Tema 1_2013_AnMatII

Capítulo 1
Integración de Funciones de
Varias variables
1.
Medida de Lebesgue en Rn
El cálculo de longitudes, áreas y volúmenes es uno de los asuntos matemáticos con más larga tradición histórica, habiéndose desarrollados a este fin
abundantes técnicas a lo largo de los siglos. Sin embargo, no es hasta bien
entrado el siglo XIX, cuando los matemáticos ven la necesidad de dar una
definición rigurosa de los conceptos de longitud, área y volumen. Este será
el problema que nosotros abordaremos en esta lección y en algunas de las
sucesivas.
En este curso no estamos interesados en definir la longitud de una curva,
ni el área de una superficie no plana, por lo que sólo trataremos el problema
de “intentar” asignar a cada subconjunto de Rn un número real mayor o
igual que cero (+∞), su n-medida, y que será su longitud, área o volumen,
según que n sea 1, 2 o 3. En el caso n = 1, no hay ninguna duda sobre
cuál ha de ser la medida (longitud) de, por ejemplo, un segmento o una
unión finita de segmentos. Elegida una unidad de longitud, un segmento se
representa en R por un intervalo [a, b], luego es lógico tomar como longitud
de este segmento al número b − a. En cambio no parece claro cuál deba ser
la longitud de otros subconjuntos de números reales, como por ejemplo el
conjunto Q de los racionales.
Para medir áreas es natural comenzar con figuras geométricamente sencillas, y obtener, a partir de éstas, el área de otras más complicadas. Así,
definiremos en primer lugar el área de un rectángulo. Si C es un rectángulo de lados a y b, su área será a·b. Para extender esta medida a otras
1
2
Integración de Funciones de Varias variables
1.1
figuras planas, parece natural respetar el criterio de que si una figura plana
se descompone en una cantidad finita (incluso numerable) de rectángulos
disjuntos dos a dos, su área sea la suma de las áreas de estos rectángulos.
Precisamente, la propiedad de que la medida del “todo"sea igual a la suma
de las medidas de las “partes", es lo que se tomará como definición de medida
abstracta.
Análogas consideraciones cabe hacer sobre el concepto de volumen de un
cuerpo en el espacio.
Preliminares sobre σ-álgebras y medidas
Definición 1.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de X
diremos que forman una σ-álgebra si satisface las condiciones siguientes:
1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A .
2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entonces
Bc ∈ A .
3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k =
1, . . . entonces ∪Bk ∈ A .
Si A es una σ-álgebra entonces A es cerrada también respecto a las
intersecciones numerables y respecto a la diferencia de conjuntos. para verlo
basta tener en cuenta que ∩Bk = (∪Bkc )c y B1 \ B2 = B1 ∩ B2c . Por otra
parte es inmediato comprobar que cualquier intersección de σ-álgebras es
también una σ-álgebra. Esto permite dar la siguiente definición.
Definición 1.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X, llamaremos σ-álgebra generada por F, a la menor σ-álgebra que contiene a F.
Denotaremos a veces a esta σ-álgebra por σ(F).
Es claro que σ(F) está siempre bien definida. De hecho, σ(F) es la intersección de todas la σ-álgebras que contienen a F. (Nótese que al menos hay una
σ-álgebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos de
X).
Si X es un espacio topológico, a la σ-álgebra generada por los abiertos de
X se le denomina σ-álgebra de Borel y la denotaremos por B(X). A sus
elementos se les denomina borelianos o conjuntos de Borel de X. A ella
pertenecen además de los abiertos, los cerrados, las uniones numerables de
cerrados (conjuntos tipo Fσ ) y las intersecciones numerables de abiertos
1.5
Integración de Funciones de Varias variables
(conjuntos tipo Gδ ). Se prueba (ver [16]) que en Rn el cardinal de la σálgebra de Borel, B(Rn ), es c (el cardinal de R).
Proposición 1.3 Si X, Y son espacios topológicos y T : X → Y es una
aplicación continua, entonces T −1 (B(Y )) ⊂ B(X).
Demostración. Sea A = {B ∈ B(Y ) : T −1 (B) ∈ B(X)}. Es inmediato
comprobar que A es una σ-álgebra contenida en B(Y ) y que, a su vez,
contiene a los abiertos de Y ya que T es continua. Puesto que B(Y ) es la
más pequeña σ-álgebra de subconjuntos de Y que contiene a los abiertos, se
deduce que A = B(Y ).
