EXPRESIONES ALG EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Matemática
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Unidad N° 2
OBJETIVOS GENERALES
Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico y viceversa
Identificar a las expresiones algebraicas según sean racionales o irracionales, enteras o fraccionarias.
Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios
Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios
Simplificar y operar con expresiones algebraicas fraccionarias
Modelar situaciones
ones problemáticas con expresiones algebraicas
CONCEPTOS PREVIOS
Números Reales: Operaciones y Propiedades.
Lógica Proposicional: Conectivos y cuantificadores lógicos
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Unidad N° 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INTRODUCCIÓN
Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el
álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos
numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera
verbal.
Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información.
Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la información han crecido
enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión y conservar al mismo tiempo la
integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con
Prioridades). Con él la información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con
base en polinomios.
EXPRESION ALGEBRAICA
Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales vinculados entre sí
por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de exponente racional.
Ejemplos
a) 3 y 3 − y 2 + 2 y − 1
c)
2− a
5+a
b) 2 x 3 y + x −1 − 5 y
1

d)  x + y +
2


z

3
A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables.
Clasificación de las Expresiones Algebraicas
Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en

 Enteras


 Racionales 
Expresiones Algebraicas 
 Fraccionarias


 Irracionales

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Unidad N° 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las
variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no
negativo.
Ejemplos:
a) 2 x +
1
3
b) - y3 +
4
a y + 2a
5
3 - 4z
c)
Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta
afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador.
Ejemplos:
a) x + x – 2 + 1
b)
1
+ y x3 – 2 x–1
x
c)
2xa - 3
4x + 5a
Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un
exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación.
Ejemplos:
a)
x - 3x +
1
2
b) a
1
2
+ 5b – a2
TEORIA DE POLINOMIOS
Monomio
Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un
monomio es un polinomio de un solo término.
Grado de un Monomio
Es la suma de los exponentes de las letras( o variables) que contiene.
Ejemplos:
Monomios
Grado
6a
1
1
- xy2 z 3
3
6
2 mn 2
3
Monomios Semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplos:
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a) -2m3 n2 y
6 3 2
m n
5
b) 2 x
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y
-3x
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Polinomio
Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de
mayor grado que participa en él.
Casos particulares
Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios
Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios
Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios
Ejemplos:
Binomio
Clasificación
Grado
1
x− 2
x2 − 4
Binomios
2
− yx 2 + 2 y
3
a2 + 2 + b
2
− x 3 + 2x − 1
Trinomios
3
a 2 + 2 ab + b 2
2
2 x 2 + y + xy 3 − 1
4
x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Cuatrinomios
3
Polinomio Homogéneo
Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado.
