1. Flujo subterráneo en medios porosos 1.1. Introducción El agua subterránea es una componente importante de todos los sistemas hidráulicos, como recurso para la provisión de agua para uso doméstico, industrial y para la agricultura. La administración de este recurso implica decisiones i) sobre el volumen de agua a ser extraı́do sobre una base anual, ii) sobre dónde realizar perforaciones para su extracción o reposición artifical y iii) sobre estrategias de control de las condiciones de dicho recurso. No menos importante, implica decisiones sobre la calidad del agua, en cuyo caso también estarán ligadas a la cantidad disponible. Estas cuestiones son importantes, ya que en ciertos lugares del mundo y en virtud de la decreciente disponibilidad del recurso, la calidad se ha ido deteriorando más allá de los lı́mites antes aceptables. Además, en los últimos tiempos existe una preocupación por los posibles alcances de la contaminación del agua subterránea con sustancias peligrosas, infilitradas en el sistema desde depósitos de deshechos industriales, derrames, o por el uso de pesticidas, herbicidas y fertilizantes y por la cada vez mayor cantidad de repositorios nucleares ubicados en formaciones geológicas profundas. En todos los casos, administrar el recurso implica resolver un problema de optimización: cumplir cierto objetivo sin violar algunas restricciones. Es evidente que para la tarea, es necesario contar con una herramienta de predicción para evaluar la respuesta del sistema ante varios escenarios posibles. El saneamiento de un sistema de aguas subterráneas, requiere conocer las trayectorias de trazadores y la respuesta del sistema ante las distintas acciones de limpieza planificadas; de igual modo, la planificación de cualquier sistema de monitoreo o alerta, requiere conocer a priori y con cierta precisión el comportamiento del sistema a monitorear. Toda esta información será provista por modelos que describan el comportamiento del sistema. El uso del modelo implica dos etapas: su formulación y su resolución; en estas notas nos concentraremos en la primera de ellas. El objetivo de estas notas será: § describir los mecanismos que gobiernan el flujo de fluidos en un medio poroso y el transporte de contaminantes, § construir modelos matemáticos para el flujo en el medio poroso, y para el transporte de contamiantes, § plantear el problema de optimización para la administración del flujo subterráneo, 1 En lo concerniente a la solución de estos modelos, se discutiran algunos casos en los que es posible una solución analı́tica de los mismos (Cfr. Sección ??). Para describir el medio y los distintos sistemas hidráulicos que se discutirán se dan a continuación algunas definiciones: un acuı́fero es una formación geológica que i) contiene agua y que ii) permite una gran movilidad de esta bajo condiciones normales. Por el contrario, un acuicludio es una formación que, si bien contiene agua, la retiene, no permitiendo su movimiento: es el caso, por ejemplo, de una capa de arcilla. Para cualquier uso práctico, estos se consideran como fronteras impermeables. Un acuitardo es una capa mucho menos permeable aún y es mucho más delgada: en general aparece separando dos acuı́feros, entre los que permite cierto intercambio de fluido, por lo que a veces también se denomina como una formación semi-permeable. La porción del suelo constituida por sustancias sólidas, recibe el nombre de matriz sólida o simplemente, matriz. El resto del volumen es el espacio o volumen de poro, que será ocupado por una (agua) o dos fases (agua y aire) de fluido. Está claro que sólo aquellos intersticios interconectados podrán actuar como conductos de flujo; estos van desde grandes cavernas en las formaciones de calcitas (un tipo de rocas carbonáticas) hasta pequeños espacios capilares en las que el agua se mantiene retenida mediante fuerzas adhesivas. Los intersticios se dividen básicamente en dos grandes grupos: los originales, propios del proceso geológico de la formación y los secundarios que comprenden fisuras, junturas, etc, producto del trabajo experimentado por todas las formaciones. ZONA SATURADA ZONA DE AIREACION La formaciones subterráneas que contienen agua se clasifican en función de la proporción relativa de volumen de poro ocupada por esta. Se distinguirán dos regiones: las zonas saturada y la de aireación o no saturada. En la primera solo hay presente una fase de fluido –la lı́quida– mientras que en la segunda coexisten dos fases. En la Figura 1 se muestra esquemáticamente la situación. SISTEMA SUPERIOR SISTEMA MEDIO SISTEMA CAPILAR RIO FRONTERA IMPERMEABLE Figura 1: Zonas del flujo subteráneo 2 El agua, por irrigación o precipitación se infiltra en el suelo, moviéndose hacia abajo y acumulándose, mientras llena los intersticios de la matriz sólida. En la Figura, distinguimos entre una zona saturada, confinada por debajo por una barrera impermeable y por encima por una superficie freática. Ésta es una superficie imaginaria que se encuentra a presión atmosférica. La zona saturada se extiende un poco por encima de esta superficie, en una zona que se denomina capilar, determinando un sistema capilar de agua que dependerá del tipo de suelo. Como regla, cerca de la superficie freática, casi todo el volumen de poro está ocupado por agua, mientras que a medida que subimos hacia la superficie, sólo los poros más pequeños –en los cuales las fuerzas capilares son mayores– contendrán lı́quido. Queda claro entonces que la superficie superior del sistema capilar puede ser sumamente irregular, dependiendo del tipo de suelo. También, en la zona de aireación se distinguen otros dos sistemas: el superior adyacente a la superficie del terreno es el que las plantas de la superficien utilizan. En esta región, el movimiento del agua es escencialmente vertical: descendente por la infiltración, ascendente por la evapo-transpiración y luego de que ocurren precipitaciones, esta zona puede estar saturada. Si no se agrega agua al sistema –por ejemplo lo que ocurre después de un periodo de sequı́a– parte del agua queda atrapada en esta región, la que es indicadora de la capacidad del campo. 