sopra un problema di geometría

Año II
Zaragoza 15 Diciembre de 1892
N ú m . 24
El
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
D I R E C T O R : D . Z O E L G . DE G A L D E A N Q
SOPRA UN PROBLEMA DI GEOMETRÍA
ISrOTA. D I "V- IIETA.1L.I
Nel núm.
17 del periódico Er. PROGRESO MATEMÁTICO O il Sig'^
Re-
yes y Prófíper ha data una elegante soluziono del problema; Dati una
'circónferenza e un triangolo ¿nscritto vi esm, detei-ininare sulla circon/rrrn~'i un pnnfo hih', i'ln- ¡ ¡ih'ili delle perpeodkolari condotte sni tve
laii del Iriamjoltj, cailano in tnia rcllaparallela ad un' altra retta data.y;
nel sucessivo núm. 18 dello stesso giornale (pa.u'. 177) il Sig'' E. Lemoine, per daré un esempio del come possa misurarsi la semplicitá dello
costrujiioni geometriclie confronta
la soluzione sopra accennata con
'J
altra ch' egli stesso aveva dato,
per lo stesso problema, fin dall'
anno ISSÍJ ^"l Ora io voglio indicare altre tre soluzioni di'l inohlima ncccnnalo. fra !<• i|ii;ili pai'iiu
che la iiriiiKi sia iioti'vnlr ¡H'V la
sua grande semplicitá.
Tutte e tre le mié soluzioni derivano semplicemente da due proprictá elementar! .li'lhi ¡larabola,
finí' (lal toorom.-i di Lainliert ("') e
(iallaliro che iNce essere la tangente nol vértice, pedale della curva ri<pfito al luoco; ni'Ua \n-\mn snln^^ione interviene, ()llr(> i due inaiicliu il teorema di l'oao'lrl ("**), nella 2.^ il Icnrcma di
I T. 1
•1 ./•
•') /
•••l
¡.
,1.1
,/:
M.
l'.'i':
rrll,, ,f,l
xrl pir
il t'i.
¡n-tí-
346
EL PROGRESO MATEMÁTICO
Brianchon e nella 3.", oltre questo. il tiorema di Steiner <'';"ma questa
terza soluzione, apparentemente piü complicata delle altre due ha
il vantaggío di non eaigere che il cerchio circoscritto al triangolo sía
tracciato.
/.» soluzione.—"Per un vértice qualunque A del triangolo ABC,
(v. fig. 1) conduco alia retta data r las perpendicolare, che incontrerá
ulteriormente la circonforenza in E: la parallela condotta peí punto E
al lato BC sega la circonferenza nel punto D, che é il cercato.
Dirá. Dalla eguaglianza degli angoli BAE, DAC, segué che il
punto O é il fuooo (proprio) della parábola inscritta nel triangolo
ABC e avente i diametri parallelí alia retta AE; dunque la retta di
Simpson corrispondente a D, ossia la tangente al vértice di questa parabola, é perpendicolare alia retta AE.
2.* soluzione. —Véi vértice (qualunque) A conduco la parallela AO
al lato BC, e per un punto arbitrario Q del lato AC la perpendicolare
QO alia retta data r: del punto O, comune a queste due rette, traccio
un segmento OP equipollente *' *> ad AB e finalmente unisco P e Q mediante una retta che segherú il lato AB nel punto R. I tre circoli circoscritti ai triangoli AQR, BRP, OPQ segano il cerchio dato nel punto
cercato D. (v. fig. 2).
Dim. La retta PQ c
tangente alia parábola
inscritta nel triangolo
ABCe avente i diametri
JÍS.Í.
perpendioolari alia retta
data r <*">; dunque il
punto D comune ai quattro circoli ABC, AQR,
BRP, CPQ (i il fuoco di
questa parábola: laretta
di Simpson relativa a D,
che é tangente al vértice della parábola ó dunque'parallela alia retta
data.
3.» soluzione.—^ieno (v. fig. 3) P„ Q i punti in cui i latí BC, AC
(•) Lt tre aUttze del Inangoh formato da trt tangtnti di una parábola t'incontrano tulla
dirtlriee.—VD% dimostnzione •l«m«nter« di quetto tvorem* pu6 laggent » p^g, 124-85 delle
Vorltnmgtn di Stemer. (Puta I, S.» edix.)
(•*) Parkllelo, egukle e del medMlmo tentó.
(***) Qaetto, per on noto coroUtrio del teorenuk di Sriancko» (r. per. ci. Cntiuuta, fíiométri* Pnvtclkt (1*1).
EL PROGRESO MATEMÁTICO
347
son segati dalla retta data d, parallela alia retta data r e passante per
Tortocentro íí dol triangolo ABC: costruisco la retta PQ come nella
soluzione 2.», poseía prendo AO, equipoUente a BP, e conduce da O,
'•—3?fr-7'-»—T*^'
la perpendicolare alia d, che incontrera il lato AC nel punto Qi; sia E
il punto comune alie rette PQ, P^Q,: le due rette CE, PQi si segano
nel punto cercato D.
Dini. Poiché l'ortocentro di un triangolo circosoritto a una parabola giace sulla direttrice, la retta d sari'i la direttrice della parábola
inscritta nel triangolo ABC ed avente i diametri perpendicolari alia
retta d; il punto cercato sart'i dunque il fuoco di questa parábola ossia
il polo di d rispetto ad essa. Ció posto, siccome le rette PQ, P,Q, sonó
tangenti della parábola, il punto D sariv il polo della retta P,Q. o
UIltDO 9 Norembra~1891.
(•) V. Crtmona, loe. cIL § 191. • <í»«tr». So Invece del teorem» di Brianchon si a-ioper» il
toorem» di Duargvti, «1 b»nno du« altri modl di risolvere il probiem» in discorfo.
348
EL PnOGHESO MATEMÁTICO
XTN'A. T 3 £ £ i C O S T R A . C I < 6 r 3 '
DEL TEOHElll DE ADICIÓN DE ARíil'IENTOS DE L.\S FUNCIONES ASiiULARES
Sean « y p dos ángulos positivos y a + ? < i : .
Tomando ab para origen de a y ba para origen de ¡3, trácense estos
ángulos <*•. Siendo a -}-?<':, los lados ar y be se encuentran en un
punto c, y forman un ángulo v suplemento de a + p .
Tomando cb por origen de 7, y trazando <'?<' y <•/! perpendiculares á
cb y á ab, tenemos
sen f
ae
aexbr
cdxab
(ic
ncy.bc
a ex be
cd
o
sen 7 =
bd
cd
ad
. ,- + - +
«<•
be
be
ae
De lo que resulta
sen (j + fi) = sen « eos p + sen ? eos »
Esta fórmula es evidente cuando 1 -i- ? = n.