Ejemplos:
4 x2 – 2 x y + y2
polinomio homogéneo de 2° grado
7 u3 v + 1/2 p 2 q z - z4
polinomio homogéneo de 4° grado
Polinomios en una variable
Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como:
P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0
Donde
n ∈ Ζ, n ≥ 0
se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x)
ai ∈ ℜ
se denominan coeficientes del polinomio
an ≠ 0
se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente
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Ejemplos
3 , 5 , 0 , -7 , 4
Coeficiente
principal
3
Término
independiente
4
- 2 ,0
8
- 2
8
0
Polinomio
Grado
Coeficientes
P(x) = 3x4 + 5x3-7x+4
4
Q(x) =- 2 x
R(x) = 8
1
0
8
Valor Numérico de un polinomio
P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0
Sea
Entonces
y
sea
x=c
P(c) = an.cn + an-1.cn-1 + …+a1.c + a0
valor que se obtiene al reemplazar x por c, lo llamaremos valor numérico de P(x) para x = c
Ejemplos:
P(x) = 3x4 + 5x3 - 7x + 4, entonces,
a) Si
P(0) = 4 y P(1) = 3.14 + 5.13 - 7.1 + 4 = 5
Q(x) = - 2 x, entonces,
b) Si
Q( 2 ) = - 2 . 2 = - 2
Q(0) = 0 y
c) Si
R(x) = 8, entonces,
R(0) = 8 y
R(c) = 8
Cero de un Polinomio
Sea P(x) . Se dice que b es cero de P ( x )
⇔
P( b ) = 0
Ejemplos:
a)
2
2 es cero de P( x ) = 2x − 4
b) 0 es cero de Q(x) = - 3x 3 + 2x 2
( )2 − 4 = 2.2 − 4 = 0
pues
P( 2 ) = 2 2
pues
Q(0) = - 3.03 + 2.02 = 0
Polinomio Ordenado
Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los
exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último.
Ejemplos
a) 1 - 2y3 + 3y5 + 5y7 esta ordenado en forma creciente
b) a3 + 2a2 + 3a
esta ordenado en forma decreciente
Polinomio Completo
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Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al
grado del polinomio.
Ejemplos:
a) 3 x2 – x + 2 x4 – 9 + 5 x3
1
3
b) y 3
1 2
1
y + 2y+
4
2
Si un polinomio esta incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con
coeficiente cero.
Ejemplo:
1
1
m + 3m 3 − 2 + m 5 = m5 + 0m4 + 3m3 + 0m2 + m 2
2
2
Polinomio Nulo
Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero.
Se escribe:
P(x) = 0
y se dice de él que no posee grado.
Polinomio Opuesto
Dado P( x) = an x n + an −1x n−1 + ... + a1x + a0
se llama polinomio opuesto de P(x) a : − P( x) = − an x n − an −1x n−1 − ... − a1x − a0
dado que:
P ( x) + [− P ( x ) ] = 0
Esto es, la suma de un polinomio con su opuesto, es el polinomio Nulo.
Ejemplo:
1 2
6 3 4
Si P( z ) = z − 3z + z + 3 , entonces
2
8
1
3
− P(z) = − z2 + 3z6 − z4 − 3
2
8
Igualdad entre Polinomios
Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes son
iguales.
En símbolos
Sean
P( x) = an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + a0
y
Q( x) = bn x n + bn−1x n−1 + ... + b1x + b0
diremos que:
P( x ) = Q( x )
⇒
gr P( x ) = gr Q( x ) y ai = bi con i = 0,1,…,n
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Ejemplo:
Hallar los valores de a, b, c y d para que P( x ) = Q( x ), donde
P( x ) = -3 x4 + 2 x2 + 5 x –2
Q( x ) = - a x4 + b x3 - c x2 - d x -2
y
Respuesta
Se observa que gr P(x) = 4 = gr Q(x)
Además debe cumplirse que -3 = -a, 0 = b, 2 = - c, 5 = - d y -2 = -2
Entonces se concluye que los valores de a, b, c y d para que estas condiciones se cumplan son: a = 3, b = 0,
c= – 2
y d = -5
Operaciones con polinomios
La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes
operaciones entre reales.
Suma de Polinomios
Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un polinomio de grado
menor o igual al grado del polinomio de mayor grado.
Resta de Polinomios
Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.
Producto de polinomios
Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un
polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.