1.2. Aproximación continua del medio poroso De lo expuesto antes, es fácil imaginarse que la descripción detallada del suelo no es una tarea sencilla. El acuı́fero ocupa un dominio constituido por un medio poroso: tierra, arena, basaltos, granitos –usualmente fisurados– son todos ejemplos de medios porosos, que como ya se dijo, exhiben en común el estar contituidos por una matriz sólida y poros. Otra caracterı́stica común es que la matriz sólida está distribuida en todo el dominio del acuı́fero, lo que implica que, si se toman distintos volumenes en distintos lugares del dominio, todos tendrán una fase sólida, a condición de que estos volúmenes sean lo suficientemente grandes: por ahora basta pensar en que deben ser más grandes que los poros más grandes. Uno de estos volumenes arbitrarios recibe el nombre de volumen elemental arbitrario (AEV). El agua del acuı́fero fluye por una compleja red de canales y poros. Este flujo es limitado por la interface (microscópica) sólido–lı́quido: en principio es posible describir el flujo a este nivel microscópico, considerando al fluido como un continuo, y utilizando las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes e imponiendo condiciones apropiadas en la interfase sólido–lı́quido. Este tipo de enfoque resulta impráctico por una variedad de motivos que van desde 3 la complejidad de la geometrı́a involucrada hasta la dificultad para representar apropiadamente las condiciones de contorno. Para evitar esto, se prefiere recurrir a una descripción macroscópica: se describe el problema pero a una escala mayor, en la que el problema matemático es formulable y las cantidades fı́sicas involucradas son medibles. Conceptualmente, es el mismo proceso por el cual el lı́quido y el gas de las fases fluidas son tratadas como continuos: en esta aproximación, el medio poroso, en el que coexisten sólido, lı́quido y gas ocupando cada fase una porción del AEV es reemplazado por un medio ficticio, en el que cada fase es considerada como un continuo que ocupa, simultáneamente con las demás, la totalidad del AEV. Ası́, en cada AEV tenemos superpuestos tres medios continuos, que incluso pueden interactuar entre si: en este contexto, podrán calcularse valores promedio (valores macroscópicos como a veces se denominan) para cada AEV y asignarlos a cualquier punto del espacio, independientemente que en el medio real se trate de un punto en la matriz sólida o en el poro. Cubriendo el dominio de una sucesión de AEVs, obtendremos campos asociados a las variables macroscópicas, que resultarán funciones diferenciables de las coordenadas. Todo el detalle asociado a la configuración de la interface sólido–fluido, más el asociado a la interacción entre las tres fases, entrará en el modelo macroscópico en forma de coeficientes, los que deberán ser determinados experimentalmente. Quedan por cierto algunas cuestiones por discutir: en Bear y Bachmal ([??]) se puede encontrar una extendida discusión sobre la caracterización de los medios porosos, aunque aquı́ se incluirán solo los aspectos salientes que serán utilizados en lo sucesivo. Uno de los problemas que se introducen al utilizar AEVs es que los promedios macroscópicos que se calculen estarán asociados a ellos, resultando en un tipo de descripción lagrangiana. Esto impone limitaciones a la determinación experimental de los coeficientes. Para evitar esto se recurre a otro concepto, el de volumen elemental representativo (REV): Los REVs son tales que aseguran un valor constante –dentro de los errores admisibles– de los coeficientes para un conjunto de AEVs, permitiendo también la mensurabilidad práctica de los coeficientes. Si indicamos por l la longitud caracterı́stica del REV y con d la longitud caracterı́stica del poro, una condición que debe satisfacerse es que l >> d. Asimismo, si D es la longitud caracterı́stica del dominio de interés, otra condición que debe satisfacerse es que l << D. Estas dos condiciones tienen un sentido estadı́stico y aseguran que los valores que se adopten para los coeficientes no sufrirán de la aleatoriedad de la distribución de la fase sólida: son las condiciones necesarias para que el modelo continuo del medio poroso satisfaga la hipótesis ergódica. Como ejemplo de como se puede estimar el 4 valor del REV, considérese una caracterı́stica geométrica del medio, como la relación entre el volumen de poro y el volumen total (Uv (x)/U(x)) en un REV centrado en x. Si se prueba con distintos REVs de tamaño creciente, se observará un comportamiento como en la Figura 2: DOMINIO DE EFECTOS MICROSCOÓPICOS DOMINIO DE MEDIO POROSO ε RANGO DE U U min POSIBLES INHOMOGENIDADES DE GRAN ESCALA 0 U max Figura 2: Definición de porosidad y del REV La Figura describe la siguiente situación: si el REV es muy pequeño, el valor que adoptará el cociente dependerá si el mismo está incluido en un poro o en la matriz sólida, tomando ası́ los valores 0 o 1. A medida que empleamos un REV de mayor tamaño, el valor comienza a fluctuar, debido a la distribución aleatoria de la matriz sólida. Sin embargo, a partir de cierto valor de tamaño, las fluctuaciones se amortiguan y desaparecen virtualmente para cierto valor Umin ; si se sigue incrementando el tamaño del REV, y por encima de otro valor, digamos Umax , podrá observarse algún tipo de tendencia en el valor debido a inhomogeneidades de gran escala. El tamaño del REV, U0 deberá adoptarse tal que Umin < U0 < Umax . Para un REV con dicha longitud caracterı́stica, el cociente representará la porosidad, , en x. Una vez determinado U0 , se lo utiliza para calcular los promedios macroscópicos: dada una variable de estado φα para la fase α Z 1 < φα (x, t) >= φα (x0 , t; x)dUα (x0 ) (1) U0α U0α donde U0α es el volumen de la fase α dentro de U0 y x0 es un punto del REV centrado en x. Este tipo de promedio se denomina promedio intrı́nseco de fase. En una forma análoga se define y determina el área elemental representativa (REA). En lo que sigue, asumimos que es posible la representación del medio poroso como continuo, en el sentido expuesto. 1.3. Fenómenos de transporte Los estados de equilibrio de la materia están caracterizados por la distribución espacial uniforme de cada una de las variables de estado del sistema 5 continuo, de modo que cada elemento de la materia se encuentra en equilibrio termodinámico y mecánico con los elementos vecinos. Si alguna de estas variables de estado estuviera fuera de equilibrio, se podrı́a observar un intercambio de las cantidades mecánicas y térmicas entre elementos contiguos que siempre tenderı́a a llevar al continuo al estado de equilibrio, es decir, a uniformizar la distribución de dicha variable de estado. Esta tendencia a la uniformidad, postulada como principio rector de la termodinámica (y asentada en el Segundo Principio), sólo requiere que las porciones de continuo vecinas puedan interactuar. La naturaleza de esta interacción depende de la estructura molecular y su efecto es el parámetro que se está observando. Sin embargo desde la perspectiva de los medios continuos, interesa que esta tendencia existe y que se puede modelar en forma independiente de la estructura microscópica. De la observación de estos procesos de interacción, se puede descubrir un intercambio o transporte de cierta cantidad, de manera que esta aumenta en algunos elementos de continuo y disminuye en otros. El conjunto de estos procesos de intercambio es conocido como fenómenos de transporte. Para el modelado del flujo subterráneo, nos interesará el transporte de tres cantidades: masa, energı́a y cantidad de movimiento. Independientemente de cuál sea la cantidad que se transporte, el mecanismo de intercambio presenta algunas caracterı́sticas de