Multiplicando ambos miembros por •—1 •'" i-", se obtiene
(—I)"' ^ " s e n ( a + ?i
= í—I)"" sen 3. ( —I;« sen 3 + ('—11" s3n ?. (—1)'" eos a
(i, haciendo
a - « - 4-1,
i = wr -1- 9,
sen (a+b) = sen n eos b + sen 6 eos a,
que tiene lugar, cualesquiera que sean los ángulos a y b.
Las f(>rmulas de adición, relativas á las otras funciones son consecuencias de ésta.
J. PKOKO TEIXEIKA.
Porto, Desombro de I89J.
(•) La fltrurft, que puede trazar ficilmento ti lector, He reluce i un trlAnsrulo do b.me ah y
vértice c, y «flsmás las perpcndicularp» ne y ci¡ trazailas respcctivamonte por a y c ílo»
lados be y nb.
EL PROGRESO MATEMÁTICO
349
SOBRE UNA FÓRMULA GEOMÉTRICA
por D. BOOOIJFHO aUUIABABS, oflolal de ingenisros.
Se sabe que desarrollando un cono recto de base elíptica, la curva
de la base del cono se transforma en otra, llamada transformada, con
el mismo perímetro que la primera.
A cada arco, pues, (i«i de la elipse de la base, corresponde otro
arco ds de la transformada tal, que
da,='d9
6
p, dO, = p . dO
siendo (p,, O,) y (p, 9) respectivamente las coordenadas de cualquier
punto de la curva de la base y de su transformada.
Como 9, y p, son conocidas, y p se puede expresar fácilmente en
función de 6¿, resultando la expresión anterior con una incógnita 6,
que vamos á determinar.
En efecto
d9 = -^L dO,
P
Pero el vector p, trazado desde el extremo del arco <ií, de la curva
de base, al centro do ésta tiene por expresión
V l-*;'co8'6,"
en la que í y A representan el semi-eje y la excentricidad de la elipse;
y el vector p, trazado desd« el extremo del arco da de la transformada
al centro del sector y que es igual á la generatriz del cono correspondiente al extremo del arco rfs,, tiene por expresión
V'"+
6»
1-*;*C08»8,
en lo que h representa la altura del cono recto.
Tenemos enseguida por sustitución
b•
rf9^_
f>
Si hacemos
•re
= 0,-2
^^
/jx
360
resulta
EL PnOGHKSO MATEMÁTICO
rfO,
= Í/O,
y
eos O, -= -+- sen 0^,
y por consiguiente la expresión (1 • se reduce á
5
Ahora, para O,— O ó 9^= -^ , es 9=^0 y además 'J,=2r 6 (¡^ = -¿ - ,
representado O el ángulo formado por las generatrices extremas del
sector en que se transforma el cono desarrollado, ángulo que designaremos por (ip.
Integi-ando después el 2." miembro de la fijrmula (2) entre --- y \ ,
resulta
5
\b^+h^
I
Vi-*'sen*0,
y procediendo á su determinación, se ve que depende de una integral
elíptica de 1." especie.
Desarrollando, se obtiene
.',
r,
sen'OrfOj + ...
Sustituyendo el paréntesis de la fórmula anterior por la integral
completa F, de 1." especie de Legondre, resulta
4bV,
La fórmula conocida
6
, „
„
sen- 0^ (V)., = 2»:
da, para m—2, m = 4 , M(=6,
1.3.5
im-V)
-^^^---- ^
2. 4. 0.. ..rn
respectivamente
'-
EL PnOGHESO MATIÍMATICO
361
i
1.3 J ^ 3 . 5
2 ' 2 . 4 ' 2. 47G
de lo que resulta la fórmula buscada
Si el cono fuese de revolución, tendríamos A-=0 y 6 = R, de donde
0,=
2 r. K
ó la fórmula conocida
1. (ip = 2 Tc R,
siendo I la generatriz del cono.
Aplicando el mismo procedimiento de cálculo á un cono de 2." grado en que la proyección del vértice no coincide con el centro de la
elipse de la base, llégase á un resultado más complicado para el valor
del ángulo Op.
'
Si hacemos un estudio idéntico sobre los conos de 2.° grado de
base parabólica ó hiperbólica, se obtienen también fórmulas bastante
complicadas, dejando por tanto de ser de gran aplicación. Por esto,
pues, nos abstenemos de presentar este estudio, para no prolongar
demasiado este artículo.
TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS
CONTINUACIÓ» (Véase págs. 195-207)
Respecto al lema II, en las igualdades (6) y (c) los términos medios que se eliminan sucesivamente son -— y - — , eliminación que
QP
conduce á la (e); otra eliminación del término medio -—- entre (d) y la
igualdad de la hipótesis conduce á la final (e) de la que se deduce inmediatamente la tesis.
El lema III de Pappus que hoy se ha transformado en un teorema
fundamental de la Geometría proyectiva, reducido á establecer la pro-
362
EL PROGRESO MATEMÁTICO
piedad de ser PERSPECTIVOS los puntos correspondientes de dos series
cuyas relaciones anarmónicas son iguales, se expone y demuestra como
sigue:
Si tres rectas AB, AC, AD se hallan cortadas por otras dos, HE, HD;
el rectángulo construido sobre HE y GF es al rectángulo construido sobre
HG y FE como el rectángulo sobre flB y DC es al rectángulo sobre
HD y BC.
DEMOSTRACIÓN. — Trazando LHK |! « á CAF y
LM II a á AK, se obtienen las proporciones
EF
FA '
• ¡ • • ^ ^ ^ ^
EH
AF
HL -^ FG
HL
HM'
[a]
Flg. U
luego
I I = | g <5 FG . EH = EF . HM.
Pero se tiene la identidad
GF . E H
EF.MH GF.EH
MH
EF . GH " EF . GH EF . GH ~ GH '
[*]
Además
, ,
^'^
HM
HL
HG ~ HK=
,
G F . EH
HL
^ " " ^ ° E F . G H ~ HK
w-
m
Trazándose la KN ||" á AB y considerando ahora los A" DAC y DKH,
ACB y KHN, se tiene
DC
DH
CA
^
CB
CA
HK
Pero se tiene la identidad
DC. BH
BC.DH
HK
luego DC. HN =
HN '
DC . HB
DC . HN
HB
HN •
Además, en los A" HNK y HLB se tiene
HL
HB
DC. HB
luego
CB. DH
HK ~ HN '
HL
HK
y de las relaciones [1] y [2] resulta la del enunciado.