Ejemplos:
1) Calcular:
a) (2 xy − 4 x 2 y) + (1 − x 2 y + xy − x) − ( x + 3xy − 5)
b) ( x − y 2 ) ( x + y 2 ) + (x + y )2
2) Sean
P(x) = x 4 + 2 x 3 − 3x 2 + 8
a) 2P(x) – x Q(x)
Respuestas
y
Q(x) = 2 x 2 −1 , calcular
c) [P(x) + Q(x)] . Q(x)
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1)
a) (2 xy − 4 x 2 y ) + (1 − x 2 y + xy − x) − ( x + 3xy − 5) = 2 xy − 4 x 2 y + 1 − x 2 y + xy − x − x − 3xy + 5
= − 5x2 y − 2x + 6
( )
2
b) ( x − y 2 ) ( x + y 2 ) + ( x + y) 2 = x 2 − y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = − y 4 + 2 x 2 + 2 xy + y 2
2)
a) 2P(x) – x Q(x) = 2 ( x 4 + 2 x3 − 3x 2 + 8) − x (2 x 2 − 1) = (2 x 4 + 4 x3 − 6 x 2 + 16) + (−2 x3 + x)
= 2x 4 + 2x 3 − 6x 2 + x + 16
[ P(x) + Q(x) ] . Q(x) = ( x 4 + 2 x 3 − x 2 + 7 ).( 2 x 2 − 1 )
b)
= 2 x 6 + 4 x 5 − 2 x 4 + 14 x 2 − x 4 − 2 x 3 + x 2 − 7
= 2 x 6 + 4 x 5 − 3 x 4 − 2 x 3 + 15 x 2 − 7
División de Polinomios en una variable
División de monomios entre si
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los
monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la
misma base. El resultado no siempre es un monomio
Ejemplos:
12 x 5
1)
3x
= −4 x 4
8x 5
2)
− 2x
4
= −2 x
3)
2x
4x
3
=
1 2
x
2
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un
polinomio
Ejemplo:
(− 3x 5 + 2x3 − 6x 2 ): (− 2x 2 ) = 32 x 3 − 2x + 3
División de Polinomios entre si
Sean P (x ) y Q ( x ) dos polinomios con Q ( x ) ≠ 0, tal que
gr P (x ) ≥ gr Q ( x )
Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que:
P ( x ) = Q ( x ).C ( x ) + R ( x )
con gr R (x ) < gr Q ( x ) .
Llamaremos a P (x) dividendo, a Q (x ) divisor, a C (x ) cociente y a R (x ) resto.
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P ( x)
R( x)
= C ( x) +
Q ( x)
Q ( x)
También puede expresarse:
Cuando R (x ) = 0, la división es exacta. Entonces,
P ( x ) = Q ( x ).C ( x )
y se dice que Q (x ) es un factor de P (x ) o que P (x ) es divisible por Q (x ) .
De ese modo se tendrá que:
P ( x)
= C ( x)
Q( x)
Algoritmo de la división
grP(x) ≥ grQ(x).
Sean P(x) y Q(x) tal que,
Para realizar la división P(x)/Q(x) se procede del siguiente modo
1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo
2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor
grado del divisor
3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor y se coloca
el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este
resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo
4) Se repiten los paso 2 y 3
5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.
Ejemplo
Sean P(x) = 2 x3 + 0 x2 + x – 1 y Q(x) = x2 – x + 2 . Calcular el cociente y el resto que se obtiene al dividir
P(x) en Q(x)
Respuesta
2 x3 + 0 x2 + x – 1
2 x3 - 2x2 + 4x
x2 – x + 2
2x + 2
2x2 – 3x - 1
2x2 – 2x + 4
- x - 5
Entonces C(x) = 2 x +2
Se puede escribir
O también
x −x+2
Caso particular
R(x) = - x – 5
2 x3 + x – 1 = (x2 – x +2).(2 x + 2) +(- x – 5)
2x 3 + x −1
2
y
= 2x + 2 +
− x −5
2
x −x+2
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Si gr Q(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero).
En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce
con el nombre de Regla de Ruffini.
Regla de Ruffini
Sean
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ....+ a1 x + a0
y
Q(x) = x - b
C(x) = cn-1xn-1 + cn-2xn-2 +....c1x + c0
un cociente,
La división de P(x) : Q(x) producirá
y un resto R
que se obtienen con el siguiente algoritmo:
1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo
2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números ya colocados
3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo:
i) cn-1 = an
ii) cn-2 = cn-1 . b + an-1
iii) cn-3 = cn-2 . b + an-2
iv) ........y así hasta que