orden general: § el transporte neto de cierta cantidad P es nulo si una cierta cantidad asociada p(x, t), que representa la intensidad local, está distribuida espacialmente en forma uniforme, y § la dirección del transporte neto no-nulo a través de una superficie elemental en el continuo es tal que tiende a igualar el valor de p(x, t) a ambos lados de dicha superficie elemental. De estas observaciones, queda claro que existe una relación entre el transporte neto y la distribución no uniforme de la intensidad asociada, representada por el gradiente de la intensidad gradp(x, t). Sea p(x, t) continua en <3 , de modo que el transporte de la cantidad asociada a P , a través del área elemental δa orientada según n, en el instante t, pueda escribirse como f(x, t) · nδa (2) donde f es el vector de flujo de la cantidad P . La idea es encontrar una relación f = f(gradp(x, t)). Para esto se harán dos hipótesis que permitirán simplificar el tratamiento, reduciéndolo a un transporte lineal: 6 § Para una variación de la intensidad p(x, t) lo suficientemente gradual, no existen correlaciones de largo alcance, es decir, que p(x, t) sólo dependerá de las propiedades locales en el medio continuo y de los valores locales de las demás variables de estado. § Para valores de la intensidad p(x, t) lo suficientemente pequeños, el flujo depende linealmente de las componentes de gradp(x, t). Estas son las denominadas hipótesis de linealidad de Ficks; de ellas, si la intensidad p(x, t) es un campo escalar, la última induce una afinidad entre f(x, t) y gradp(x, t) de la forma fi = kij pj (x, t), (3) donde kij será un tensor de segundo orden. Si p(x, t) fuese un campo vectorial, entonces la dependencia lineal serı́a de un tensor de cuarto orden, de la forma fij = Cijklpkl (x, t). (4) La prueba de validez de estas hipótesis es un asunto puramente experimental y depende de qué cantidad se esté transportando y del rango de valores que adopta gradp(x, t). Las distintas relaciones que se obtienen a partir de estas hipótesis para los distintos transportes son las llamadas relaciones constitutivas y son las que contienen las propiedades fı́sicas del medio. 2. Modelos regionales de flujo Los modelos regionales de flujo describen el comportamiento de acuı́feros cuya extensión horizontal es mucho mayor que su profundidad. Como se indicó en la introducción, se pueden distinguir dos tipos de regiones donde tiene lugar el flujo subterráneo: una no saturada y otra saturada. El flujo en la primera es escencialmente vertical, mientras que en la segunda es donde se realiza la mayor parte del flujo a escala regional. Se restringirá entonces la discusión a la zona saturada, entendiéndose además que el flujo se realiza en un medio poroso, dejando de lado el flujo en lechos fracturados. En la aproximación regional, el flujo se asume horizontal, lo que implica la incorporación de la hipótesis de Dupuit que indica que el operador ∂/∂z puede considerarse nulo. 7 2.1. Ecuaciones de gobierno para el flujo Las ecuaciones de flujo subterráneo se obtienen a partir de la ecuación de continuidad y de la ley de Darcy. La primera es la expresión diferencial para la conservación de la masa ∂ρ + div(ρV) = ρQρ , ∂t (5) donde Qρ es una fuente de caudal. Es posible aún, transformar esta forma en otra, expandiendo la divergencia del producto y obteniendo: ∂ρ + V · gradρ + ρdiv(V) = ρQρ . ∂t (6) : en este Los dos primeros términos son la variación total de la densidad Dρ Dt punto debe quedar claro que si bien el agua es incompresible, el flujo de agua en el REV no lo es. Piénsese que es posible acomodar más agua en el volumen mismo elemental simplemente desplazando el aire contenido en el mismo: el efecto neto es un aumento en la densidad, pero por el incremento de la masa de agua en el mismo volumen. Para dar una expresión de este cambio, se recurre al coeficiente de almacenamiento S0 que por definición es el volumen de agua que provoca un cambio unitario en la unidad de tiempo en la altura piezométrica. De este modo: Dρ ∂h = ρS0 . Dt ∂t (7) ∂h + divV = Qρ . ∂t (8) La expresión resultante es: S0 La ley de Darcy establece que, en un medio poroso isotrópico, la velocidad del flujo es proporcional al gradiente de la altura piezométrica, cambiada de signo: V = −kf gradh. (9) La constante kf es la denominada permeabilidad. Para medios no isotrópicos, la ley de Darcy puede generalizarse introduciendo el tensor de permeabilidad V = −Kgradh. (10) donde K es ahora un tensor de orden dos, representado por una matriz de d×d en Rd . Esta formulación permite incorporar el hecho de que la dirección del flujo dependerá de la estructura del medio. La ecuación 8 es una restricción 8 cinemática sobre el campo de altura piezométrica; la Ley de Darcy es la condición dinámica. Si se reunen las dos, se obtiene la ecuación de gobierno del flujo en un medio poroso: ∂h = div(Kgradh) + Qρ (11) ∂t Esta expresión es válida para flujos tridimensionales. Pero en el caso de describir flujos regionales, basta con una descripción bidimensional de los mismos: introduciendo m, el espesor del acuı́fero, se puede desde la integral de volumen realizar un proceso de regularización, el que dará lugar a un campo de velocidades, bidimensional, equivalente en su dinámica al tridimensional, obteniéndose la siguiente ecuación para la altura piezométrica del flujo bidimensional: ∂h = div(mKgradh) + q. (12) S ∂t En esta indicamos por S, la versión regularizada del coeficiente de almacenamiento. Otra forma de expresar la misma es introduciendo el tensor de transmisividad T = mK. La misma ecuación se extiende al caso del acuı́fero freático, si hacemos explı́cita la dependencia de T no solo con la posición sino también con h = b + m, donde b es la superficie inferior impermeable del acuı́fero: ∂h S = div[(h − b)Kgradh] + q. (13) ∂t Del mismo modo, en el caso de que el acuı́fero esté conectado con otro sistema de agua subterránea o superficial con el que intercambia masa, habrá que incorporar el intercambio a la ecuación de balance. Utilizando la ley de Darcy, postularemos que el flujo entre el acuı́fero y el otro cuerpo de agua es proporcional a la diferencia de altura piezométrica P hj − h. Para n sistemas interactuando, el flujo total intercambiado será j lk (hj − h): el factor lj es el factor de filtrado del j − ésimo cuerpo con el acuı́fero, definido, para el caso isotrópico como lj = kfj /dj , resultando: S0 S X ∂h = div(mKgradh) + lj (hj − h) + q. ∂t j (14) Las ecuaciones del flujo definen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de tipo parabólico. En general serán necesarias condiciones iniciales y de contorno para cerrar el problema y asegurar la existencia de la solución. Para este problema, las condiciones de contorno más frecuentes son: 9 las de primer tipo o tipo Dirichlet, que prescribe los valores de la altura piezométrica en la frontera. Puede demostrarse que para asegurar la unicidad