Corolario 1.4 Si B1 , B2 son conjuntos de Borel de Rn y Rp respectivamente, entonces B1 × B2 es un conjunto de Borel de Rn × Rp .
Demostración. Puesto que la aplicación
π1
Rn × Rp ........................................ Rn : (x, y) .................................................. x
es continua, se deduce de la proposición anterior que B1 × Rp = π1−1 (B1 ) ∈
B(Rn × Rp ). Análogamente Rn × B2 ∈ B(Rn × Rp ) y, por tanto, B1 × B2 =
(B1 × Rp ) ∩ (Rn × B2 ) ∈ B(Rn × Rp ).
Espacio de medida
Definición 1.5 Sea X un conjunto y A una σ-álgebra de subconjuntos de
X. Una aplicación µ : A → [0, ∞] se dirá que es finitamente aditiva , si para
cada colección finita (Ai ) de conjuntos disjuntos dos a dos de A , se tiene
que
X
µ(∪ Ai ) =
µ(Ai ).
µ se dirá que es numerablemente aditiva o σ-aditiva si para cada colección
numerable (Ai ) de conjuntos disjuntos dos a dos de A , se tiene que
µ(∪ Ai ) =
X
µ(Ai ).
Una tal aplicación µ para la cual µ(∅) = 0 se dirá que es una medida
(finitamente aditiva o σ-adititiva). Sin embargo, en este curso, salvo que se
especifique otra cosa, medida será sinónimo de medida σ-aditiva. La terna
(X, A , µ) es un espacio de medida. (Supondremos que α < +∞, α+∞ = ∞,
para cada α ∈ R).
3
4
Integración de Funciones de Varias variables
1.5
A continuación enumeramos una serie de propiedades, que están presentes en cualquier espacio de medida. Procedemos así, no sólo porque las
demostraciones sean idénticas en un marco abstracto y uno concreto, sino
porque más adelante aparecerán medidas diferentes de la que construiremos
en esta primera sección: la medida de Lebesgue en Rn , que denotaremos por
“m”, y que mide longitudes, áreas o volúmenes según que n=1,2 ó 3. En
lo sigue de esta subsección supondremos que trabajamos en el espacio de
medida (X, A , µ).
Proposición 1.6 Si B1 , B2 ∈ A y B1 ⊂ B2 entonces, m(B2 ) = m(B1 ) +
m(B2 \ B1 ). En particular, si B1 tiene medida finita entonces, m(B2 \ B1 ) =
m(B2 ) − m(B1 ).
Demostración. Escribiendo B2 = B1 ∪ (B2 \ B1 ) y utilizando la aditividad
finita de la medida de Lebesgue, se tiene
m(B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ).
Si m(B1 ) < ∞, podemos pasar al otro miembro m(B1 ), con lo que resulta
la fórmula
m(B2 \ B1 ) = m(B2 ) − m(B1 ).
Proposición 1.7 Si B1 , B2 ∈ A entonces, m(B1 ∪ B2 ) + m(B1 ∩ B2 ) =
m(B1 ) + m(B2 ).
Demostración. Si escribimos B1 ∪B2 = B1 ∪(B2 \B1 ∩B2 ), entonces, teniendo
en cuenta que los conjuntos B1 y B2 \ (B1 ∩ B2 ) son disjunto y medibles, se
tiene que m(B1 ∪ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ∩ B2 ). Si el conjunto B1 ∩ B2
tuviese medida finita, podría aplicarse la fórmula anterior, con lo que se
tendría m(B1 ∪ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 ) − m(B1 ∩ B2 ), y pasando m(B1 ∩ B2 )
al primer miembro, resulta la fórmula que buscamos
m(B1 ∪ B2 ) + m(B1 ∩ B2 ) = m(B1 ) + m(B2 ).
Obsérvese que esta fórmula se verifica trivialmente cuando m(B1 ∩B2 ) =
∞.
