Ejercicios resueltos de trigonometría

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Ejercicios resueltos de trigonometría
1) Resuelve los siguientes triángulos:
a)
6
4
3
b)
120º
8
6
40º
15
c)
8
60º
4
20
2) Desde lo alto de una torre de 40m se observa, cuando se mira hacia delante, un árbol. Cuando se
mira hacia atrás, se ve una casa. Sabiendo que la distancia entre el árbol y la casa es de 110m, y que
desde la base de la torre hasta el árbol hay 50m, calcula a) la distancia desde lo alto de la torre hasta
el árbol b) la distancia desde lo alto de la torre hasta la casa.
3) En el siguiente triángulo, calcula la longitud del lado x.
10
70º
x
8
20
4) Un hombre sube a lo alto de una montaña. Desde allí, observa a su derecha un pueblo A que se
encuentra a 8 kilómetros del pie de la montaña, y otro pueblo B a su izquierda a una distancia de
4Km. Si el ángulo de visión de ambos pueblos desde la cima es de 90º, calcula la altura de la
montaña.
5) En un triángulo obtusángulo, el lado mayor vale 70. La altura trazada sobre él determina dos
segmentos de 40 y 30. Si otro de los lados mide 50, halla la medida del ángulo obtuso.
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Soluciones
1)
a)
6
4
3
Este triángulo puede resolverse usando el teorema de Pitágoras. Para empezar, podemos hallar la
longitud del otro segmento de la base con los datos del triángulo rectángulo de la derecha:
h2 = C2 + c2
62 = 42 + c2
36 - 16 = c2
c= 4,47
Y la longitud del cateto que nos falta, con Pitágoras (usando sólo la mitad izquierda del triángulo,
para tener un triángulo rectángulo. Ten en cuenta que en este "minitriángulo" el cateto que
buscamos se comporta como la hipotenusa).
a2 = 32 + 42
a2 = 25
a=5
Para hallar los ángulos, recurrimos a las razones trigonométricas cogiendo siempre como referencia
los dos triángulos rectángulos.
A
5
B
3
6
4
C
5,33
sen B = 4/5
→
B = 53,13º
cos C = 5,33/6
→
C = 41,81º
A = 180º - 53,13º - 41,81º = 85,06º
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b)
120º
8
6
40º
15
Lo más fácil, para empezar, es calcular el ángulo que falta, sabiendo que los tres deben sumar 180º.
Mide, por lo tanto, 20º.
¡OJO!: nunca te fíes de que en el dibujo que te da el enunciado el triángulo "parezca" isósceles.
Las figuras que se ponen en los libros (o en documentos como este) no se dibujan con exactitud
geométrica. Sólo debes fiarte de los datos numéricos.
Vamos a coger ahora el medio triángulo de la derecha. Como es rectángulo, podremos calcular el
lado del triángulo que nos falta:
sen 20º = 6/x
x = 6/0,34 = 17,54
c)
8
60º
4
20
Para empezar, con una simple resta podemos calcular la longitud del segundo segmento de la base.
x = 20 - 4 = 16
Conociendo los dos segmentos de la base, podemos calcular la altura con el teorema de Pitágoras,
cogiendo de referencia el triángulo rectángulo de la izquierda:
82 = 42 + h2
64 = 16 + h2
2
h = 64-16 = 48
h = 6,93
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Y, trabajando con el segundo triángulo rectángulo, el de la derecha, podemos calcular el lado que
nos falta del mismo modo:
x2 = 6,932 + 162
x = 48 + 256 = 304
x = 17,44
2
Para calcular el ángulo de la base que nos falta, no nos movemos del anterior triángulo rectángulo:
cos A = 16/17,44 = 0,92
A = 23,45º
El tercer ángulo es lo que nos falte hasta los 180º:
B = 180º - 60º - 23,45º = 96,55º
2) Desde lo alto de una torre de 40m se observa, cuando se mira hacia delante, un árbol. Cuando
se mira hacia atrás, se ve una casa. Sabiendo que la distancia entre el árbol y la casa es de 110m, y
que desde la base de la torre hasta el árbol hay 50m, calcula a) la distancia desde lo alto de la
torre hasta el árbol b) la distancia desde lo alto de la torre hasta la casa.
Hagamos primero un esquema de la situación:
A
B
40m
50m
110m
Para calcular la distancia desde lo alto de la torre al árbol, nos basta usar el teorema de Pitágoras:
A2 = 402 + 502
A2 = 4100
A = 64,03m
Para calcular B vamos a usar el teorema del coseno. Recuerda que su fórmula es:
a2 = b2 + c2 - 2·c·m
(siendo m la proyección del lado c sobre el lado b)
B2 = 64,032 + 1102 - 2·110·50
B2 = 4100 + 12100 - 11000 = 5200
B = 72,11m
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3) En el siguiente triángulo, calcula la longitud del lado x.
10
70º
x
8
20
El problema puede resolverse en un solo paso utilizando el teorema del coseno.
x2 = 102 + 202 - 2·20·8
x2 = 100 + 400 - 320 = 180
x = 13,42
4) Un hombre sube a lo alto de una montaña. Desde allí, observa a su derecha un pueblo A que se
encuentra a 8 kilómetros del pie de la montaña, y otro pueblo B a su izquierda a una distancia de
4Km. Si el ángulo de visión de ambos pueblos desde la cima es de 90º, calcula la altura de la
montaña.
Hacemos un esquema del problema para situar los datos:
h
B
4Km
8Km
A
Si tenemos en cuenta que se trata de un triángulo rectángulo, la cosa es fácil. Basta con aplicar el
teorema de la altura:
h2 = 4·8 = 32
h = 5,66Km
(Éste problema, bastante sencillo como puedes ver, es un método práctico y real para medir la altura
de relieves geográficos).
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5) En un triángulo obtusángulo, el lado mayor vale 70. La altura trazada sobre él determina dos
segmentos de 40 y 30. Si otro de los lados mide 50, halla la medida del ángulo obtuso.
Hacemos primero, como siempre, un esquema con los datos:
A
50
40
30
Para calcular el ángulo A, vamos a hallarlo en dos partes, correspondientes a los ángulos superiores
de cada uno de los dos triángulos rectángulos. Luego los sumaremos.
Primero, calculamos la altura con el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la izquierda:
502 = 402 + h2
h2 = 2500 - 1600 = 900
h = 30
Hallamos la mitad izquierda de A con el seno:
sen A1 = 40/50 = 0,8
A1 = 53,13º
Y la mitad derecha con la tangente en el triángulo de la derecha:
tg A2 = 30/30 = 1
A2 = 45º
Por lo tanto:
A = A1 + A2 = 53,13º + 45º = 98,13º
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