v) R = c0 .b + a0
Ejemplo
Sean
P(x) = x5 + 12 x2 – x 3 + 8 ; Q(x) = x + 2.
Calcular el cociente y el resto que resulta al dividir
P(x) : Q(x)
1
-2
1
0
-1
12
0
8
-2
4
-6
-12
24
-2
3
6
-12
32
El cociente es C( x ) = x4 –2 x3 + 3 x2 + 6 x – 12 y R = 32
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Teorema del Resto
Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para
x = b. Esto es: R = P (b)
Ejemplos
1) Calcular el resto en la división de P(x) = -x2 + 2x – 1 en Q(x) = x 2) Determinar si las siguientes divisiones son exactas
a) ( x2 + 2x + 1 ) : ( x – 1 )
c) ( -x3 + 2x2 – 2) : ( x + ½)
b) (x3 + 1):( x + 1)
d) (x5
- 32) : ( x – 2 )
3) Calcular k para que P(x) = kx3 + 2x2 - 1 sea divisible por Q(x) = x + 1
Respuestas:
1) R = P( 2 ) = - ( 2 )2 + 2 2 – 1 = 2 2 - 3
2) a) R = 12 + 2.1 + 1 = 4 , no es una división exacta
b) R = (-1)3 +1 = -1 + 1 = 0 , si es una división exacta
c) R = - (-1/2)3 + 2.(-1/2)2 – 2 = -(-1/8) + 1/2 - 2 =
11
no es exacta
8
d) R = 25 – 32 = 0 es una división exacta
3) Se debe cumplir que R = 0, entonces R = P(-1) = k(-1)3 +2(-1)2-1 = 0
Entonces –k +2 – 1 = 0. Por lo tanto k = 1
Teorema del Factor
Sea P(x) un polinomios de grado n y b una constante. Se dice que
b es un cero de P(x)
Esto es equivalente a afirmar que
b es un cero de P(x)
⇔ (x-b) es un factor de P(x)
⇔
P(x) es divisible por (x – b )
Observación
Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que
P(x) = (x – b) . C(x)
2
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Ejemplo
Como
2 es cero de P(x ) = 2x 2 − 4 , entonces P(x ) = 2x 2 − 4 es divisible por ( x − 2 )
Por la Regla de Ruffini tenemos que
2
2
2
(
)(
Entonces P( x ) = 2x 2 − 4 = x − 2 2x + 2 2
0
-4
2 2
4
2 2
0
)
Teorema Fundamental del Álgebra
Todo polinomio P( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a 0
de grado n tiene al menos un cero
complejo.
Si el polinomio tiene un cero complejo, entonces, el conjugado de éste también es cero
dicho polinomio.
Teorema sobre el número de ceros
Todo polinomio P ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + .... + a 0 de grado n tiene exactamente n ceros
complejos, x1 , x 2 , x3 ,...., x n
Y puede escribirse en la forma
P ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ..... ( x − xn )
Ejemplo:
(
)(
(
)(
)
De P( x ) = 2 x 2 4 = x - 2 2 x + 2 2 sacamos factor común 2 y tenemos
P( x ) = 2 x 2 4 = 2 x - 2 x + 2
)
De allí se deduce que P( x ) = 2 x 2 4 tiene dos ceros:
2 y - 2
Extensión de la Regla de Ruffini
División del tipo P(x) : (ax + b)
Al dividir P(x) en el binomio ax +b se tendrá un cociente C(x), polinomio de un grado menor que P(x) y un
resto R, constante.
Sabemos que se debe cumplir que P(x) = (ax + b)C(x) + R.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Sacando factor común “a” del binomio se puede escribir P(x) = a (x + b/a) C(x) + R, lo cual es equivalente a
P(x) = (x + b/a).a.C(x) + R
Esto indica que si aplicamos la Regla de Ruffini dividiendo P(x) en (x + b/a), obtendremos el cociente, a.C(x),
que será múltiplo del cociente que buscamos, y para encontrar C(x) tendremos que dividir el resultado
encontrado por el valor “a”, mientras que el resto es el mismo.
Extensión del Teorema del Resto
El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es R = P(-b/a).
Ejemplos:
Efectuar las siguientes divisiones: a)
2x 4 + x 2 - 1
2x − 1
b)
x 3 + 27
3x + 9
Respuesta
a) Vamos a considerar la división en x – ½
2
½
2
0
1
0
-1
1
½
¾
3/8
1
3/2
3/4
-5/8
3
2
3
2
Entonces el cociente buscado es el obtenido, 2x + x + x +
C(x) = x3 +
3
, dividido en 2. Esto es:
4
5
x2 3
3
y el resto es el mismo, R = −
+ x+
8
2 4
8
 3 x2 3
3
+ x+
Se puede verificar que 2x 4 + x 2 - 1 =  x +
2 4
8