Trazadas las paralelas LHK y LM á CAF y DA, hi diininacidn de
los segmentos auxiliares AF y LIJ por medio do las ifj-nalihnlis |(Í| y la
d e H M y HO por la |//Jy [t-J conduce a l a expresión jlj de -^'
lu mismo
que, después de trazarse KN paralela á AB, análogas eliminaciones
KL PROdHKSO MATEMÁTICO
'ób'ó
deCA, HK, etc., conduoon á la otra expresión [2| de -— , y de la eliHK.
minaci(5n final de esta razdii común resulta el enunciado del lema.
3 I. liemos diclio ípáf''. H2) que los teoremas resultan d(i las construcciones auxiliares que enlazan una figura con otra, hasta el momento en que deban destacarse como las líneas principales de un dibujo aquellos elementos que constituyen el teorema constituido por
la hipótesis y la tesis, resaltado que se obtiene, según acabamos de
observar en los ejemplos anteriores, por una eliniinaoiiui de trTiiiinos
medios. Y como la red de relaciones intermedias puede tener iinii variación indefinida, y como además en el proceso inventivo so [lui'di'
cambiar también el orden de los elementos enlazados y cambiar á voluntad de términos extremos, cabe alterar el caudal de teoremas en la
expresión ó síntesis científica, puede darse formas distintas á este
organismo, bajo la influencia subjetiva de cada autor, ó bajo el predominio del grado de progreso á que la generalización ilo las ideas en
cada época ha llegado.
Así, por ejemplo, las diversas proposiciones (|U(' anmició l'appuK
con el nombre de lemas y que demostn') empleando razonamiculos
particulares y distintos para cada uno, según hemos visto, y según
damos á conocer detalladamente en nuestra Geometría elemental (páginas 100-195, 228-234, parte 2."), hoy so condensan ó incluyen en proposiciones más gotKM'ales de las que resultan ])articuiarizi\ndo alguno
de elemenln^ (pío ontran en su onnnniado. Así es coniíi lus lomas
X. \ l . Xl\' W l y XIX oslan iiioliiídds on ol 111 y lus T, 11, \', \ | y \'1T
e n o l l W o.\i)rosaiiili) ósd', sogi'iii ol ni(i:|i) do vri' aolnal. la rclaoiiíii
general de involuciiln do sois pimlns y ol III la priipioilad l'niidainoiital di' las fiüaii'as perspectivas. ^• r.n sido lioiims do nolai' osla dilorencia en los enunciados, sino adornas on los prooodiniionliis donídstrativos; pues mientras ol procedimiento úc. los gocimotras griegos,
como hemos visto por los ejemplos citados, consistía en la acumulación de proporciones dependientes del trazado d(! paralelas oportunamente elouidas, liiiy sin dojar de emplear este procedimiento on un
principio, el enunciado sucesivo de proposiciones cada vez más gonerales que sintetizan toda una teoría, hace mas fácil y breve la luarcliade la inteligencia que pasa fácilmente do uno áoti'o do estus piiutns
culiuinanlos (pío sdii on la rog¡('m de las ideas \n (pío los vi'rlioos d(t
primor miloii de mía Iriaiígidaoiiín uvodi-sioa, á los oualos (jiiodaii rolondds luo.iin IdddS los dclallos S.M'II iidarios.
l-ji creolii. rriini'raiiieiili' I ms de oliservar (pío on la ('pooa moderna se considera la rulaciíju aiuiriiKinioa, por lo cual so o\ Jta una
'óol
Ki. ['Ko(;ni-:s(» MATKM.vnr.o
ri'¡)etición de enunciados y demostraciones, pues toila propiedad inpendiente del valor numérico es aplicable lo mismo á la una que á la
utiM. 2." Kstablecida la propiedad ¡¡rovecliva de dichas relaciones así
como (le las series liomojírálicas de |)nntos y en involiiciíin, y también
líi posibilidad do formar con ellas sistemas perspectivos, hoy se pne*\iín abarcar, desde puntos de vista comunes, multitud de lemas de
J'a])pus y de pt)rismas de Euclides, que según el estilo antiguo so
enunciaban y demostraban separada é independientemente'*'.
(SI: contiitiiaii'i).
Z. G. Di; (J.
REVISTA BIBLIOGRÁFICA
VorlMunguen iiher <lic Al¡i<'h-a ih'r Liit/ik (exacto Logik) von Krnst
Schroder.—Zweiter Band. er.ste Abteihing 0891). —Ya en el tomo I de
esta lievista (págs. l.'i!)-142, 11)0-203), dimos cuenta detallada, si bien
no tanto cual merecía, del primer tomo de esta obra magistral en que
el sabio profesor <le la Escuela Técnica superior de Karlsruhe in
Haden lia sintetizado esta nueva rama científica, lioy objeto de insistente estudio en los Estados Unidos, Inglaterra, Alemania y también
en Italia, (jue cuenta al Hr. J'eano como uno do los más asiduos representantes ríe este linaje do conocimientos. Hoy vamos á insistir en
nuestra tarea, con motivo de haber aparecido el primer cuaderno correspondiente al tomo II de la obra del Sr. Schi'íidcr; pero antes de
entrar en materia liaremos la siguiente
Aci-AiiAciúx. - Ya hace tiempo (jue el sabio autor do la obra en
cuestión, nos dirigió algunas oportunas reflexiones con motivo do que
en las páginas 140 y 141 del tomo I de este periódido, al ocuparnos
de su excelente obra, tradujimos EinorJtmng por coordinación y SubKiinitionsurtcile por juicio coordinatorio •'Coordinados entre sí se llaman los diferentes individuos que pertenecen á una misma especie,
ó las especies que pertenecen á un mismo género; pero aquí, añade
(•) Ciortameiito que ya co el texto de Pappus acorea d* los poriitma? so inauiRenta quo
loíi difz porii^mad colut-adoR al principio de Hn primer libro pueden eonfonfíriie en uatvfílo emiriadu; Jttidan ctt'itnt rirtfin '/«'' if ' <irt(fu iluti ,i ilt*f. gi ít-fji df ío* punto» ilt iutfrtfct'ióit ¡titiimlnn
fu fina fíe e/íii», n ihm niilaiii'-tifr i-ti ti r^mn dil juií'fütUsiHO, fitiin 'Iniliin ío*! detir permaneciMi
!lj(>«) y huí ittroíi ihix nr hilUati mij, í m ú fitriumitier S'tbre »nn tfri/t dftilft^ fí ñltimo fM/tirá liiuiít'iin giftmdii gohn' una, rti'tii dada t-u jiutíriíin, (uuot'íatlo que cxlicude á un uúniero cualquiera
de rectas, si bien roronoce ilivtio ^fúmetra la difh-tiltai do reunir vario» porÍHtn;v3 en un 8:>lo
enuni'iado.