de la solución, la altura piezométrica debe especificarse en al menos un punto del dominio, ya que de lo contrario y debido al tipo de relación que define la ley de Darcy h solo podrá ser determinada a menos de una constante aditiva. las de segundo tipo o tipo Neumann, que especifica el flujo a través de la frontera mediante la componente normal del gradiente de h. Si la frontera es impermeable, la situación queda representada especificando condiciones homogéneas de Neumann para dicha porción de la frontera. las de tercer tipo o tipo Robin, que especifican una combinación lineal para la altura piezométrica y el flujo en la frontera. Tı́picamente se utilizan cuando hay intercambio de masa a través de la frontera con un cuerpo de agua superficial del que se conoce la altura piezométrica: por ejemplo, en el caso de un rı́o, adopta la forma T ∂h/∂n = l(hr − h), donde hr es la altura piezométrica del rı́o y n la normal exterior positiva a la frontera, en el rı́o. 2.2. Estimación de parámetros Un problema a la hora de escribir el modelo para un caso particular es la estimación de parámetros: esta es la etapa de determinación de los valores de permeabilidad, transmisibidad, porosidad, etc., necesarios como datos. En el Cuadro 1 se da una lista tentativa, aunque no completa, en la que se indican además, en qué tipo de modelos es necesario el parámetro y posibles fuentes. Existen muchas técnicas para la estimación de los parámetros que se introducirán en los modelos. En lo que sigue y en virtud de ser operaciones imprescindibles, se discutirá la estimación de la recarga y en la identificación de parámetros y calibración a partir de los ensayos de bombeo. 2.2.1. Estimación de la recarga Cuando se preparan los datos que definen el modelo, es desable poder hacerlo a priori, es decir, independientemente del modelo. Un parámetro que puede estimarse de este modo es la denominada recarga, que es la cantidad de agua que resulta de balancear dos procesos: el de precipitación y el de evapo-transpiración. Los modelos y los métodos para realizar esta estimación pueden ser muy sofisticados; sin embargo, en esta sección presentaremos un modelo simple que da buenos resultados. Consideremos para ello una columna de 10 Item Modelo Fuente p: freático c: acuı́fero confinado s: distribución espacial t: distribución temporal Distribuciones dentro del dominio elevación de la del superficie inferior del acuı́fero b permeabilidad K transmisividad T coeficiente de almacenamiento S porosidad efectiva e recarga producción Filtrado de y hacia cuerpos de agua vecinos elevación del lecho elevación de la superficie libre factores de filtrado lj Condiciones de contorno altura piezométrica flujos s, p perfil geológico s, p s, c s, c ensayos de bombeo ensayos de bombeo ensayos de bombeo s, p s, t s, t ensayos de bombeo datos meteorológicos s s, t mapas topográficos datos hidrológicos s s, t s, t datos de campo datos de campo y meteorológicos Cuadro 1: Parámetros necesarios para modelos de flujo subterráneo suelo, la que consideraremos dividida en tres partes: una superior no saturada, una media, también no saturada y la inferior, saturada (se desprecia el espesor de la región de capilar). La porción superior se caracteriza por el hecho de poder perder humedad por evaporación, mientras que la caracterı́stica de la zona media es que cualquier aporte de agua será cedido a la porción saturada como regarga. El espesor tı́pico de la zona superior es de aproximadamente un metro y en ella se realiza el siguiente balance entre dos instantes t y t+∆t: B(t + ∆t) = B(t) + (N − V − R − SL )∆t∆a 11 (15) donde N es la precipitación por unidad de tiempo, V la velocidad de evaporación, R es el resbalamiento o runoff, es decir el agua que no llega a penetrar el suelo sino que resbala o desliza sobre la superficie del suelo y SL es la velocidad de percolación por unidad de área (Ref. figura 3). N precipitacion V evapotranspiracion R runoff zona superior no saturada B contenido de humedad S L percolacion profunda zona inferior no saturada zona saturada recarga Figura 3: Estimación de la recarga: balance en la zona no saturada B(t) es el contenido de humedad de la porción superior y tiene magnitud de longitud. Para que haya una recarga positiva, es decir para que exista un filtrado efectivo a las porción media, el valor de la cantidad N − V − R − SL debe superar la capacidad de campo F . En nuestro modelo, hemos asumido que, si este exeso se produce, percolará hacia la porción saturada: 0 si B(t) + (N − V − R)∆t∆A < 0,7 SL δt = B(t) + (N − V − R)∆t∆A − F en cualquier otro caso (16) el valor de 0.7 que aparece en la fórmula anterior viene del hecho empı́rico que el agua comienza a percolar antes de que el contenido de humedad alcance el valor F , alrededor del 70 % de dicho valor. 12 La determinación de V tiene importantes consecuencias, no solo para el modelado del flujo subterráneo sino también consecuencias económicas, ya que este volumen de agua forma parte de la utilizada por las plantas. Existen fundamentalmente cuatro metodologı́as para su determinación: experimental: basada en mediciones de campo o en laboratorio, mediante el uso de bateas de evaporación y lisimetros métodos de correlación climática como los de Penman, de Bowen y la correlación de torbellinos modelos hidrológicos basados en el balance de agua en un volumen de suelo sensores remotos: estos tienen ventajas y desventajas: son muy aptos para estimar la evapo-transpiración sobre dominios extendidos y poveen además registros históricos. Entre sus limitaciones está el volumen de datos y el costo computacional de procesamiento. Un ejemplo de estrategia para estimar la evapotranspiración es la denominada SEBAL(Surface Energy Balance Algorithm for Land). Toma como datos la información provista por el satélite –básicamente la radiación en distintas bandas– y la velocidad del viento y realiza un balance termodinámico, obteniéndose de este la evapotranspiración. El sistema de ecuaciones a resolver viene dado por: Rn = (KD − KU ) + (LD − LU ) Rn = λE + H + G H = H(∆T, cp , ρah , rah ) Rn es la radiación neta, que se calcula a partir de Ki y Li con i = L, D son respectivamente la radiación en la parte alta del espectro –visual y ultravioleta cercano– y baja –infrarrojo, es decir la parte térmica–. λE es la energı́a latente consumida en la evaporación y G es una cantidad que se determina empı́ricamente, y es el calor absorbido por el suelo. H es el calor sensible o albedo, para la que se debe usar una expresión –una ecuación de estado– termodinámica. Para determinar el runoff R, defı́nase R = RP + RN , donde RP es la precipitación por lluvia y RN la correspondiente a nevadas. Existen numerosas técnicas para determinar RP : como ejemplo de estas se presenta la técnica del ı́ndice de infiltración. Data de 1946 y fue propuesta por Cook: en este método se determina un ı́ndice o nivel φ que divide el diagrama de intesidad de precipitación de manera que el área sobre 13 intensidad de la precipitacion (mm/h) la curva, representa exactamente el runoff. La situación es la que se describe en la Figura 4. 