5
 (2x - 1) 8

b) Vamos a considerar la división en x + 3
1
-3
1
0
0
27
-3
9
-27
-3
9
0
Entonces el cociente buscado es el obtenido, x 2 - 3x + 9
C(x) =
x2
-x+3
3
y el resto es el mismo, R = 0
 x2

Se puede verificar que x 3 + 27 =  - x + 3  (3x + 9)
 3

dividido en 3. Esto es:
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FACTOREO DE POLINOMIOS
Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos.
Caso particular
Sea P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0 , con an ≠ 0 y sean x1 , x2 , x3 ,...,xn sus ceros. Entonces p(x)
puede ser factoreado en la forma
P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn )
Donde cada binomio de la forma ( x – xi) es un factor primo
Ver adjunto: “Expresiones algebraicas primas y compuestas”
Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes:
Factor común
Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece
multiplicando en cada uno de esos términos.
Ejemplos
1) En la expresión 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5, el factor común es 4 x2 z.
Entonces 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5 = 4 x2 z ( 2 x3 z – x + 3 w z4 ) por la propiedad distributiva, en sentido
recíproco
2) A veces es necesario sacar factor común (-1)
(
)
− 2x 2 + 4x − 1 = − 2x 2 − 4x + 1
Factor Común en Grupo
Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes
distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un único factor
común habremos factoreado.
Ejemplos:
a) 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x2 – 3 my = (15 m x + 6 m – 3 my) + ( x y – 2 x – 5 x2 )
= 3m (5 x + 2 – y ) – x (5 x + 2 – y)
= (5 x + 2 – y) ( 3 m – x )
b)
2x3 + x2 + 6x + 3 = ( 2x3 + x2 ) + (6x + 3)
= x2( 2x + 1) + 3(2x + 1)
= (2x+1).(x2+3)
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Diferencia de Cuadrados
Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos
cuadrados por la suma de las mismas, es decir:
a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )
Ejemplos:
1
1
1
y4 = ( 0.1a2b − y2).( 0.1 a2b + y2)
4
2
2
a)
0.01a4b2 −
b)
x2 – 3 = x2 –
( 3 ) = (x +
2
3 )(x- 3 )
Trinomio Cuadrado Perfecto
Vimos que:
( a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b 2
y que
( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b2
Entonces los trinomios de la forma a2 ± 2 a b + b2 se pueden factorear como cuadrados de binomios.
Observaciones:
(-a - b ) 2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
( b – a )2 = [-(a - b)] 2 = (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados
iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una
diferencia
Ejemplos:
a) 4x2 + 4x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto pues 4x2 y 1 son cuadrados de bases 2x y 1
respectivamente. Además el duplo de las bases es 2.2x.1 = 4x coincide con el 2do término.
Entonces 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2
b) 25x4y2 + 4p4 – 20x2yp2 es un trinomio cuadrado perfecto pues 25x4y2 y 4p4 son cuadrados de bases
5x2y y 2p2 respectivamente.
Además el duplo de estas bases es 2. 5x2y. 2p2 que es el tercer término de la expresión. Como este término
es negativo se tiene que
25x4y2 – 20x2yp2 + 4p4 = ( 5 x2 y – 2 p2 )2
Matemática
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Unidad N° 2
Cuatrinomio Cubo Perfecto
Vimos que:
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3
y que:
(a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3ab2 - b3
Entonces los cuatrinomios de la forma
a3 ± 3 a2b + 3ab2 ±b3
se pueden factorear como cubos de
binomios.
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base