Proposición 1.8 Si B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ⊂ Bk . . . , es una sucesión creciente de
conjuntos de A , entonces m(∪Bk ) = lı́mk→∞ m(Bk )
1.9
Integración de Funciones de Varias variables
Demostración. Puesto que la sucesión de conjuntos es creciente, es claro que
= B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . . ∪(Bk \ Bk−1 ),
Bk
∞
∪ Bk = B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . .
k=1
y que los conjuntos Bi \ Bi−1 son disjuntos entre sí y medibles. Por lo tanto
∞
m( ∪ Bk ) =
k=1
∞
X
m(Bi \ Bi−1 ) = lı́m
k→∞
i=1
k
X
m(Bi \ Bi−1 ) = lı́m m(Bk ).
k→∞
i=1
Proposición 1.9 Si B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ⊃ Bk . . . , es una sucesión decreciente
de conjuntos de A de medida finita, entonces m(∩Bk ) = lı́mk→∞ m(Bk )
Demostración. Formemos la sucesión creciente de conjuntos medibles
B1 \ B2 ⊂ B1 \ B3 ⊂ . . . B1 \ Bk ⊂ . . .
De la proposición anterior resulta que
m(∪(B1 \ Bk )) = lı́m m(B1 \ Bk ).
k→∞
Entonces, teniendo en cuenta que ∪(B1 \ Bk ) = B1 \ ∩Bk y que por ser los
conjuntos de medida finita, m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − m(Bk ), resulta
m(B1 ) − m(∩ Bk ) = m(∪(B1 \ Bk ))
= lı́m m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − lı́m m(Bk ),
k→∞
k→∞
lo que implica que
m(∩ Bk ) = lı́m m(Bk ).
k→∞
Nota. Es habitual presentar el resultado anterior con la hipótesis más débil,
“alguno de los conjuntos Bk es de medida finita”. Para probar que el resultado anterior se mantiene también con esta hipótesis, basta observar que
por ser la sucesión de conjuntos monótona decreciente, para cada índice j
se tiene que
∞
∞
∩ Bk = ∩ Bk .
k=1
k=j
Por tanto si m(Bj ) < ∞ (que implica m(Bk ) < ∞ para todo k ≥ j), se
deduce que
∞
∞
m( ∩ Bk ) = m( ∩ Bk ) = lı́m m(Bk ).
k=1
k=j
k→∞
5
6
Integración de Funciones de Varias variables
1.9
Semintervalos de Rn
La primera familia sobre la que definiremos la medida de Lebesgue será
la de semintervalos.
Definición 1.10 En Rn llamaremos Semintervalo a cada producto cartesiano de n intervalos acotados de R de la forma (ai , bi ], ai < bi i =
Q
1, 2, . . . , n. La medida del semintervalo I = ni=1 (ai , bi ] es el número real
m(I) = (b1 − a1 ] × (b2 − a2 ] × · · · × (bn − an ].
Por convenio, consideraremos al ∅ como un semintervalo de medida 0.
Para n = 2 un semintervalo es un rectángulo de lados paralelos a los ejes
coordenados, al que le falta parte del borde.
Puede parecer un poco extraño comenzar este proceso de medir con la
consideración de un tipo tan particular de rectángulos, en vez de trabajar
desde un principio con rectángulos arbitrarios, definiendo su medida como el
producto de las longitudes de sus lados. La razón de esto está en que aceptar,
de entrada, que la medida de un rectángulo abierto y del rectángulo cerrado
que tiene los mismos lados coinciden, puede ser demasiado fuerte para una
mentalidad matemática: Lo anterior tiene más apariencia de teorema que de
algo asumible como hipótesis.
Como punto de partida nos deberíamos de limitar, pues, a considerar
todos los rectángulos del mismo tipo, en lugar de rectángulos arbitrarios
(por ejemplo todos abiertos, o todos cerrados o semintervalos). Y de todas
estas subfamilias, la más adecuada es la de semintervalos: Mediante semintervalos podemos obtener una partición numerable del plano (y de cualquier
conjunto abierto), en cambio eso no es posible hacerlo a base sólo de rectángulos abiertos o de rectángulos cerrados. Para nuestros propósitos, lo
anterior constituye una importante propiedad de los semintervalos de la que
habremos de hacer uso en más de una ocasión (Ver Zaanen [30]).