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 30 60 90 120 150 indice φ 180 210 240 tiempo (min) Figura 4: Representación del ı́ndice φ Este ı́ndice se determina a partir de una tormenta, midiéndose la cantidad de agua caı́da y el runoff, siendo φ la diferencia. El valor de φ aumenta con la intensidad de la precipitación, pero luego de cierto umbral se mantiene más o menos constante. Las nevadas son la segunda forma de precipitación después de la lluvia y en algunas regiones, como en las montañosas, son la principal. Es particularmente importante en aquellas locaciones en que puede acumularse, funcionando entonces como reservorio, que actúa infiltrándose en el suelo y resbalando con la llegada de la primavera. La acumulación de nieve es relevada con bastante facilidad, aunque requiere ser relevada en muchos puntos para tener una idea detallada de la distribución de los espesores acumulados. Cuando la temperatura sube, la nieve comienza a derretirse, aunque para que el agua derretida alcance el suelo y pueda infiltrarse, es necesario un tiempo, ya que debe saturarse la capacitancia de la masa de nieve. Este proceso ocurre a varios niveles: por intercambio térmico con el medio ambiente –proceso termo-fluidodinámico–, por absorción de radiación solar, por calentamiento del suelo y por acción de la radiación de gran logintud de onda presente en la atmósfera. La forma más simple de evaluar el flujo de nieve desde la superficie es mediante el empleo de un coeficiente de fusión, Cf y una expresión lineal, del tipo: RN = Cf (T − TB ) [LT −1 ] (17) siendo TB la temperatura de referencia por sobre la cual se verifica la fusión. Para Cf , los valores usualmente adoptados van de 0.015 a 0.2, adoptándose un valor medio de 0.08, para temperaturas medidas en ◦ F. 14 2.2.2. Identificación y calibración mediante ensayos de bombeo Si se consideran las ecuaciones de flujo en el acuı́fero, S0 (o S) y K (o T ), son parámetros que describen la respuesta intrı́nseca del sistema. Estos parámetros deben determinarse experimentalmente y los ensayos de bombeo son la forma más simple de hacerlo. En este tipo de ensayos, se bombea un caudal constante Q, registrándose por ejemplo, la altura piezométrica a lo largo del ensayo en distintos puntos del dominio. Al final del ensayo se dispone de n m−úplas de datos, del tipo (ti , xi , hobs i ). A partir de estos datos y mediante el empleo de la ecuación de gobierno, se busca determinar un valor de S0 y K –o de S y T – que minimice el error entre los valores de altura piezométrica calculados hcalc en los puntos x donde se tomaron las mediciones y los medidos. En sentido estadı́stico se busca minimizar el error cuadrático medio: si denominamos por J (S0 , K) la función objetivo, el problema puede escribirse como: minimizar J (S0 , K) P calc 2 donde J (S0 , K) = nk=1 (hobs k − hk ) este serı́a un problema de cuadrados Si se dispusiera de los valores hcalc k resulta de resolver el problema diferencial dado en la mı́nimos. Pero hcalc k ecuación 11. Se hace necesario entonces implementar un procedimiento iterativo que permita a partir de un valor semilla o de prueba, determinar una sucesión de aproximaciones a la solución del problema, convergente a la solución. Una posible estrategia es el método de Newton-Raphson: si se expande J (S0 , K) en series de potencia hasta el segundo orden, J (S0 + ∆S0 , K + ∆K) = J (S0 , K) + (∆S0 , ∆K) · gradJ (S0 , K) + 1 + (∆S0 , ∆K) · H(S0 , K) · (∆S0 , ∆K)T 2 (18) donde gradJ es el vector gradiente de J y H es la matriz hessiana de J . Como se busca minimizar J la condición de extremo indica que gradJ = 0 cuando el argumento es el extremo, de modo que, al diferenciar la anterior obtendremos: 0 = gradJ (S0 , K) + H(S0 , K) · (∆S0 , ∆K)T (19) el que constituye un sistema de lineal de ecuaciones algebraicas. Habrá que resolver este problema lineal, para obtener el vector (∆S0 , ∆K)T , con el que se corrige el valor de prueba mediante la relación (S0new , K new ) = (S0 , K) + (∆S0 , ∆K). El procedimiento se repite hasta que se obtiene un error por debajo de una tolerancia prescripta. 15 3. Modelos regionales de transporte de contaminantes La polución del agua subterránea debida a actividades humanas tiene diversos orı́genes: por infiltración de aguas contaminadas desde un cuerpo de agua superficial, desde tuberı́as con pérdidas o desde aguas estancadas. Otra fuente de polución es la lluvia que arrastra e infiltra sustancias originalmente depositadas en la superficie, como es el caso de pesticidas o fertilizantes. Lo mismo ocurre con la filtración desde terrenos de relleno y depósitos de residuos. Los contaminantes pueden entrar en el suelo disueltos en el agua que los infiltra o no y el flujo de agua, ya sea la de infiltración o la subterránea provoca el transporte de estos. Mientras que en la zona no saturada, el transporte es escencialmente vertical entre la superficie del terreno y la zona saturada, el transporte horizontal y de largo alcance ocurre sólo en la zona saturada, donde el transporte es dominado por el flujo horizontal, que determina las distancias caracterı́sticas y alcances de la contaminación. En lo que sigue, se considera el transporte de la zona no saturada como una fuente para el transporte en la zona saturada, limitando la discución a los procesos en esta zona. Dependiendo de la concentración de contaminantes, estos pueden influenciar el campo de flujo, en cuyo caso se dice que los contaminantes son hidrodinámicamente activos; en la discución, sólo se tendrán en cuenta contaminantes hidrodinámicamente pasivos, es decir concentraciones para las cuales el flujo inducido por densidad es totalmente despreciable. Además, se restringe la discusión a modelos regionales, lo que nuevamente implica que la escala del transporte horizontal es mucho mayor que la del vertical, en cuyo caso se puede considerar el flujo como escencialmente bidimensional. Se mostrará que el transporte también podrá considerarse un proceso bidimensional mediante la integración vertical de las concentraciones. Cualquier modelo de transporte requiere como entrada el campo de velocidades del flujo: o bien este es conocido o debe ser calculado a partir de algún modelo cómo los de la Sección 2: estos modelos darán la función h y mediante la ecuación de Darcy las correspondientes velocidades que serán transformadas a velocidad de poro utilizando como factor de regularización apropiado la porosidad efectiva. 