alternativamente
iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia
Ejemplos
a) x3 – 6x2 + 12x – 8 es un cuatrinomio cubo perfecto pues x3 y 8 son cubos cuyas bases son x y 2
respectivamente
Además 3.x2.2 = 6x2 y 3.x.22 = 12x que son los otros términos
Entonces
x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3
b) -1 – 3x – 3x2 – x3 no tiene los signos adecuados pero sacando factor común (-1) se tiene
- (1 + 3x + 3x2 + x3)
La expresión entre paréntesis tiene dos cubos 1 y x3 cuyas bases son 1 y x.
3.x2.1 = 3x2 y 3.x.12 = 3x que son los otros términos
Entonces: -1 – 3x – 3x2 – x3 = - (1 + 3x + 3x2 + x3) = - (1 +x )3
Matemática
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Unidad N° 2
Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado
Son polinomios de la forma:
x n + an o x n – a n
Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sea n.
Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:
xn + an es divisible por x + a y por lo tanto
Si n es impar
xn + an = (x + a)C(x) donde C(x) es el cociente de la división
Ejemplos: x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2)
x5 + a5 = (x + a)(x4 - ax3 + a2x2 - a3x + a4)
xn + an no es divisible por x + a ni por x – a pues el resto de la división
xn + a n
es R ≠ 0 en ambos casos
Si n es par
Excepción : Si n no es potencia exacta de 2, se le puede considerar
como múltiplo de un impar en cuyo caso se le puede factorear como
suma de potencias de grado impar
Ejemplo: x6 + a6 = (x2)3 + (a2)3 = (x2 + a2)(x4 - a2x2 + a4)
xn - an es divisible por x - a y por lo tanto
Si n es impar
xn - an = (x - a) C(x) donde C(x) es el cociente de la división
Ejemplos: x3 - a3 = (x - a)(x2 + ax + a2)
x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x + a4)
xn - an es divisible por x + a y por x- a
xn – a n
xn - an = (x + a) . C1(x)
xn - an = (x - a). C2(x)
Si n es par
X4 – a4 = (x - a) C1 (x) = (x + a) C2(x)
Ejemplo:
Observe que en este caso es más conveniente factorear como diferencia
de cuadrados
x4 – a4 = (x2 + a2)(x2 - a2) = (x2 + a2)(x + a)(x - a)
Ejemplo
x3 – 27 = ( x - 3) (x2 + 3x + 9)
1
3
1
0
0
-27
3
9
27
3
9
0
Matemática
Unidad N° 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplos de casos combinados
a) a 3 a 2 a + 1 = (a3 - a 2 ) - (a - 1) = a 2 (a − 1) − (a − 1) = (a − 1) (a 2 − 1) = (a − 1) (a − 1) (a + 1)
b) x 4 1 y 2 + y 2 x 2 = ( x 4 1) + ( y 2 + y 2 x 2 ) = ( x 2 1)(x 2 + 1) + y 2 ( 1+ x 2 ) =
= ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) + y 2 ( x 2 − 1) = ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + y 2 ( x − 1) ( x + 1)
= ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + y 2 + 1)
c) 2ax3 + 6bx3 − 2a − 6b = 2a ( x3 − 1) + 6b ( x3 − 1) = 2 ( x3 − 1) (a + 3b) = 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1) (a + 3b)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS
Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el
denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes.
Ejemplos
1
; 3y
x
2
;
2x
− 3x 2
; 2
; ( 2 + y ) (3 − x )
x+5
x + 2x
2
Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria
Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir
la variable por determinados valores.
Ejemplo
El valor numérico de
x2
x−2
para x = 0 es 0
y
para
x=1
es -1
Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe.
Dominio de una expresión algebraica
Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos
asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de
los Números Reales.
Ejemplos
 x2 
 = (−∞, 2) U (2, ∞)
a) Dom 
 x−2