Sería deseable que en una o varias etapas pudiéramos llegar a dar una
definición de medida en la σ-álgebra P(Rn ), medida que asignara a cada
semintervalo su n-volumen, i.e. su longitud, área, volumen,. . ., según que n
sea igual a 1, 2, . . . Como veremos, habremos de conformarnos con extender
la medida de semintervalos a ciertas σ-álgebras de subconjuntos de Rn , pero
no a todo P(Rn ), pues como demostró V itali eso es imposible, mientras
en nuestra axiomática de la teoría de conjuntos incluyamos al axioma de
elección.
De momento necesitaremos destacar algunas de las propiedades de la
familia de semintervalos y de la medida definida sobre ella.
1.12
Integración de Funciones de Varias variables
Proposición 1.11
mintervalo.
(a) La intersección finita de semintervalos es un se-
(b) La diferencia de dos semintervalos puede expresarse como unión de
una familia finita de semintervalos disjuntos dos a dos.
Demostración. (a) Sean I =
Q
(ai , bi ], J =
I ∩J =
Q
(ci , di ]. Entonces
Y
(ai , bi ] ∩ (ci , di ],
y es obvio que, si esta intersección es no vacía, entonces hi = máx{ai , ci } <
ki = mı́n{bi , di } y
Y
I ∩ J = (hi , ki ].
Q
Q
(b) Consideremos los semintervalos I = (ai , bi ], J = (ci , di ]. Puesto
que I \ J = I \ I ∩ J, puede suponerse sin pérdida de generalidad que J ⊂ I.
Prolongando los lados de los semintervalos I, J obtenemos en cada eje
los tres semintervalos
(ai , ci ], (ci , di ], (di , bi ].
Estos intervalos (alguno de los cuales puede ser, eventualmente, vacío) constituyen una partición de (ai , bi ]. Si formamos todos los n-productos posibles
tomando como factores a estos intervalos, se obtiene trivialmente una partición finita del semintervalo I, uno de cuyos miembros es el semintervalo
J. Por tanto I \ J es igual a la unión del resto de los semintervalos de la
partición.
Proposición 1.12 Sean I0 , I1 , . . . , Ip una colección finita de semintervalos
de Rn .
(a) Si I0 ⊂ ∪pk=1 Ik entonces m(I0 ) ≤
P
m(Ik ).
(b) Si Ik ∩ Ir = ∅ (k 6= r) y ∪ Ik ⊂ I0 entonces
P
m(Ik ) ≤ m(I0 ).
Demostración. (Demostración de Von Newman [24]) (a) Utilizaremos este
resultado PREVIO:
Si (a, b] es un semintervalo de R de longitud b − a > 1 y N (a, b] denota el
número de enteros que hay en (a, b] entonces b − a − 1 < N (a, b] < b − a + 1:
En efecto, si n es el mayor entero ≤ a entonces los enteros en (a, b] son
n+1, . . . , n+N (a, b]. Luego n+N (a, b]−(n+1) < b−a < n+N (a, b]+1−n
i.e. N (a, b] − 1 < b − a < N (a, b] + 1.
7
8
Integración de Funciones de Varias variables
1.12
Para demostrar (a) supongamos, en primer lugar, que todos los intervalos
Q
Ik = (aki , bki ] verifican que las longitudes de sus lados son mayores que 1,
es decir bki − aki > 1, y denotemos por NIk al número de elementos de Ik que
tienen como coordenadas (todas) números enteros. Teniendo en cuenta que
Q
NIk = N (aki , bki ] y lo anterior, resulta que
n
Y
n
Y
(bki − aki − 1) ≤ NIk <
i=1
i=1
Como NI0 ≤
P
(bki − aki + 1).
NIk , de la relación anterior resulta que
n
Y
(1.1)
(b0i − a0i − 1) ≤
i=1
XY
k
(bki − aki + 1).
i
Si las longitudes de los lados de los Ik no fuesen todas mayor o igual que
1 entonces, tomando r un natural suficientemente grande, los semintervalos
rIk serían del tipo anterior (y es obvio que rI0 ⊂ ∪pk=1 rIk ). Aplicando la
desigualdad 1.1 se obtiene
n
Y
(rb0i − ra0i − 1) ≤
i=1
XY
k
(rbki − raki + 1),
i
equivalentemente
n
Y
XY
1
1
(b0i − a0i − ) ≤
(bki − aki + ),
r
r
i=1
k i
lo que, pasando al límite cuando r → ∞, implica
n
Y
(b0i − a0i ) ≤
i=1
XY
(bki − aki ),
k
i
o sea que m(I0 ) ≤ m(Ik ).
