I, J

F. REPRESENTACIÓN Y COMPARACIÓN
DE PERFILES-PONDERADOS
1. Comparación de perfiles-ponderados
Una diferencia entre dos perfiles-línea, para una modalidad
j en columna, es tanto más contributiva a la comparación de
las líneas cuanto más raro sea el atributo j.
✔ Ponderación de las contribuciones de cada modalidad j
(o i) a la comparación de dos líneas (columnas) con el
peso de la columna (línea).
2. Evaluación de la comparación de perfiles :
distancia del Chi2
à Distancia del Chi2 entre dos perfiles-línea :
J
1
d (i ,i' ) = ∑
j =1 f . j
 fij f i' j 
f − f 
i'. 
 i.
2
∀i,i' ∈ I
à Distancia del Chi2 entre dos perfiles-columna :
1  f ij fij ' 
d ( j , j' ) = ∑  − 
f . j' 
i =1 f i .  f . j
K
2
∀j,j' ∈ J
La distancia del Chi2 neutraliza todas las distorsiones
en la representación de la información de la Tabla de
Contingencia.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°31
3. Espacios de representación con
la distancia del Chi2
Se asocia a las Tablas de Perfiles las Tablas de Perfiles
Ponderados dividiendo:
à C/ perfil-línea por
pj =
à C/ perfil-columna por
pi =
f. j
fi.
Se obtiene así las coordenadas de representación de los
elementos.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°32
TRANSFORMACIÓN DE LOS ESPACIOS DE REPRESENTACIÓN
Puntos-perfiles en línea de la Tabla F
Puntos-perfiles-ponderados en línea
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°33
✔
¿Qué deformación han sufrido los espacios de representación de los puntos-perfiles en la nueva metáfora de la
información de la Tabla de Contingencia...?
✔
La información de la Tabla F se presenta ahora bajo la
forma de la «posición relativa de los puntos, dotados de
masa, en un espacio euclidiano».
Construimos así una nueva metáfora analógica de la información de la Tabla F.
La forma de la información aportada por
esta nueva metáfora gráfica no puede ser
interpretada en términos de posición relativa de puntos-perfiles puesto que están dotados de masa.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°34
4. Propiedad de la distancia del Chi2:
equivalencia distribucional
✔
Definición
En espacios dotados de la distancia del Chi2, se
puede remplazar dos líneas (columnas) por una
línea (columna) igual a la suma de esas dos
líneas (columnas) sin que ello modifique las
distancias entre las columnas (líneas).
✔
Verificación con un ejemplo numérico :
TABLA T
TABLAS DE PERFILES ASOCIADA A LA TABLA T
Perfiles en Línea
Perfiles en Columna
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°35
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
TABLA T
TABLA T' (3 X 2)
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
TABLA DE PERFILES
EN LÍNEA DE T'
Tr. N°36
5. Resumen
Definimos así un modo analógico y digital apropiado para
comunicar la información aportada por una Tabla de Contingencia, pero...
¿Cómo debemos «leer» en esos espacios de
representación la forma de la información de
la Tabla F...?
otra pregunta...
¿Cómo evaluar globalmente la información
aportada por una Tabla F...?
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°37
G. REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN EN TÉRMINOS DE INERCIA DE
UNA NUBE DE PUNTOS
1. Inercia de una nube de puntos-perfiles
dotados de peso
✔
Inercia de una nube de puntos N(I) con respecto a un punto
m cualquiera = dispersión de la nube de puntos en torno a
ese punto.
I
I m = ∑ pi d (2i ,m ) ∀i ∈ I
i =1
La inercia (dispersión) de la nube
de puntos con respecto a m es igual
a la suma, para todos los puntos, del
producto del cuadrado de la distancia de cada punto a m por el peso
asociado a cada punto.
2. Contribución a la inercia del punto i
con respecto a m
Contrib. I m (i ) = pi d (2i ,m ) ∀i ∈ I
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°38
3. Inercia con respecto a G de una nube de
puntos-perfiles dotados de peso
Los puntos de la nube N(I)
están en equilibrio en torno a G si
la rotación del sistema de puntos
en torno a G es nula.
✔
Inercia de los puntos-perfiles línea ponderados con
respecto a los puntos GL y GC
I
Ν (I )
GL
= ∑ Contrib.GL (i )
I
Ν (J )
GC
= ∑ Contrib.GC ( j )
I
i =1
J
j =1
y se puede demostrar que:
I GΝL( I ) = I GΝC( J )
¿Qué significa esta dispersión común a esas dos nubes
de puntos-perfiles...?
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°39
4. Desvío a la situación de independencia :
asociación de dos variables cualitativas
✔
Tabla de independencia o tabla teórica :
Término general :
fij* = f i . × f . j
con :
I
∑ f = ∑ fi . = 1
i =1
J
I
*
i.
i =1
y
J
∑ f = ∑ f. j = 1
j =1
*
.j
j =1
Las distribuciones de la tabla teórica son proporcionales a
sus distribuciones marginales :
I
I
∑ f = f . j ∑ fi . = f . j ∀j ∈ J
i =1
J
*
ij
i =1
J
∑ f = fi . ∑ f . j = fi . ∀i ∈ I
j =1
*
ij
j =1
Para medir la asociación entre dos variables
cualitativas hay que evaluar la importancia
con la cual lo observado se aleja de la situación de independencia.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°40
✔ Tabla de Desvíos a la situación de independencia :
Término general :
eij = f ij − f ij*
∀i ∈ I ; ∀j ∈ J
Problemas de interpretación de esta tabla...
✔ Tabla de desvíos ponderados :
Término general :
*
ij
e
[
f
=
ij
−f
fij*
]
* 2
ij
∀i∈I ; ∀ j∈J
✔ Interés de esta Tabla :
Suma de los valores de esta tabla = coeficiente del ϕ 2
I
J
I
J
ϕ = ∑ ∑ e =∑ ∑
2
i =1 j =1
*
ij
[f
i =1 j =1
ij
−f
fij*
]
* 2
ij
∀i∈I ; ∀ j∈J
El coeficiente del ϕ 2 puede ser expresado con los
elementos de la Tabla F (I, J):
I
J
I
J
ϕ 2 = ∑ ∑ eij* =∑ ∑
i =1 j =1
[f
− f i. . f . j ]
∀i∈I ; ∀j∈J
f i. . f . j
2
ij
i =1 j =1
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°41