Ki, PHOííRKso I\ÍATI:MATICO
355
el Sr. Hcliríidor, lo que se había do expresar era la relaci(')ii de una
especie á su g(''nero. El problema os difícil, siendo la palabra alemana
Einordiíiing de feclia reciente; y á no sor posible traducirla por una
palabra nueva, acaso implicación '*', correspondiente á la voz in<ilesa
implicatiim podría sor preferible...,.
Al hacer esta rectificación importante, cuyo orifíon ha sido la diíicultad de emplear nuevos vocablos, aprovechamos esta ocasiíui paia
manifestar que la introducic)n do las palabras mibsumpción y juicio.'^
siihsumptiros que sabemos emplea nuestro ilustrado ami^o y colaborador de El, PiioíiHESo MATEMÁTICO D . Ventura Reyes Prdsi)er en ia
traducción compendiada que prepara de El Algebra de la Lógica, i'osolven'a satisfactoriamente esta dificultad y evitaría todo equívoco.
*
*
Principia el tomo II de la obra del Sr. Scliriider considerando la
variedad de una dimensión, que es el tiempo, ofreciendo la representación de la siibsumpcioH aib (") por la recta, cuyos puntos son los elementos del tiempo, de manera que corresponde á cada punto un momento. El »no representa la totalidad del tiempo en sus dos sentidos
el pasado y el futuro, el cero se expresa por el abverbio, jamás, distinguiéndolos el autor del O y 1 de los cálculos de las clases y do los
dominios con un punto sobrepuesto.
Si a representa la proposición «í^ x 2 es 4, y b que c2 x 2 os 5 las
expresiones
(í == i
y
h
<l
indicarán su realidad respectivamente, la oxistoncia ó no oxist<uio¡a de
talos relaciones. O por ejemplo, si a n^irosenta (¡uo la uuisa dol
mundo es constante» y d que «la materia os porccodora, tondirmos
a = 1 y d - 0.
l'na subsumpción:
a < b
entre dos expresiones, significa: El tiempo durant(í el que la expresión
a es cierta, se halla contenido en ol tiempo durante ol que b es ciorti;»
es decir siempre que a siibni-fte, KHIIKÍSIC también b, (> cuando a subsiste ó es, también b es ó subsiste*, ' d e a so sigue (f(dgt) b.> y dos expresiones serán entro sí equivalentes cuando tanto, como a < b, también
o
i"l
Kn c«i.»ño! imi>li<-"cwu 6 ii„¡il¡r„i„h t^xprcna o|.ii)¡úii do (.•.•niiim» o n t i - KI.
l'>.i- cíiMM-iT ili' loM si>.ni"s lliidiírnlici.:- cmiiloadus en la ubrii (!,•! Sr. s, IMDII.I-. «• li.iii
li'iililo i|iifc HUjillr ion ofrus dinliuto^.
356
EL PROCnESO MATEMÁTICO
es h ( a., es decir, cuando siempre que al realizarse la una, la otra también se realiza, y recíprocamente.
Siendo cierto que 2 x 2 = 4, 0 = 0 y no siéndolo que 2 x 2 = 5 (5 que
1=0, se tendrá por ejemplo, que
(O = 0) = i
y
(I = 0) = O
como expresión de la validez 6 no validez de las proposiciones.
También citaremos entre otras las subsumpciones a < i, í < i que a
corresponden á proposiciones como estas:Mientras el solbrilla,es 2 x 2
= 4 , mientras la masa del mundo es constante es 2 x 2 = 4, etc.
Después de razonar el Sr Schroder detenidamente estos puntos
fundamentales, trata del producto y de la suma de las expresiones, que
como ya se indicó al ocuparnos del tomo I de su obra, corresponden
respectivamente á las conjunciones copulativa y disyuntiva: y, o. Así:
no solo (« = ) «la materia es imperecedora,> sino que además (6 = ) la
fuerza no puede crearse ni aniquilarse «es una expresión producto
(AuBsagcnprodukt) ab.
Respecto á los juicios ocasionales, cuando a y 6 representan expresiones ocasionales enlazadas por la subsumpción a^ b, se entiende
que la expresión a se halla contenida ó subordinada á la clase de las
ocasiones en la que la expresión * es verdadera. Así por ejemplo si
a significa.- El cuadrilátero ABCÜ es un rombo, y b que «en el cuadrilátero ABOD- las diagonales son perpendiculares, se tendrá que
a < 6, es decir, cuando un cuadrilátero es un rombo, sus diagonales
son perpendiculares.
En el artículo 29 de la obra de que tratamos, dos nuevos signos se
ofrecen á la consideración del lector, signos de producto y de suma
(Produktenzeichetu, Sinnmemekhens):
H , S, I I , í , etc., que se
refieren á uno ó á varios dominios x; x, y, etc. de la variedad (Mannigfaltigkeit) 1, que además de servirle para la exposición de 51 teoremas acompañados de corolarios y definiciones, le sirven en el artículo 30 para establecer algunas consideraaciones acerca de la teoría
del dualUtita á que corresponden dichos dos signos.
Citaremos de entre dichas proposiciones las siguientes:
I
PuiNCii'io DE LA IDENTIDAD
II
PRINCIPIO DEL BILOQISIÍO
(a^a)=l
ó más breve
(Barbara).
(rtXA)(6 <<•)<(« ( <•)
DEFINICIÓN DE LA IQÜALOAD
2)
Teorema
(OÍ < *) {b < a)
(a < b) (b = c) < (a < c)
- (« =
6)
a <_a.
EL PnOGRESO MATEMÁTICO
357
Definición del nulo y del uno idénticos i'J
2x)
01»
I 2+)
a(_l
DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y DE SUMA
(c <, a) {cJLb) = {cA. ab)
\ {a±c) {b ( c) (. (a + b (<•)
En el § 31 expone y desenvuelve los principios del cálculo de las
expresiones y trata de la inconsistencia, cuyos dos símbolos capitales
son O y I.
Trata de las expresiones producto y suma, que como se ha dicho
corresponden á las conjunciones copulativa y disyuntiva.
Así el principio expresado en la fórmula
(A + B==¡) = (A = i) + (B = l)
significa. Si A es ó es B también es A ó B.
La expresión
(A-t-B) C i AC + BC
se lee: Es A ó B y además C; luego es A con C ó B con C.