(b) Resulta como en (a), sin más que observar que si Ik ∩Ih = ∅, entonces
para cualquier número real r 6= 0, rIk y rIh son también semintervalos
disjuntos.
P
Proposición 1.13 Sean I0 , I1 , I2 , . . . una colección numerable de semintervalos.
(a) Si I0 ⊂ ∪∞
k=1 Ik entonces m(I0 ) ≤
P
m(Ik ).
(b) Si Ik ∩ Ir = ∅ (k 6= r) y ∪ Ik ⊂ I0 entonces
P
m(Ik ) ≤ m(I0 ).
1.15
Integración de Funciones de Varias variables
Demostración. (a) La demostraremos en R es decir para n = 1, aunque esta
demostración es fácilmente extrapolable a Rn para todo n (intentarlo como
ejercicio).
Sea Ij = (aj , bj ], j = 0, 1, . . . y sea ε > 0, entonces [a0 + ε/2, b0 ] ⊂
j+1 ). Debido a la compacidad de [a + ε/2, b ] de este
∪∞
0
0
j=1 (aj , bj + ε/2
recubrimiento se puede extraer un subrecubrimiento finito, por lo tanto
(a0 + ε/2, b0 ] ⊂ ∪pj=1 (aj , bj + ε/2j+1 ]. Como (a) para el caso finito se ha
probado antes, de esto se deduce que
b0 − a0 − ε/2 ≤
p
X
∞
X
(bj − aj + ε/2j+1 ) ≤
j=1
=
∞
X
j=1
(bj − aj ) +
∞
X
ε/2j+1 ) =
P∞
j=1 m(Ij )
∞
X
(bj − aj ) + ε/2,
j=1
j=1
j=1
lo cual dice que m(I0 ) ≤
P
que m(I0 ) ≤ ∞
j=1 m(Ij ).
(bj − aj + ε/2j+1 )
+ ε, lo que implica al ser ε arbitrario
La medida exterior de Lebesgue
En esta sección vamos a extender la medida de semintervalos a conjuntos
más generales. Vamos a comenzar asignando a cada subconjunto A de Rn
un número real (+∞), m∗ (A) ≥ 0, que pretendemos sea su medida.
Definición 1.14 Si A ⊂ Rn , llamaremos medida exterior del conjunto A,
al elemento de [0, +∞],
m∗ (A) = ı́nf
nX
m(Ik ) : A ⊂ ∪ Ik
o
donde este ínfimo está extendido al conjunto de colecciones numerables,
{Ik }, de semintervalos que recubren el conjunto A.
Es inmediato comprobar que la definición anterior tiene perfecto sentido, ya
que, por una parte, para cada conjunto existe alguna colección numerable
P
de semintervalos que lo recubre, y por otra, todas la sumas m(Ik ) están
acotadas inferiormente por 0, luego el extremo inferior de todas ellas existe
en [0, +∞].
Lema 1.15 Si {Ip } es una colección numerable de semintervalos disjuntos
dos a dos entonces:
[
X
m ∗ ( Ip ) =
m(Ip ).
En particular la medida exterior de un semintervalo coincide con su nvolumen.
9
10
Integración de Funciones de Varias variables
1.15
Demostración. Por la definición de medida exterior
m∗ (
[
Ip ) ≤
X
m(Ip ).
Por otra parte, como m∗ (∪Ip ) = ı́nf{ m(Js ) : ∪Ip ⊂ ∪Js }, bastará probar
que si {Js } es un colección numerable de semintervalos tal que ∪Ip ⊂ ∪Js
P
P
entonces m(Ip ) ≤ m(Js ) :
S
Puesto que Ip = s Ip ∩ Js , la Proposición 1.13(a) nos dice que m(Ip ) ≤
P
s m(Ip ∩ Js ), luego
P
X
m(Ip ) ≤
p
XX
p
=
XX
s
m(Ip ∩ Js )
s
p
m(Ip ∩ Js ) ≤
X
m(Js ),
s
donde la última desigualdad es consecuencia de la Proposición 1.13(b), teS
niendo en cuenta que p Ip ∩ Js ⊂ Js y los intervalos {Ip ∩ Js }p son disjuntos
dos a dos.
