Document

5. Proceso de construcción del nuevo
referencial
La definición del nuevo referencial se hace en cuatro etapas:
➩ Primera etapa : Búsqueda de la primera dirección principal de la nube de puntos-perfiles N(I)
o N(J). Por ej.: recta p1,
➩ Segunda etapa : Definición del subespacio de
J-1 dimensiones, ortogonal la primera dirección
principal elegida (inercia residual ortogonal de
la nube de puntos),
➩ Tercera etapa : Búsqueda, en ese subespacio,
de la segunda dirección principal de deformación.
Por ej.: recta p2,
➩ Cuarta etapa : Se repiten las etapas 1°, 2° y 3°
hasta anulación de la inercia residual a proyectar en un último subespacio ortogonal.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°61
La inercia IG de las nubes de puntos-perfiles N(I) y N(J) es
así descompuesta en :
I G = I //N0( I ) + I //N0( I ) + ... + I //N0( I )
δ1
δ2
δI
I G = I //N0( J ) + I //N0( J ) + ... + I //N0( J )
δ1
δ2
puesto que :
δJ
I G = I GΝL( I ) = I GΝC( J )
,
además...
I //N0( I ) ≥ I //N0( I ) ≥ ... ≥ I //N0( I )
δ1
δ2
δI
I //N0( J ) ≥ I //N0( J ) ≥ ... ≥ I //N0( J )
δ1
δ2
δJ
por definición de las «direcciones principales de deformación»
de las nubes de puntos-perfiles.
¿Cuántas direcciones principales se pueden
extraer (como máximo) para descomponer
completamente la inercia de una nube de
puntos-perfiles...?
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°62
➩ Para hacer la «mejor» representación posible de la
inercia IG de una nube de puntos-perfiles es necesario
y suficiente:
✔ determinar las p direcciones principales de
deformación de la nube,
✔ construir las p rectas que pasan por G y que son
colineales con esas direcciones principales,
✔ proyectar los puntos ortogonalmente a esas rectas,
construyendo así los p ejes factoriales,
✔ representar sucesivamente los planos factoriales que
resultan de la descomposición de la inercia IG de la
nube de puntos-perfiles...
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°63
6. ¿Cómo se calculan las rectas que constituyen el nuevo referencial...?
➩ Direcciones principales de N(I) : «diagonalización de
la matriz de inercia».
Problema clásico del cálculo numérico... Determinación de los valores propios y los vectores propios
asociados a una matriz simétrica, definida positiva.
➩ De ese proceso de cálculo, resultan los vectores propios uα de V(J, J) y wα de B(I, I) , asociados a los mismos
valores propios
➩
0 ≤ λ α ≤ 1.
Los vectores propios están ligados por las siguientes relaciones :
1
=
uα
K'.wα
λα
y
1
=
wα
K .uα
λα
Se diagonaliza la matriz de inercia correspondiente al espacio que contenga menos puntos.
Los vectores propios del otro espacio son definidos por
medio de las relaciones anteriores.
➩
¿Cómo se contruyen los ejes factoriales?
Por proyección ortogonal de los puntos sobre las direcciones principales de las nubes de puntos-perfiles.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°64
J. REPRESENTACIÓN FACTORIAL DE LA
INFORMACIÓN APORTADA POR UNA
TABLA DE CONTINGENCIA
1. Propiedades de los factores de una nube de
puntos-perfiles
a) Coordenadas de los puntos-perfiles
Fα (i ) = ∑ zij uαj
J
Gα ( j ) = ∑ kij wαi
I
y
j =1
i =1
b) Coordenadas del Centro de Gravedad
Las coordenadas del Centro de Gravedad en los espacios
factoriales son todas nulas.
I
∀i ∈ I ; ∀α ,∑ fi . Fα (GL ) = 0
i =1
J
∀j ∈ J ; ∀α , ∑ f . j Gα (GC ) = 0
j =1
➩
Los factores son p variables «centradas» (continuas,
a valor en
R).