3.1. Modelos regionales de transporte Comenzaremos por estudiar el comportamiento de un trazador: esto es, una sustancia hidrodinámicamente inactiva, que no es absorbida ni sufre transformaciones quı́micas. Si recurrimos al Teorema del Transporte de Reynolds, 16 podremos escribir para la masa de contaminante N = MC y su concentración especı́fica η = c: I Z DMC ∂ 3 ρcV · nda (20) ρcdx + = Dt ∂t ∂Ω Ω Es necesario encontrar una expresión para el cambio total en la masa de contaminante: para ello, observemos que existen dos mecanismos que contribuyen al cambio en la masa: el aporte o consumo desde una fuente, o su difusión. Con esto en mente, podremos escribir que: Z I DMC 3 = Sd x − j · nda. (21) Dt Ω ∂Ω El flujo difusivo de contaminantes a través de un área elemental puede modelarse mediante un modelo de Ficks, proporcional al gradiente de la concentración, cambiado de signo [Cfr. § 1.3] j · nda = −Dm gradc · nda (22) Reuniendo todas las expresiones parciales, obtenemos una expresión para el balance de la masa de contaminante: I Z Z I ∂ 3 3 ρcV · nda = Sd x + Dm gradc · nda (23) ρcdx + ∂t ∂Ω Ω ∂Ω Ω A los efectos prácticos, los balances que se efectúen deberán realizarse a escala macroscópica, es decir para el caso del flujo de contaminantes, se deberán calcular promedios sobre REVs, que contendrán un gran número de poros: convendrá recordar que el factor para convertir entre el volumen de control -geométrico- elegido y el volumen efectivamente ocupado por el fluido es la porosidad efectiva. Para tomar estos promedios se descomponen la concentración y la velocidad como suma de un valor medio macroscópico y una variación local. Ası́ V = V + δV c = c + δc (24) (25) Introduciendo las ecuaciones 24 y 25 en la 23, y tomando valores medios sobre todas las integrales, se obtiene I I Z ∂ 3 ρcV · nda + ρδcδV · nda = ρcd x + ∂t Ω ∂Ω ∂Ω Z I Sd3x + Dm gradc · nda (26) ∂Ω Ω 17 Vale aclarar que si se expande la expresión, aparecen en las integrales, factores de la forma Vδc, cδV, δV y δc respectivamente. Estos se anulan en el proceso de calcular los valores medios, en virtud que el promedio de la variación local es nulo, según surge de la misma definición de variación local y de la hipótesis de ergodicidad. El segundo término del primer miembro es el término que representa el transporte convectivo (o advectivo) debido al flujo medio y el tercero es el que tiene en cuenta la dispersión del contaminante: representa la parte del flujo debida a las irregularidades del campo de velocidades, las que son provocadas por el perfil de velocidades dentro del poro, el curvado de las lı́neas de corrientes alrededor de los granos y la sección variable de los poros; en el segundo miembro están representados los mecanismos de difusión del contaminante debida al flujo medio y el término fuente. Si el volumen de control fuera muy grande, las inhomogeneidades en la permea-bilidad del suelo provocarı́an variaciones. Y en el caso de modelos regionales bidimensionales, la integración vertical en zonas que incluyan bolsones de arcilla, por ejemplo, contribuirán a estas mismas variaciones. Estos tipos de dispersiones, que aparecen por efecto de utilizar grandes volumenes que incluyen inhomogeneidades de la matriz sólida se clasifican como macrodispersiones. El proceso de dispersión es bastante parecido en sus efectos a la difusión, de modo que es práctica representarlo por un término difusivo, de la forma δVδc = −Dgradc (27) donde D es análogo al tensor de difusión y recibe el nombre de tensor de dispersión. Nótese que la dispersión es siempre anisotrópica y de un orden de magnitud mayor en la dirección del flujo. Otra cuestión que no debe perderse de vista, es que la ecuación 27 tendrá validez siempre que las variaciones de velocidad dentro del volumen de control sean aleatorias, en el sentido que un trazador que lo atraviese, experimente todo el espectro de velocidades. Finalmente, con esta representación de la dispersión, es posible escribir la siguiente relación –en la que hemos descartado las barras que indican valores medios–: Z I ∂ 3 ρcd x + ρcV · nda = ∂t Ω Z Z∂Ω = Sd3 x + (Dm + D)gradc · nda (28) Ω ∂Ω Se puede obtener ahora una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el teorema de Gauss: transformando la integral de superficie en una de 18 volumen -recordando que el volumen encerrado por ∂Ω no está totalmente ocupado por el fluido, de modo que se deberá integrar sobre Ω y no sobre ∀-, pasando todo al primer miembro, igualando a cero y exigiendo que la integral sea nula para todo volumen que se elija, resulta ∂c + div{cV − (Dm + D)gradc} = S. (29) ∂t Equivalentemente, se expresan las formas conservativa y convectiva de la ecuación de transporte: ∂c + div(cV) = div{(Dm + D)grad c} + S (30) ∂t ∂c + V · grad c = div{(Dm + D)grad c} + S (31) ∂t en la expresión 31 se utiliza el hecho de que el campo de velocidad del flujo debe ser solenoidal en el medios porosos: divV = 0. Como hemos indicado más arriba, estamos interesados en la formulación de modelos regionales de transporte. Estos son escencialmente bidimensionales, para lo cual es necesario escribir un modelo integrado en profundidad. Para comenzar, designemos por m = a−b el espesor del acuı́fero y evaluemos la cantidad de contaminante transportado dentro o fuera del mismo a través de su superficie superior e inferior: Z a Z a j · ndA = jz dA = jz m = −Qcin (32) b b Este término deberá incorporarse al término fuente, S. cin es el valor de la concentración que se incorpora por filtraciones o una concentración promedio en el caso de que se bombee agua fuera del acuı́fero: esto es lo mismo que postular que la concentración en la superficie superior del acuı́fero es aproximadamente igual al promedio o que la extracción se hace desde un pozo perfecto. Para obtener las ecuaciones bidimensionales, procedemos como antes, pero escri-biendo el elemento de volumen como dx3 = mdA, obteniéndose la denominada ecuación de Bear: ∂mc + mdiv(cV) = mdiv{(Dm + D)gradc} + mS + Qci n (33) ∂t En lo sucesivo, reuniremos bajo el signo S todos los términos fuente, es decir, escribiremos mS + Qci n → S para resumir la escritura. Si en vez de representar el espesor del acuı́fero por m, se define como m = h − b, esta expresión es válida también para un acuı́fero freático. 