Lema 1.16 Todo abierto de Rn admite una partición numerable mediante
n-semicubos que tienen su adherencia contenida en él.
Demostración. Llamaremos n-semicubo de lado l a un semintervalo que tiene todos sus lados de la misma longitud l. Si U es abierto, entonces se trata
de encontrar una colección numerable (Ck ) de n-semicubos disjuntos dos a
dos y tales que Ck ⊂ U .
Para ello vamos a proceder así:
Consideremos, en primer lugar, una partición de Rn mediante n-semicubos
de lado 1 (Puede hacerse esto, por ejemplo, señalando en cada eje los números enteros y formando todos los n-productos posibles de semintervalos de
R que tienen como extremos dos enteros consecutivos). Denotemos por S1
a la colección (numerable) de los n-semicubos de esta partición, y reservemos aquellos que tienen su adherencia contenida en U . Denotemos a dicha
subcolección por C1 .
A continuación, obtenemos una nueva partición de Rn , ahora por nsemicubos de lado 1/2, dividiendo los lados de cada n-semicubo de S1 en
dos partes iguales (De cada n-semicubo de lado 1 se obtendrán entonces 2n
n-semicubos de lado 1/2). Sea S2 esta partición y llamemos C2 a la subcolección de S2 obtenida tomando los n-semicubos de adherencia contenida
en U y que, además, no son subconjuntos de algún n-semicubo de C1 (ya
tomado en la etapa anterior).
1.17
Integración de Funciones de Varias variables
11
De este mismo modo se conseguiría para cada k = 1, 2, . . . una partición
de Rn , Sk , formada por n-semicubos de lado 1/2k−1 y una subcolección de
ésta, Ck , en la que están aquellos que tienen su adherencia contenida en U y
que no proceden de n-semicubos tomados en las etapas anteriores, es decir
que no son subconjuntos de ningún n-semicubo de C1 , C2 , . . ., Ck−1 .
Sea C = ∪Ck la familia de n-semicubos tomados en las distintas etapas.
Evidentemente todos ellos son disjuntos entre sí y constituyen una cantidad
numerable. Vamos a probar que
U=
[
{C : C ∈ C }.
Como por construcción, los n-semicubos de C están contenidos en U , sólo
hemos de ver que U ⊂ ∪{C : C ∈ C }. Supongamos que x es un punto de
Rn que no está en ninguno de los n-semicubos de C , y veamos que entonces
x 6∈ U . Denotemos por Sk al único n-semicubo de la partición Sk en el que
se encuentra el punto x. De acuerdo con nuestra suposición, ninguno de los
n-semicubos Sk pertenece a la familia C . Puesto que S1 ⊃ S2 ⊃ . . ., esto
significa que
Sk 6⊂ U,
luego existe xk ∈ S k ∩ U c . Entonces
xk , x ∈ S k
⇒
d∞ (xk , x) ≤ 1/2k−1 (lado de Sk ).
Se tiene pues que la sucesión {xk } converge a x, y como xk ∈ U c , que es un
conjunto cerrado, se deduce que x ∈ U c .
Corolario 1.17 La medida exterior de Lebesgue es σ-aditiva sobre la familia de los abiertos de Rn .
Demostración. Sea {Up } una colección numerable de abiertos disjuntos dos
a dos. Si, aplicando el lema anterior, escribimos cada uno de estos abiertos
como unión de n-semicubos disjuntos
Up =
[
Ipk ,
k
se tiene
m∗ (
[
Up ) = m∗ (
[
p,k
Ipk ) =
X
p,k
m(Ipk ) =
XX
p
k
m(Ipk ) =
X
p
m∗ (Up ).
12
Integración de Funciones de Varias variables
1.18
Otras propiedades de m∗
1.18 (Monotonía) Si A ⊂ B entonces m∗ (A) ≤ m∗ (B).
Ejercicio 1.19 Teniendo en cuenta la monotonía de la medida exterior y
que la medida exterior de un semintervalo coincide con m(I) (su n-volumen),
o
probar que si I es el semintervalo (ai , bi ] y I ⊂ A ⊂ I entonces m∗ (A) =
m(I).
sugerencia: Tener en cuenta que para p ∈ N suficientemente grande se
Q
Q
tiene que (ai , bi − 1/p] ⊂ A ⊂ (ai , bi + 1/p].