. Trata asimismo de la negación de la expresión A que se designa
por A,
Así las negaciones de
A=(a(.ft) y A = (ffl=6)
son (a <ft),==Aiy (a=6)|=A,
empleando también para la negación de una expresión los signos de
la subordinación supraordinaoión é igualdad combinados con una
raya vertical, etc.
a:^b={a=b)i
Los principios de contradicción, de exclusión y de la doble negación se expresan por
AA,-o, A+A,--=¡, A„r(A,), y (A,), AA.
Esta última por ejemplo, expresa que cuando A es, la negación do
A debe ser falsa.
La expresión
(A34B) = (B,J^A,)
expresa la conversión del juicio hipotético por contraposición.
En ella pueden sustituirse A con A, y B con Bj resultando
(Ai^J^B) = (B. J ^ A ) ,
(A J^Bi) = ( B ^ A . )
68 decir, que: Es B cuando A no es, así como es también A cuando B no
(*) Lft expresifu nula es un» blpdtosls admisible para toda coiicluslóu, y una expresidn i
ra una oonolusMn admiaible para toda hipótesis.
ir)8
Ki. PRor.nKso MATKM.vnno
es, de igual modo que no es H cuando A CJ*, aa! como no es A cuando es ]i.
Además los juicios
A < H,
y
H < A,
son equivalentes y pueden representarse por la igualdail
AH~o6
inconsistencia (de inconsistency). V una inconsistencia, por ejemplo,
ABC = o equivale á cada una de las subsumpciones
AIM..C,,
AC < H,,
nC < A,,
correspondiendo la inconsistencia al juicio disyuntivo <) juicio alternativo que se representa por la forma A + B=:i (A es ó bien es A 6 es B).
y también citaremos la igualdad
(A = i) + (A = o) = I
Pasa el autor á tratar del peso de las expresiones, y á hacer numerosas verificaciones de los teoremas del cálculo de éstas.
Basta transcribir las siguientes expresiones:
(A=o) = (A, = ¡) = A , , (Ai:o) = (A=o),=(A,), = A , (A + o) = (A = i) etc.
para comprender los diversos modos de expresarse la negación en
este cálculo; de manera que «mi desigualdad con su segttndo miembro
cero eqiiiiHile á una igualdad con el segundo miembro i, etc.
Además una subsumpción A L B admite la forma de igualdad
A, + B.
(A J ^ B ) ^- (AB, = o)^] (\n,), - I ! = (A, -f B = i) = A, + B
Oon estos preliminares y la consideración del peso A,B de la subsumpciiín A ' - B , observándose además que: cuando el peso de una sn/jSiimpción es igual á O puede reducirse á una igualdad, y recíprocamente
puede el Sr. Scliríider entrar de lleno en el cálculo de las expri;siones
de las que ofrece una larga serie de ejemplos correspondientes á teoremas de esta nueva rama de la ciencia.
El § 3H de la obra, tiene por objeto tratar del silogismo en sus formas conocidas universales y particulares, afirmativo y negativo que
como se sabe, se representan por las letras a, c, i, o. Y solo diremos
que la igualdad «A = wB corresponde á los juicios particulares y
aun las expresiones
AB^o,
AB.io,
traducen los juicios i, o, es decir, que algunos A son B, algunos A son
no tí.
Las cinco relaciones elementales posibles de (íergonne y las catorce relaciones fundamentales, son el punto de partida de los ultorio-
KI. PHOfiHKSO MATKMATICO
M50
res y amplios dosarrollos con que el Sr. Schrodor continúa dando á
conocer el Alfíchra de la Lófíica.
Distinf^iK! los dos casos « y rt,, el primero correspondiente á la cxclnsi()n (representado en las liuiiras freométricas (¡ue aconii»añan al
texto con dos círcidos exteriores), y el sefriindo á que corresponden
los otros cuatro casos: el de la identidad <i— h, los dos de la inclusiíín
total de A en H ó de H en A y en fin, la parcial de uno en otro, ú sea
«j»" = o, «,«" = Y, rt,'" -= P, a," = «.
í.as tres relaciones elementales «, p, Y, difieren de las
d ~{X -: H) (ÍOífo A cv ^tí(/o 15j, /•= A ( H; (<«f?o A c^f «o7r> ah/ún ]\]
c = A ) B: (wlo algún A <?# <tif/o U)
porque en aquéllas A y B son siempre distintas do O, mientras que
en éstas, ((/, /, e\ se admiten los casos A = o, B = o .
En íin, la relación « = «7 correspondiente á sólo algún A es sólo
algún H.
Estas relaciones con sus respectivas negaciones (por ejemplo
í?i--{A-4~B¡=r¡A=uti fítc.) forman los siete pares de relaciones fundamentales en que estriban los ulteriores desarrollos, á saber: la re(inrrión mutua de las 7'elariones elementales y fundamentales, objeto
del S ;{•').
Así, cuando
¡ = rt + >
' + p + Y + í,
será <?,=« + ? + y + í .
Será además
f
6 = A" + ? + 8
1
V
(se tiene A = | B = o 1 j etc.
La reducción de todas las relaciones á tipos de igualdades y sus negaciones ea objeto del § 36 en que se expresan estas reducciones mediante cuadros sinópticos, así como el desarrollo de los productos y
sumas de las relaciones fundamentales.
El § 39 tiene por objeto la representación de las relaciones por
medio de las series imaginables de relación por medio de las cuatro
relaciones primitivas, según Morgan:
rt= I AB = o ! , c = I AB,=o I , 6 = I A , B = o j , í = í A,B,=o I
y sus negaciones a, = | AB=t:o ) etc. expuestas en varios cuadros sinópticos, terminando con la enumeración de Peano de las expresiones
posibles con respecto á n clases.
Trata el § 40 del problema de Mitchel sobre las expresiones simultáneas, compuestas de sumas y productos; en el 41 de la eliminación
resuelto para un par de casos especiales típicos, y el § 42 está dcslil
360
EL PROGKESO MATEUÁTICO
nado al silogismo, aplicando en el estudio de sus modos y sus figuras
las modernas notaciones; el § 43 tiene por objeto los resultados obtenidos por Miss Ladd Frankiin acerca de los quince modos admisibles
en el cálculo, luego de los silogismos incompletos de los antiguos y
de su representación en la Lógica exacta, estableciendo diferencia que
existe entre esta lógica y la de los antiguos en el problema de la conversión silogística.
Detalladamente da á conocer enseguida el Sr. Schriider las particularidades del cálculo de las expresiones con relación al de los dominios del que difiere en el empleo de los valores O y 1, separándose
de éste por la adición de la hipótesis (a = i) = a.