 1 
 = {( x, y) / x ≠ y }
c) Dom 
x-y


b) Dom  x + x 2  = (−∞, 0) U (0, ∞)
1


Matemática
Unidad N° 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresiones algebraicas equivalentes
Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para
cualquier sistema de valores asignados a sus letras
Simplificación
Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un
mismo factor.
Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre si, la expresión
fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión.
Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador.
Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra tras un proceso
de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de partida.
Ejemplo
x 2 - 36
(x - 6) (x + 6) x + 6
=
=
2
3x (x - 6)
3x
3x - 18x
Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias
Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios.
Suma algebraica
1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión
2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores
3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios
Ejemplo:
Sea la expresión
2
3
4
+
− 2
x − 1 2x + 2 x − 1
Pasos auxiliares
x −1= x −1
2 x + 2 = 2 ( x + 1)
x 2 − 1 = ( x + 1) ( x − 1)
mcm = 2 ( x − 1)( x + 1)
Siguiendo el algoritmo de la suma de fracciones resulta:
2
3
4
4(x +1) + 3(x −1) − 8 4x + 4 + 3x − 3 − 8
7x − 7
7(x −1)
7
+
−
=
=
=
=
x −1 2(x +1) (x −1)(x +1)
2(x +1) (x −1)
2(x +1) (x −1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1) (x −1) 2(x +1)
Matemática
Unidad N° 2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Producto de expresiones algebraicas fraccionarias
1° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión.
2° paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible.
Ejemplo:
Sea la expresión
1
x 2 − 6x + 9
6
.
.
3
2x − 6
3
x − 27
Pasos auxiliares
Respuesta:
1
x2 − 6x + 9
6
1
( x − 3) 2
6
.
. 3
=
.
.
2
2x − 6
3
3
x − 27 2 ( x − 3)
( x − 3) ( x + 3 x + 9)
2 x − 6 = 2 ( x − 3)
x 2 − 6x + 9 = ( x − 3)2
x3 − 27 = ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9)
=
1
x + 3x + 9
2
División de expresiones algebraicas fraccionarias
1° paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor.
2° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión
3° paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible
Ejemplo:
Simplificar las siguiente expresión
x 2 + xy + y 2 x − y
−
x+ y
x2 − y2
2 3
6x y
x2 − y2
Pasos auxiliares
Respuesta:
x 2 + xy + y 2 x − y
3 xy
−
2
2
x+ y
( x − y) ( x + y)
x −y
=
2 3
6x y
6x2 y3
( x − y) ( x + y)
x2 − y2
=
3xy
( x − y ) ( x + y)
1
=
2
3
( x − y) ( x + y)
6x y
2 xy 2
x2 + xy + y 2 x − y =
−
x+ y
x2 − y 2
x2 + xy + y 2 x − y
−
=
( x − y)( x + y) x + y
( x 2 + xy + y 2 ) − ( x − y) 2
=
( x − y)( x + y)
x2 + xy + y 2 − x2 + 2 xy − y 2
=
( x − y)( x + y)
=
3xy
( x − y)( x + y)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Matemática
Unidad N° 2
Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas
Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede
factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales.
En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama
compuesta
Ejemplos:
Todos los binomios de 1° grado del tipo x ± a son primos
;
x+2
Ejemplos:
1
2
;
x+ 2
Todos los binomios de 2º grado del tipo x 2 + a 2 son primos.
x2 + 1
Ejemplos:
x-
x2 + 3
;
;
x2 +
9
4
Todos los binomios de 2° grado del tipo x 2 ± ax + a 2 son primos
x 2 + 3x + 9
x2 + x + 1
;
;
x 2 - 2x + 4
El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el
producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B
son las expresiones algebraicas consideradas.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el
producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo: Sean las expresiones A = a 3 + a 2 b - ab2 - b3
y B = 5a 2 x + 10 abx + 5b 2 x
Pasos auxiliares
mcd[A , B ] = ( a + b ) 2
2
mcm[A, B] = 5x ( a + b ) (a - b)
801734 = 25.3. 5 .172 =138720
a 3 + a 2 b - ab 2 - b 3 = (a + b) 2 (a - b)
5a 2 x + 10 abx + 5b 2 x = 5x (a + b) 2