19 3.2. Interacción del contaminante con el medio: contaminates activos Hasta aquı́ hemos considerado un trazador. No todos los contaminantes se comportan como trazadores, puediendo sufrir dos tipos de procesos: o una reacción que en general involucra un decaimiento o una absorción. La reacción puede modelarse de diversos modos, siendo la reacción de primer orden la más simple y que servirá para nuestro propósito: en este modelo, se asume que la tasa de decaimiento en un instante dado es proporcional a la concentración en dicho instante: dc = −λc (34) dt donde λ es la tasa de decaimiento, constante. Este tipo de modelo representa una gran variedad de reacciones, incluso el decaimiento radiactivo. En el caso en que el contaminante es absorbido (o desorbido de la matriz sólida), el balance de concentración debe incluir no solo la masa disuelta o transportada por el flujo sino además la que es absorbida y liberada. En general la concentración de contaminantes en el flujo se mide como la masa de contaminante por unidad de volumen de lı́quido, la concentración absorbida ca se mide como masa de contaminante por unidad de masa de la matriz sólida, seca. De modo que para comparar ambos sobre un volumen de control será necesario un factor de renormalización: ası́ en un volumen de control, la masa de contaminante será ∆M = c + (1 − )ρca (35) donde ρ es la densidad de la matirz sólida. Incluyendo 34 y 35 en 33 y despreciando el efecto de la difusión molecular frente a la dispersión, obtenemos ∂{mc + m(1 − )ρca } +mdiv(cV) = mdiv{Dgradc}−λ{mc+m(1−)ρca }+S ∂t (36) Es necesario proveer una ecuación de clausura para ca , es decir necesitamos modelar de algún modo el proceso de absorción. Para ello hay que tener en cuenta dos posibles condiciones del proceso: la primera es si las concentraciones en la matriz sólida y en el fluido están en equilibrio, en cuyo caso es posible utilizar la ley de Henry ca = κc (37) que indica que la concentración absorbida es proporcional a la del fluido, o que las concentraciones no estén en equilibrio. Si no lo están, una posible 20 forma de representar esta evolución es mediante la siguiente relación (1 − )ρ ∂{m(1 − )ρca } = mα c − ca ∂t (38) en la que nuevamente la tasa de cambio local de la concentración en la matriz sólida es proporcional a la diferencia respecto de la concentración en el lı́quido. Para finalizar, debemos hacer incapié en una cuestión: hasta ahora, no hemos distinguido demasiado precisamente entre la porosidad y la porosidad efectiva. Pero el agua inmobilizada en la fracción de volumen representada por ε − también recibe y atrapa contaminantes por difusión: el efecto de retención puede contemplarse como una absorción suplementaria fuera de equilibrio. Escri-biendo el balance para las concentraciones en el lı́quido inmóvil y en el móvil e incluyendo un término de intercambio, resulta: ∂m1 c1 +mdiv(c1 V) − mdiv{Dgradc1 } = m1 λc1 − α(c1 − c2 ) (39) ∂t ∂m2 c2 = m2 λc2 + α(c1 − c2 ) (40) ∂t donde c1 y c2 son las concentraciones en el lı́quido móvil e inmóbil y 1 y 2 son las fracciones de espacio vacı́o ocupadas por las fases lı́quidas móvil e inmovil respectivamente. El intercambio fuera de equilibrio de contaminantes provoca el reflujo en las plumas de polución que se observa en el campo: sin embargo en lo que sigue lo despreciaremos por no ser un efecto dominante. Justifica esto, además que es indistinguible del efecto propio de la dispersión. Asumiendo que sólo habrá absorción en equilibrio, introducimos la ecuación 37 en la ecuación 36 ∂mRc + mdiv(cV) = mdiv(Dgradc) − λ{mRc} + S ∂t (41) donde R = 1 + ρκ(1 − )/. Notemos que incluir la absorción lineal produce un retardo en el proceso de transporte: esto se ve más fácilmente si se divide ambos miembros de la ecuación anterior por mR. Siendo R adimensional, la velocidad efectiva en el poro es V/R, con R > 1, actuando tanto sobre el me-ca-nismo convectivo cuanto sobre el dispersivo. El coeficiente R recibe el nombre de coeficiente de retardo. 21 4. Una aplicación: solución analı́tica y numérica del transporte inestacionario unidmensional Como ejemplo de aplicación de lo expuesto, vamos a resolver el problema de la inyección instantánea de un contaminante en un dominio unidimensional. Este problema puede servir de modelo para estudiar el transporte en un acuı́fero de extensión infinita y con un campo de velocidades constante, en el cual se ubica un sistema de coordenadas, cuyo eje x − x coincide con la dirección del vector velocidad, de modo que ~u = uı̌. En este caso, estamos aceptando que ∂c ∂c = =0 (42) ∂y ∂z de modo que la ecuación de transporte toma la forma: u ∂c D ∂2c ∂c + = − λc , ∂t R ∂x R ∂x2 4.1. en R. (43) Solución analı́tica La inyección del contaminante será incorporada al modelo como una condición inicial. Para simularla, recurriremos a la distribución de Dirac o función impulso como se la denomina indistintamente y que se indica con el sı́mbolo δ. Esta distribución es tal que: Z ∞ Z ∞ δ(x)dx = 1 , δ(x − x0 )f (x)dx = f (x0 ) (44) −∞ −∞ y pude ser empleada en la construcción de la condición inicial c(x, 0): si la masa total de contaminante que se inyecta en el origen es ∆Mc , la correspon∆M diente concentración será mwR y la condición inicial: c(x, 0) = ∆M δ(x). mwR (45) Además de una condición inicial, este problema requiere dos condiciones de contorno. Estas se obtienen de exigir que la solución en todo instante debe permanecer acotada. La forma de lograr esto, es exigir que asintóticamente, la distribución de contaminante tienda a cero: c(±∞, t) = 0 22 ∀t. (46) Por sustitución es posible verificar que la solución del anterior problema viene dada por: ∆M (x − ut/R)2 q c(x, t) = exp − exp(−λt) (47) 4αL ut/R 2wm παL ut R donde αL está relacionada con D. Esta solución tiene la propiedad de satisfacer en todo instante la conservación de la masa de contaminante: si tenemos en cuenta que la masa total de contaminante disminuye debido al efecto del decaimiento, en el instante t, la masa de contaminante es ∆Mexp(−λt): en efecto puede verse que: Z ∞ wmc(x, t)dx = ∆Mexp(−λt). (48) −∞ En general no es posible realizar esta integración en forma analı́tica debiéndose recurrir a algún esquema numéricos, como el que sigue: considérese la siguiente aproximación de los operadores diferenciales por operadores en diferencias, donde cni es una aproximación de c(xi , tn ): ∂c cn+1 − cni (xi , tn ) ∼ i , ∂t ∆t cn − cni−1 ∂c (xi , tn ) ∼ i+1 , ∂x 2∆x cni+1 − 2cni + ci−1 ∂2c (x , t ) ∼ , i n ∂x2 ∆x2 y que al ser reemplazadas en la ecuación diferencial 42 resulta: D cni+1 − 2cni + ci−1 u cni+1 − cni−1 cn+1 − cni i = − − λcni . (49) ∆t R ∆x2 R 2∆x Esta estrategia es la base del método de diferencias finitas, aunque puede pensarse como un método de colocación, en el marco de la formulación en residuos ponderados. Operando algebraicamente, es posible reducir la anterior a la siguiente: = (γ1 + γ2 )cni−1 + (γ3 − 2γ1)cni + (γ1 − γ2 )cni+1 cn+1 i (50) D∆t u∆t γ1 = , γ2 = , γ3 = 1 − λ∆t 2 R∆x 2R∆x Esta expresión en diferencias, centrada en el espacio y hacia adelante en el tiempo, tiene la siguiente propiedad: Propiedades 1 Consideremos el caso en que no existe decaimiento, esto es λ = 0. Si sumamos los coeficientes de la ecuación en diferencias, esta suma es la unidad. En efecto, si hacemos (γ1 +γ2 )+(γ3 −2γ1 )+(γ1 −γ2 ) = γ3 = 1−λ∆t, que con λ = 0 da la unidad. 