No permitiéndonos nuestra reseña bibliográfica el extendernos
tanto como fuera nuestro deseo, nos limitaremos á citar de entre las
numerosas proposiciones las siguientes:
Sx) aA^\{aA^h)A^b
\
8+) hiA^\ {a J^h) S^a^
EX) {aij)a^b
I
E+) ( a l . 6 ) 6 , < a ,
ó traducidas al lenguaje común: Si a et, también debe ser b, cuando b
resulta de a. Si b no es, también debe no ser a, cuando b resulta de a.
Si a es, también b. Pero a es, luego b es. Si a es, también b. Pero b no
es; luego a no es.
Citaremos también el dilema
(« ( a-hb + c + ) (a ( p) {b±p) ¿^(s Lp)
Si B es, y es también ó a, ó b, ó c, Si ahora es a, también p, cuando
b es también p, ; luego, cuando s es, también es p.
Sólo diremos del § 46 que contiene una serie de teoremas y métodos de Hauber, Mitchell, McCoU, Peirce, etc., concernientes á esta novísima teoría.
El § 47 trata de las definiciones de los individuos, puntos y sus
correspondencias,de los teoremas referentes á los individuos, así como
de la dualidad.
El punto se toma como individuo de la variedad de puntos, representándose diversos individuos con las notaciones t', t*, P,
Si un dominio a entra parcialmente en un dominio x, se tiene la
desigualdad axé=o; y si a representa un punto ó un individuo i, tendremos
(.rí/=o) A j (txio) {iyzLo) = o | o
E^ta fórmula nos basta para hacer notar como este cálculo referente al dominio de puntos, y que lleve al autor á la consideración de
(*) Por cftrencia d«l tigno d« U Di>ir«cl<a de U iru^dad, M b* emplaula otro parorido.
KL PROGRESO MATEMÁTICO
361
las formas geométricas, línea, superficie, volumen y aun al espacio
en general, se efectúa según las reglas y transformaciones de que ya
hemos ofrecido algunos ejemplos. Citaremos aún, para terminar, las
siguientes:
(/(_<«) (í <rt,) = O,
(/ ( rt) + (t (.a,) = i
y
(ílrt + A) = {iLa) + iXb),
esto es: cuando un individuo «« a o b, debe ó ser a o ser b.
Termina el cuaderno de que nos ocupamos con ampliaciones sobre
el silogismo y sobre las cláusulas.
A sequel to the first six books of the Elements of Euclid by John
Casey (1892). Esta notabilísima obrita es ya conocida por los aficionados á los estudios geométricos, la cual, como se sabe, constituye una
colección de teoremas y cuestiones de las teorías más modernas, completada por el tratado Recent elementary Geometry (Geometría elemental reciente), de que se dio cuenta en el tomo I.° de EL PROGRESO MATEMÁTICO.
Sólo vamos á indicar alguna de las adiciones que han hecho los
editores en esta edición (que es la 6."), á la anterior, después de enunciar las materias contenidas en las odio primeras secciones, que no
difieren de las de la edición anterior.
En el 1." libro se contienen, entre multitud de teoremas, los que
conocemos en la teoría del centro de las distancias proporcionales y
algunos relativos á máximos y mínimos. El libro 2.° teoremas relativos á relaciones métricas, los libros 3.», 4.» y 5.» tratan de propiedades del círculo. El libro G." contiene proposiciones correspondientes
á las teorías de transversales y de los triángulos perspeotivos, los
centros de semejanza, teoría de la relación armónica, teoría de la inversión, círculos coaxiales, teoría de la razón anarmónica, ídem de
los polos y polares, acompañando á cada libro multitud de cuestiones
interesantes.
En el capítulo suplementario que comprende la Geometría elemental reciente es donde se notan considerables adiciones.
La sección 1.* se halla aumentada con una serie de problemas nuevos, algunos acerca del centroide (centro de gravedad del triángulo).
Así, siendo M, N, P tres puntos de los lados BC, CA, AB tales que
BM : MC :: CN : NA : : AP : PB; demostrar que ABC y MNP tienen el
mismo centroide (Pappus).
Sobre los lados BC, CA, AB se construyen los triángulos semefantes
3<}2
EL PROGRESO MATEMÁTICO
A'BC, B'CA, C'AB; demostrar que loa triángulos ABC, A'B'C tienen el
mismo centroide (Laisant).
En fin, hay varios problemas nuevos de los señores Boutin, Martin, Brocard, Neuberg, Lemoine, etc.
También se nota en la sección 1.» el aumento de las definiciones
de los puntos complementarios y anticomplementarios, y de la figura
complementaria de una figura dada.
Supuesto que se han trazado las rectas AM, BM, CM prolongadas
hasta encontrar al lado opuesto del triángulo ABC en M,, M,, M3 y
los conjugados armónicos m,, m¡, tn^ de éstos con relación á los lados
respectivos del triángulo, se demuestra que >n,, m^, ui^ son colineales
hallándose en ]a,polar de M respecto al triángulo, 6polar trilinealde M,
que es á su vez su polo trilineal. Se deduce además, entre otros resultados especiales, que el polo trilineal del ortocentro es la línea hj hj h.,
ó ejeórticode H, H, 11, (siendo H,, Hj, H3 los pies de las tres alturas).
En la sección 2.» se halla aumentado el artículo relativo á dos figuras inmersamente semejantes, principiando por demostrar la existencia
del punto y de la línea dobles.
Después de tratarse de los círculos de Lemoine, Tucker y Taylor,
ya expuestos en las ediciones anteriores, y del sistema de tres figuras
semejantes, además de algunos ejercicios nuevos, se da á conocer ei
punto director respecto á una triada de puntos I*,, P , , ! ^ de h\, h\, F^.
Se encuentra en la edición de que se trata definido también el
círculo ortocentroidal, es decir, cuyo diámetro es la recta que une ei
ortocentro H y el centroide (}; y considerándose las proyecciones
a, b, c de Q sobre las alturas, así como las de H sobre las medianas, y
supuestas sobre las alturas tres figuras semejantes, se demuestra que
a, bf c, es el triángulo de semejanza de Tn, T», Te , que a, b, c son
puntos invariables, etc., y se deducen varias propiedades del punto
simediano (de Lemoine) del círculo de Apolonio, etc.
