 6
Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.
X 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 6
𝑓 ′′ (𝑥) < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −1
-1 6(-1)-6=-12
𝑓 ′′ (𝑥) > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3
3 6(3)-6=12
Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de
sus ordenadas
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 3
x
-1 (−1)3 − 3(−1)2 -9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un máximo en (-1,8)
−3(3)2 − 9(3) + 3 = −24
3
Entonces se tiene un mínimo en (3,-24)
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función
es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos
mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera
derivada de la función.
La función es creciente en:
𝑥 ∈ (−∞, −1) y en (3,∞)
La función es decreciente en:
𝑥 ∈ (−1,3)
Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.
Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando
sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales
es creciente y decreciente.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 − 1
R: D (−∞, 3), 𝑀𝑖𝑛(−3,10), 𝐶(−3, ∞)
2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥 − 2
3. 𝑓(𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥 2
4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 7𝑥 + 2
5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 R: C(−∞, −4), 𝑚á𝑥(−4,19), 𝐷(−4, ∞)
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.
Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo
o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado
hasta el momento.
La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en
problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios
valores máximos o mínimos. No existe un método general que se
pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en
el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante
puede consultar.
Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la
vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos
singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se
presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán
comprobarse los puntos frontera.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria
parabólica, dada por la ecuación ℎ = −𝑡 2 + 8𝑡 − 13, donde h es la
altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que
alcanza su altura máxima y el valor de ésta.
En este caso la función objetivo a maximizar es ℎ = −𝑡 2 + 8𝑡 − 13
Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y
resolviendo la ecuación
ℎ′ = −2𝑡 + 8
−2𝑡 + 8 = 0
𝑡=4
Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4
La segunda derivada es
ℎ′′ = −2
En el punto crítico
ℎ′′ (4) = −2 < 0 entonces en t= 4 la función
presenta un máximo. Sustituyendo
t
en
h
se obtiene
ℎ = −(4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en
alcanzar la altura máxima que es de 3 metros.
Ejercicios:
1. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo donde tenga
180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior
e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las
dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la
menor cantidad de papel posible.
R. 14.95 X 22.43 cm
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de
alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o
rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera
que el área cercada sea máxima.
3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se
pueda hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de
lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.
R: 1024 pulgadas cubicas.
4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica,
dada por la ecuación ℎ = −
1
4
𝑡 2 + 60𝑡, donde h es la altura en
metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que
alcanza su altura máxima y el valor de esta.
5. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando
480 cm2 de lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para
que el volumen contenido en el sea máximo?
R. r, h=7.13 cm
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
GLOSARIO.
Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición
de un punto en el plano.
Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y
generalizar las cuestiones relativas a los números. Esto se consigue
utilizando letras para designar los números que se buscan; las reglas
operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en
aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo.
Amplitud. De un intervalo (a, b)
Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto,
pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.
Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de
continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca.
Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las
unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo
diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades
variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un
incremento.
Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que
determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
coordenadas rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y
es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y
la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto
guarda con respecto al eje X.
Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su
dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar
geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se
traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura
geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión
gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de
otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso
particular de curva.
Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de
una función.
Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente.
Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al
acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen
varias fórmulas para derivar.
Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la
variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta,
como es:
5𝑥𝑦 − 2𝑦 = 8, en este caso “y” es una función
implícita de x.
Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los
valores en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un
punto de inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando
a cero. Los valores de x que satisfacen a f’(x) se llaman valores
críticos.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la
operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como
es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k.
Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad
variable entre ciertos límites.
Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden
representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas
logaritmos, funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el
exponente es la variable.
Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función
depende del valor que se le asigne a otras variables.
Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para
obtener su valor.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 44
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
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México, Editorial Progreso.
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Universidad Autónoma del estado de México.
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