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°65
c) Varianza de los factores
= 0,
de modo que : ∀α = 1,..., p
Sabemos que : xα
,
s = ∑ pi (xαi − xα ) = ∑ pi (Fα (i ) − 0)
2
α
I
I
2
i =1
2
i =1
s = ∑ pi (Fα (i )) = λ α
2
α
I
2
i =1
➩
Varianza del factor α : inercia de N(I) a lo largo del eje.
➩
Inercia a lo largo de un eje α : valor propio del eje α...
I
λ α = ∑ pi (Fα (i ))
2
i =1
∀α = 1, 2 ,..., p
d) Significado de los valores propios de
una matriz de inercia
➩
Valor propio asociado a un eje factorial : parte asumida
por el eje de la relación observada entre las variables de
la Tabla T.
e) ¿Qué significa un valor propio λα = 1...?
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°66
f) ¿Cuáles son los valores propios (y los ejes
factoriales) pertinentes de un análisis...?
g) Tasa de inercia de un factor
λα
λα
τα =
× 100 =
× 100
IG
∑ λα
α
p
de modo que:
∑ τα = 100%
α =1
h) Tasa de inercia de un plano factorial
τα
λ
(
=
αj
+ λαk
∑ λα
)
× 100
α
¿Qué significa la tasa de inercia de un eje factorial ...?
i) La representación factorial de las nubes de puntos
N(I) y N(J) conserva la información de la tabla T
Verificación que aconsejamos realizar...
d
2
(i ,i' )
 fij f i' j 
1
=∑  −

fi'. 
j =1 f . j  f i .
K
2
y
d
2
(i ,i' )
p
= ∑ (Fα (i ) − Fα (i' ))
2
α =1
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°67
2. Componentes digitales del mensaje
a) Contribución de los puntos-perfiles a
la inercia a lo largo de un eje factorial
pi (Fα (i ))
CTR α (i ) =
λα
2
× 100
p j (Gα ( j ))
CTR α ( j ) =
λα
2
➩
× 100
∀i ∈ N (I )
∀j ∈ N (J )
El coeficiente CTRα(i) (o CTRα(j)) es llamado «contribución
del punto-perfil» a la inercia del eje α.
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°68
b) Calidad de representación de un punto-perfil
a lo largo de un eje factorial
➩
Distancia de un punto-perfil al origen :
d
d
2
(i ,G )
2
( j ,G )
p
= ∑ (Fα (i ))
∀i ∈ N (I )
2
α =1
p
= ∑ (Gα ( j )) ∀j ∈ N (J )
2
α =1
De modo que :
2
(
Fα (i ))
∀α = 1, ..., p
COR α (i ) =
× 100
2
d (i ,G )
(
Gα ( j ))
COR α ( j ) =
2
2
➩
d ( j ,G )
× 100
∀α = 1, ..., p
Siendo :
p
∑ COR α (i ) = 1 ∀i ∈ N (I )
α =1
p
∑ COR α ( j ) = 1 ∀j ∈ N (J )
α =1
➩
El coeficiente CORα(i) (CORα(j)) es designado también :
COS2α(i) (COS2α(j)).
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°69
c) Significado del coeficiente de calidad de
representación de un punto-perfil sobre
un eje factorial
➩
El cuadrado del coseno del ángulo w mide la «calidad de
la representación» de la distancia del punto i al origen del
eje α
α.
(
Fα (i ))
( )=
cos (ω) = COR α i
2
➩
2
d (2i ,G )
¿Qué significa «medir la calidad de representación de un
punto-perfil» sobre un eje factorial...?
2
(
(
)
)
F
i
'
cos 2 (ω' ) = COR α (i' ) = α 2
d (i' ,G )
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°70
d) Significado del coeficiente de calidad de representación de un punto-perfil sobre un plano factorial
Vemos que:
d (2i' ,0 ) = (F12 (i ) + F22 (i ))
la «calidad de representación» sobre el plano factorial :
(
F (i ) + F (i ))
(i ) =
2
COR β
➩
2
2
1
d (2i ,0 )
Otro ejemplo de control de errores de proyección :
Pr
ograma PREST
do CRIVISQ
A - 1999 - Eduar
UI
Programa
Eduardo
PRESTA
RIVISQUI
Tr. N°71