A continuación de los polígonos armónicos y de la teoría general de
las figuras asociadas se advierte, en fin, un considerable aumento, que
constituye toda la sección 8."; y sin entrar en detalles, citaremos los
epígrafes de las varias cuestiones tratadas, á saber: Metapolos de dos
triángulos.- Triángulos pedales y antipedales.—Triángulos ortológicos. - Cuadrángulos metapolares. — Par tripolar.—Centros isogono é
isodinámíco de un triángulo.—Trasformación armdnica de un triángulo.—Círculos adjuntos. — Triángulos quibrocardianos.—Inversión
Bímétrica.- Círculos tritangentes, terminando la obra con una colección aumentada de ejercicios.
EL PROüRKSO MATEMÁTICO
363
Letona de Cinétnatiqne et de Dinamique suivies de la détermination
des centres de gravite, par X. Antotnare. —Librairie Nony, 1892. Consta
esta obra de tres libros: I Cinemática. —\l Dinámica.—\ll Estática.
El libro I se divide en cinco capítulos: I." Velocidad y aceleración
consideradas como magnitudes numéricas.—2.» Velocidad y aceleración consideradas como vectores.—3.o Movimientos proyectados y
empleo de las coordenadas rectilíneas para el estudio del movimiento
de un punto.—4.0 Ue los movimientos relativos y de la composición
de los movimientos.—5.0 Estudio de algunos movimientos y aplicaciones.—Ejercicios.
El libro II se divide en ocho capítulos á saber: 1.° Los principios
generales de la dinámica.—2.» Movimiento de los proyectiles en el
vacío. —3." Proporcionalidad de las fuerzas y délas aceleraciones;
masa.—4.» Valor de una fuerza; definición de una resultante; composición y descomposición de las fuerzas. — 5.» Ecuaciones del movimiento de un punto material sometido á fuerzas conocidas; aplicaciones.—6.°Traba,jo y fuerza viva.—7."Fuerzas centrales y movimiento
de los planetas.—8.» Movimiento de un punto sobre una curva <i sobre
una superficie fijas.—Ejercicios.
El libro III cuyo objeto es la determinación de los centros de gravedad trata sucesivamente de: Nociones preliminares; teoremas generales; centros de gravedad de las líneas; centros de gravedad de superficies; centros de gravedad de volúmenes; aplicaciones de los
centros de gravedad; teoremas de Quldin; ejercicios.
La obra consta de 320 páginas en 4.", y si el autor ha expuesto
con claridad y sencillez los principios fundamentales de la mecánica,
no poco contribuye también lo esmerado de la parte tipográfica á hacer en extremo fácil la lectura y comprensión de la obra escrita con
arreglo al programa de admisión de la Escuela Politécnica de París,
y con excelente método.
Complemento elemental de Geometría y Trigonometría rectilínea, por
D. Manuel Salavera, catedrático de Matemáticas.—Tarragona, 1892.
Ya en el tomo I de este periódico, al ocuparnos de El complemento
elemental de Aritmética y Algebra, publicado también por el Sr. Salavera, manifestamos cuan grato es para todo el que se interesa por los
adelantos de las ciencias en España el hecho de aparecer obras distintas de aquéllas que, al parecer fundidas en un mismo molde, nos
agobian por su muchedumbre, y sólo difieren entre sí esencialmente
por el nombre que llevan en la portada.
El Sr. Salavera ha hecho una recopilación en oxtromo útil de todas
364
EL PROGRESO MATEMÁTICO
aqueliaB teorías y conceptos que, presentándose como difíciles y elevadas para el principiante, se hallan á su vez en los umbrales de nuevos dominios, cuya superioridad exigen cierto momento de reposo y
de reconcentración con objeto de adquirir las fuerzas impulsivas suficientes para continuar la inteligencia su ascendente proceso. El espíritu que informa las dos obras del Sr. Salavera tiene algo de lo que
caracteriza á la sección media, que en Francia se denomina matemáticas especiales, preparación muy conveniente para poder después dirigirse de modo expedito por cualquier región de dicha ciencia.
De cuatro partes consta la obra, desenvuelta en la extensión de
185 páginas en 4.° En la primera hallamos un capítulo destinado á los
métodos generales de n'solttción y demostración, que comprenden los de
intersección, por simetría, de equivalencias, proporciones y analogías.
En seguida los métodos clásicos, que reduce á un corto número de procedimientos generales de que hace uso la Geometría moderna para
demostrar y resolver muchas cuestiones, tratando de los de relaciones
métricas, de las medidas, analítico, con la interpretación de las soluciones. El capítulo III, con que termina la primera parte, tiene por objeto
los lugares geométricos.
La 2.* parte comienza exponiendo la utilidad de la consideración
de los signos, que justiñca mediante algunos ejemplos. Siguen las
primeras nociones de geometría infinitesimal con la exposición de los
teoremas fundamentales relativos á la sustitución de variables en relaciones y sumas. En el capítulo 2." que trata de la división segmentaria, se ocupa el autor de los primeros teoremas en que interviene la
relación armónica y el haz armónico, así como á continuación lo hace
del polo y la polar; luego de la división anarmónica. En el capítulo IV
el objeto es las antiparalelas en el plano y en el espacio. En el capítulo V se trata del eje y centro radical y circunferencias ortogonales.
La 3.* parte consta de cinco capítulos. En el 1.», teoría de las transversales se demuestran los teoremas de Menelao, Ceva, de Gergonne
y Chasles, tratándose del baricentro, el exágono de Fasoal, el cuadrilátero completo. En fin, continuando la reseña del contenido de la obra
tenemos: Capítulo II. Homología; Homotecia directa ó inversa.—Capítulo n i . Proyecciones; Perspectiva; Punto y recta en el infinito; Construcción de las figuras perspectivas.—Cap. IV, Propiedades proyectívas; Propiedades proyeotivas aplicables á las cónicas.— Capítulo V.
Correlación; Dualidad de las figuras planas: Dualidad en el espacio.
La 4.* parte trata de la inversión en el plano y en el espacio, concluyendo la obra con unas nociones de l¡iO&>metría elemental reciente.
A.IlT±OtTIiOS
BlBIjIOGUtAnOOS
Piglnai
G. de Galdcano.—VonÁuxnenú di Geomotric á piú dlmensioni di
G. Veronese,
28, 56 y
Iteijcs y Pri')sper. — F.rnc%\x> Sclirñder, sus merecimientos ante la
gica, etc., etc
G. do Ga/í/cano.—Gi'omótrie analitique par M. G. de Longcliamps. .
Reyes y /'rósper.—Charles Santiago Peirce y Osear Howard Mitcliell
Id.
Dogson.—Curiosa matlienialica
G. de Gaí(/crtrto.—Revista biljliográíioa
Id.
