Problemas 5.

1
Problemas resueltos.
Problema 5.1
Para la red de la figura P5.1, determinar la red equivalente
más simple, respecto de la red R.
Se tienen R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, k = 4, m = 1/2
i2 R1
R3
R
ia
+
mv1
i
kia
v1
R2
v
Figura P5.1.
Solución.
Definiendo la corriente i2, se plantean las ecuaciones:
v = R3 i + v1, i2 + k ia − ia + i = 0, m v1 = R1 i2 + v1, v1 = R2 ia
No es necesaria plantear la ecuación LVK en la malla central,
ésta está implícita si se define v1 como el voltaje en la fuente
dependiente de corriente.
Eliminando: i2, ia, v1 resulta:
v=
i ( − R3 R2 + m R2 R3 − R1 R2 + R1 k R3 − R1 R3 )
m R2 + R1 k − R1 − R2
Evaluando con los datos dados, se obtiene: v = 2 i
La red más simple es una resistencia de valor 2, se muestra
en la figura P5.2.
2
Capítulo 5
i
R
2
v
Figura P5.2.
Problema 5.2.
Para la red de la figura P5.3, determinar la red equivalente
más simple, respecto de la red R.
i
A
R1
R
R2
v
R3
C
B
R4
R5
D
Figura P5.3.
Solución.
Si se cumple la condición de puente equilibrado:
R1 R5 = R2 R4
a) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; si se
reemplaza por un circuito abierto la resistencia equivalente
será:
R = ( R1 + R4 ) || ( R2 + R5 )
b) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; por lo
tanto el voltaje en la resistencia será cero; si se reemplaza por
un corto circuito la resistencia equivalente será:
Redes equivalentes.
3
R = ( R1 || R2 ) + ( R4 || R5 )
Si no se cumple la condición de equilibrio del puente existen
diversas alternativas para reducir el puente:
c) El triángulo ABC se reemplaza por una estrella.
i
A
r2
v
R
r3
r1
C
B
R4
R5
D
Figura P5.4.
La resistencia equivalente puede calcularse en la figura P5.4
según:
R = r2 + (r1 + R4 ) || (r3 + R5 )
d) La estrella cuyo nodo central es B, puede reemplazarse por
un triángulo, como se muestra en la figura P5.5; esto elimina el
nodo B.
i
A
R2
R
v
r1
r4
C
r3
R5
D
Figura P5.5.
4
Capítulo 5
La resistencia equivalente puede calcularse en la figura P5.5
según:
R = r4 || ((r1 || R2 ) + (r3 || R5 ))
Problema 5.3.
Para la red de la figura P5.6, determinar la red equivalente
más simple, respecto de la red R.
R1
i
i1
e
v
+
+
mv
ki1
R
R2
Figura P5.6.
Solución.
Definiendo variables en las componentes, según se
muestra en la figura P5.7.
R1
i5
+
e
i1
v5
v1
v3
i
i3
+
mv
i4
ki1
i2
v
v4
R2
v2
Figura P5.7.
Se pueden escribir cinco ecuaciones de equilibrio:
v1 = R1i1 , v2 = R2i2
v3 = mv, i4 = ki1 , v5 = e
Tres ecuaciones LCK:
i5 = i1 , i3 = i1 , i = i2 − i4
R
Redes equivalentes.
5
Tres ecuaciones LVK:
v5 = v1 + v3 , v = v2 , v = v4
Si en las once ecuaciones anteriores se eliminan las diez
variables internas: v1, v2, v3, v4, v5, i1, i2, i3, i4 e i5, se obtiene:
v=
R1 R2
R2 ke
i+
R1 + kmR2
R1 + kmR2
Definiendo:
Re =
R1 R2
R1 + kmR2
Ee =
R2 ke
R1 + kmR2
La red equivalente puede representarse según la figura P5.8
i
Re
+
Ee
v
Figura P5.8.
R
6
Capítulo 5
Ejercicios propuestos.
Ejercicio 5.1.
Para la red de la figura E5.1, calcular la corriente i:
A
2
B
3
4
5
i
C
2
D
10
Figura E5.1.
a) Mediante transformación estrella-triángulo.
b) Aplicando red equivalente entre B y C, vista por la
resistencia de 4 ohms.
c) Aplicando movilidad de fuentes de corriente.
Indicar los teoremas que se aplican, y volver a dibujar la red
después de aplicarlos.
Ejercicio 5.2.
Para la red de la figura E5.2:
F
G
H
i2
7
5
3
4
3
2
A
+
5
D
C
B
i1
4
2
E
Figura E5.2.
5
Redes equivalentes.
7
Aplicar teoremas de equivalencia para:
a) Calcular la corriente i1.
b) Calcular la corriente i2.
c) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 5
ohms, entre los vértices C y E.
d) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 4
ohms, entre los vértices G y B.