23 Este esquema se implementa muy fácilmente en un programa. Por ejemplo, en C, resulta: // sample program: 1-D INJECTION SIMULATION // #include <stdio.h> #include <math.h> main() { int i, n; FILE *salida; // data const float D = 0.005, R = 1, const float u = 0.05,l = 0.005 // grid definition const int N = 100, M = 520; const float DeltaX = 0.01; const float DeltaT = 0.001; float c[N][M]; // variables float g1, g2, g3, A1, A2, A3 // initial condition for(i = 0; i < N; i++) c[i][1] = 0.0; c[10][1] = 1; // pre-processing g1 = (D * DeltaT) / (R * DeltaX*DeltaX); g2 = (u * DeltaT) / (2 * R * DeltaX); g3 = 1 - l * DeltaT; A1 = g1 + g2; A2 = g3 - 2 * g1; A3 = g1 - g2; // main loop for(n = 1; n < M-1; n++) { c[0][n+1] = 0; c[N-1][n+1] = c[0][n+1]; for(i = 1; i < N-1; i++) c[i][n+1] = A1*c[i-1][n] + A2*c[i][n] + A3*c[i+1][n]; } } 24 Concentration Concetration distribution 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.1 -0.05 t t t t t 0 0.05 0.1 0.15 = = = = = 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.2 0.25 0.3 x-x coordinate Figura 5: Distribución de la concentración para distintos instantes, R = 1 Concentration distribution Concentration distribution 0.09 0.12 R = 1.5 R = 1 R = 1.5, t = 0.3 R = 1, t = 0.2 0.1 0.07 Concentration Concentration 0.08 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01 0 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Figura 6: Comparación del efecto del retardo en el transporte Hemos fijado para el ejemplo anterior, un coeficiente de difusividad D de 0.05, un coeficiente de retardo R de 1, un campo de velocidades cuyo módulo vale 0.05 y un coeficiente de decaimiento λ, representado por la variable l de 0.005. El resultado de la simulación para distintos instantes se representa en la Figura 5: podemos ver el efecto de la difusión que ensancha la distrbución original, tanto aguas arriba como aguas abajo, el efecto de la convección que desplaza la posición del máximo de la distribución en la dirección de la corriente, y el efecto del decaimineto, que disminuye el área bajo la curva. Luego hemos cambiado el valor de R, el coeficiente de retardo de 1 a 1.5, para poder apreciar el efecto: el resultado se muestra en la Figura 6, junto con el resultado anterior para comparar el efecto. Vemos que la distribución es casi idéntica si se toman las distribuciones para un instante 1.5 veces menor para el caso retardado que para el sin retardo. 25 4.2. Otras cuestiones Existen, por cierto otras cuestiones referentes a la elección e implementación de los esquemas numéricos. Algunas son verdaderamente especializadas y requieren más espacio que el de estas notas. Sin embargo y siendo las cuestiones más importantes, se presentan brevemente para referencia, las siguientes cuatro cuestiones: Up–Winding: esta es una modificación que suele resultar necesaria y que consiste en descentrar la formulación de la aproximación espacial. Conceptualmente, el valor de concentración en un punto de la partición del dominio, se expresa como promedio pesado de los valores en puntos vecinos de la partición. Ası́, eligiendo -por ejemplo- los valores de c en xi−1 , en xi y en xi+1 para construir una aproximación centrada de la ecuación de transporte, resulta en una expresión que pesa los valores de ci−1 , ci y ci+1 con los factores γ1 +γ2 , γ3 −2γ1 y γ1 −γ2 , respectivamente [Cfr. Ec. 50 ]. Cuando se calcula la masa de contaminantes transportada por la convección, la concentración aparece combinada con la velocidad: esto indica una dirección preferencial en el transporte, dada por la de la velocidad [nótese que esta asimetrı́a no aparece en el caso difusivo-dispersivo]. Y una forma de introducir esta influencia desigual de los nodos vecinos es pesarlos de manera diferente. Consideremos entonces, las tres absisas xi−1 , xi y xi+1 , rodeadas de tres subintervalos que no se superponen, dados por: [xi−3/2 , xi−1/2 ] [xi−1/2 , xi+1/2 ] [xi+1/2 , xi+3/2 ]. (51) Considerando -sin pérdida de generalidad- un acuı́fero de espesor constante m, ancho w y porosidad , la masa de contaminante que entra a la caja centrada en xi en el intervalo [tn , tn+1 ] vendrá dada por: ui−1 (αci−1 + (1 − α)ci )wm∆t − ui(βci + (1 − β)ci+1)wm∆t (52) donde α = 21 (1 + signo(ui−1)) y β = 12 (1 + signo(ui)). Si α = β = 0,5 recuperamos la formulación anterior, centrada. Cómo regla, indiquemos que: Lema 1 (up-winding) Si el transporte está dominado por convección, será ventajoso utilizar Up-Winding. Si por el contrario, está dominado por efectos difusivo-dispersivos, será preferible la aproximación centrada. 26 Consistencia y Estabilidad: de los esquemas numéricos se esperan básicamente dos propiedades: consistencia y estabilidad. La primera es la que nos asegura que, si se hace tender el tamaño de la grilla a cero, la solución aproximada del esquema tenderá a la solución exacta del problema diferencial. La segunda, asegura la robustez del esquema: esto es, que si se introducen perturbaciones -podemos pensar en pequeñas oscilaciones- estas se amortigüen hasta desaparecer. Para asegurar la estabilidad en los esquemas vinculados al transporte de contaminantes, existen diversas condiciones. Las más importantes son: el criterio de Courant, que exige que el número de Courant Co sea menor que la unidad. Siendo: ∆tu < 1, Co = (53) ∆x la condición asegura que la cantidad de contaminante que abandona cada subintervalo en el intervalo [t, t + ∆t] no excede la cantidad de contaminante allı́ presente, el criterio de Neumann, que exige que el número de Neumann, N sea menor que 0.5, D∆t 1 ≤ N = (54) ∆x2 2 y asegura que los gradientes de concentración no puedan ser revertidos sólo por efectos difusivos-dispersivos. Formulaciones implı́citas: Una cuestión conectada a la estabilidad es el hecho de que nuestro esquema es explı́to: esto resulta de nuestra elec∂ ción de la aproximación del operador ∂t con una diferencia hacia adelante. En general y siguiendo la idea del promedio pesado, es posible aproximar c(xi , τ ), con tn ≤ τ ≤ tn+1 como: c(xi , τ ) = θcn+1 + (1 − θ)cni . i (55) Si θ = 0, se tratará de nuestro esquema explı́cito, mientras que si θ = 1, se trata de un esquema implı́cito como resultarı́a de tomar diferencias hacia atrás. Si, por ejemplo, adoptáramos el valor θ = 0,5, el esquema es implı́cito y se denominará de Crank-Nicholson. 27 Dispersión numérica: este es un efecto indeseado, pero a la vez inevitable para el esquema planteado como hasta ahora. Para entender de que se trata, expandamos en series la concentración c(x, t) alrededor de xi y a instante fijo (t = ctte): c(xi−1 ) = c(xi ) − ∂c 1 ∂2c ∆x + ∆x2 + · · · ∂x 2 ∂x2 (56) de modo que, reordenando podemos obtener u c(xi ) − c(xi−1 ) u ∂ 2 c ∂c ∼u + ∆x2 . ∂x ∆x 2 ∂x2 (57) Esto quiere decir que en nuestra formulación estamos aproximando dos términos: c(xi ) − c(xi−1 ) ∂c u ∂ 2 c u →u − ∆x2 (58) 2 ∆x ∂x 2 ∂x El término de la derivada segunda, es un término dispersivo que puede sumarse a los efectos difusivo-dispersivos, con una dispersividad DN = u∆x2 /2, de origen numérico, denominada dispersividad numérica y que aparece debido al tipo de aproximación elegida. La forma de hacerla despreciable es eligiendo el tamaño de la grilla de modo que la dispersión numérica sea despreciable frente a la del sistema. La condición se expresa en términos del número de Péclet de la grilla, exigiendo que tienda a cero: u∆x Pe = → 0. (59) D 28