Principi di lógica esposti secondo le doctrine moderno
G. (/c £.o/i^rA«í)»/)8.-Le calcul des serios convergentes, . . . 10 y
GMí'mrtrat'í—Nota sobre la construcción dcuna normal á una elip8e,19 y
J3roco/'t/.—Sur une questfon d'Arilhmétique,
25, 8!) y
GaWrt—Estudio del triángulo infinitesimal
ir*ecc/v(.—Determinación del lado del pentedecágono regular convexo
inscripto, etc
G. TcírciVa.—Sobre la descomposición do las funciones elípticas «n u,
cft«, etc., en fracciones simples
Marchand.—^Mv le reclification des ares do courbes dites Limai;ons
Pascal
G. da G«¿i/earto.—Teoremas, problemas y métodos geomótricos, 75,
105, 195, 318 y
Ví^artí!'.—Geometría del triángulo, algunas propiedades de los triángulos podares, etc.,
97, 173 y
rorro/a.—Nota relativa á la perpcndiculnridad de rectas y planos . .
Lflaola.—Un teorema do Geometría esférica,
120 y
Ptro/w/im'.—Ligne d'intersoction d'une surfacc de revolution avec un
cilindre, etc
129y
flrtrtíaio/.—Integrales definidas
Lewiotftc—Sobre un nnHodo do comparación de las resoluciones geométricas
Brocarrf.—Nota sobre la proyección estereográfica
Czariana.—Introducción al estudio do las intégralos culcrianas. . .
110
ló33
148
170
2(>5
270
337
87
119
114
41
58
65
68
851
187
108
262
IGl
13?
177
182
190
Gomes TotíFeí/'a.—Sobre el desarrollo de p(u) en serie de fracciones
simples
Ccar'c'o.—Sobro algunas notas de Geometría iiifliiitesimal
G. í/e Ga/(/carto.—La evolución de la Geometría del triángulo . . .
Id.
Nota acercado los poliedros de cuatro dimensiones.
Schiappa Monlciro—Sur un tlieoW.'me relaiif A la tln-orie des nombres.
Lampe.—NOVA matemática
Brocard.—Ñola, sobre la cuestión .52
AVi/eje/. — Introduction aux méiliodes gúomótriques de H. Grassmann,
281 y
G. de Longchamps—Sobre las igualdades de dos grados
C/«ív«nrt.—Nuevos puntos de vista en MalemíUicas
/?(?<«/<. —Sopra un problema di (ieometria
Teixeira (J. Pedro). - Una demostración del teorema de adición de argumentos de las funciones angulares
G«//««raM.—Sobro una fórmula gcomi-trifa."
207
212
217
223
257
269
276
.332
313
328
34Í)
348
319
.AasrtTisroios B i B x . i o c a - £ i A F X o o s
PoH/at«. —Synopsis der Hoclircn Matliemalik, von J. Hagen . . .
G. de Galdeano.—Cálculo de los números aproximados, etc., por Fernández de Prado y Alvarez Sereix
Id.
Problemas de Geom. analy. par E. Mosnat . . .
¡d.
l'romiei's principes d'Algebre por C. A. Laisanl .
Id.
Gino Loria, Nicola Pérgola, etc
/(/.
Jornal de scicncias matemáticas
Id.
Rivistadi Matemática
.5!)
W)
123
2(56
267
27.'>
275
F l i : . O S O F ± . A . X^A.TSS.rCA'PZaJi.
ñeijes ij Próaper. — Nota acerca de la Geometría proyectiva sobre la
superficie esférica,
7 y
10
Pcarto. —Principios de lógica matemática
20 y 4!)
Reyes ij Prósper.—Proyecto de calificación de los es<M'itos lógico-simbólicos, etc
229
-v.A.xtzs r> A. z> s s
G. de Galdeano. - A nuestros lectores
/(/.
Necrología
Id.
A nuestros lectoi-os
Ba«a(/¿mí.—Teorema remitido por el señor
3
60
217
232
CXTBSXIOlSrBS I»ROI»XJBSTA.S
Desde la 41 hasta la 98.
OXTBSTXOXa-BS
RSST7BZ^TA.8
2, B, 4, 5, 12, 27, 28, 83, 34, 36, 3», 43, 41, 4.5, 48, 17, 48, 49, 50, 52, 55, .57.
59, 01,62, m, 72, 77, 79, 393.
E R R A T A S Y OMISIONES
rt«-
Lfnea
Dice
Debe decir
119
121
7
11
A= 0
áng.'°" d i e d r o s
137
137
138
138
140
24
24
6y8
25
23
a = l>
V ~a
13 = 0
ángulos planos y los remos de los
ángulos esféricos por remos de ángulos diedros
b—a
v=a
9
P
límite inferior
142
142
143
1
25 y 27
13
terminación
-f/(«)y/W
144
1
146
7
146
9
146
16
146 17,19, 20
160
3
160
(i
240
1
240
7
240
25
240
35
242
20
243
26
247
16
247
8
261
11
261
15
17
261
262
7
262
17
T(*)
de la
integración
<Ka)(íx
X''
suprímase
0
ApCDP'C
0
ll*„
a;
X
X
límite superior y el que corresponde
á la misma para el límite inferior
determinación
+
el mayor y menor valor de /(¿c) toma
en el intervalo {h—a\
1{d)
de las que corres ponden á la
cálculo
\^(p¡) dx
oí'
«El punto S es el punto doble etc.»
CY
APEDp'E'
0
B6'o
: ' :
•*
quitar el radical entre paréntesis
4R.y
IV" =
4B¿/
Bp'.f
ii.-: (mód. p)
r-í
± 1 (írto't/. />)
=^;
p - \
10 a =
20
tant
10 2 _ 1 =
10
tout
281
f(5r>(l)
282
282
283
284
285
287
288
288
4
6
11
8
11
15
9
17
( « . «^3)
* i i ) «««
(«3 < ' i ) - « . « «
297
4
«'
298
última
A»„A
a.
(X,
(e, e.¿)
(«I é Cg)
Q
P«3
«3 ^S-^i
Qi
P3
«1
a, fi, ( í , e.¿)
"3 «3 — « j í j
«sPl(«2^l)
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" l l 1 fltnil
(«a « , - « ! « , )
A. "A
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299
299
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1
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(' = AH(A+B)
341
Debe decir
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En las fcírmiilas (3!»i y f3!)rtj el expolíente 2 dehe estar sublineado.
inti'-rieur
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"•''•" (vn la2.-' f()rinula|
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Í - . AH
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7.»r»(foi».— ImprsoU d» (" Ariño, Co«o, 100. tiajo».