Q
1.20 (σ-subaditividad) Sea {Ak }∞
k=1 una colección numerable de conjunn
tos de R . Entonces
X
m∗ (∪ Ak ) ≤
m∗ (Ak ).
Demostración. Consideremos para cada ε > 0 y para cada k, una colección
numerable de semintervalos, {Iki }, tal que
Ak ⊂ ∪ Iki ,
X
i
m(Iki ) ≤ m∗ (Ak ) +
i
ε
.
2k
Entonces A ⊂ ∪k,i Iki (una colección numerable de semintervalos). De la
definición de m∗ (A) se deduce entonces que
m∗ (A) ≤
X
m(Iki ) =
k,i
XX
X
m(Iki ) ≤
i
k
m∗ (Ak ) + ε.
k
La conclusión resulta ya de que ε es arbitrario.
1.21 (Invarianza por traslaciones) Para todo conjunto A de Rn y para
todo punto c, se tiene que m∗ (c + A) = m∗ (A).
Demostración. El resultado es cierto si A es un semintervalo. En efecto, si
Q
A es el semintervalo ni=1 (ai , bi ], entonces es evidente que
c+A=
n
Y
(ci + ai , ci + bi ].
i=1
Por lo tanto
m∗ (c + A) =
Y
(ci + bi − (ci + ai )) =
(bi − ai ) = m∗ (A).
Y
1.23
Integración de Funciones de Varias variables
13
En general, si A es un conjunto cualquiera, veamos que m∗ (c + A) ≤
Sea (Ik ) una colección de semintervalos tal que A ⊂ ∪ Ik . Entonces
c + A ⊂ ∪(c + Ik ), por lo que de la definición de medida exterior resulta que
m∗ (A).
m∗ (c + A) ≤
X
m(c + Ik ) =
X
m(Ik ).
Esto significa que m∗ (c + A) es una cota inferior del conjunto
nX
o
m(Ik ) : A ⊂ ∪ Ik ,
por tanto m∗ (c + A) ≤ m∗ (A).
La desigualdad contraria se obtiene de la anterior escribiendo A = (−c)+
(c + A). Así,
m∗ (A) = m∗ ((−c) + (c + A)) ≤ m∗ (c + A).
Ejercicio 1.22 Demostrar que si α ∈ R, A ⊂ Rn y αA = {(αx1 , . . . , αxn ) :
(x1 , . . . , xn ) ∈ A}, entonces m∗ (αA) = |α|n m∗ (A).
Por último, vamos a ver que la medida exterior de Lebesgue no es numerablemente aditiva, es decir m∗ no es una medida en P(Rn ). La demostración de esto se basa en el siguiente teorema debido a Vitali:
Teorema 1.23 (Vitali) No existe ninguna medida sobre P(R) que sea
invariante por traslaciones y asigne a cada semintervalo su longitud.
Demostración. Sea A = (−1, 1]. Definimos sobre A la relación de equivalencia
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q.
Obviamente cada clase de equivalencia es de la forma (x+Q)∩A, luego es un
conjunto numerable. Se deduce pues que existe una cantidad no numerable
de clases de equivalencia. Sea V un conjunto obtenido seleccionando en cada
clase un único representante (observar que para ello se hace uso del Axioma
de Elección), y consideremos, para cada racional q el conjunto Vq = q + V .
Se tiene entonces
1. Los conjuntos Vq son disjuntos dos a dos.
En efecto, si x ∈ Vq1 ∩ Vq2 , entonces
x = q1 + v1 = q2 + v2 ⇒ v1 − v2 ∈ Q.
Es decir los puntos de V , v1 y v2 , están relacionados, y esto implica,
por la construcción de V , que v1 = v2 , y por tanto, q1 = q2 .
14
Integración de Funciones de Varias variables
1.24
2.
[
A⊂
Vq ⊂ (−3, 3].
q∈(−2,2]∩Q
En efecto, sea x ∈ A, y sea v ∈ V tal que q = x − a ∈ Q. Entonces
x = q + v ∈ q + V,
siendo |q| = |x − v| < 2, como se sigue fácilmente de que tanto x como
a estén en (−1, 1]. De igual modo si x ∈ Vq , es decir x = q + v con
−2 < q ≤ 2 y v ∈ V (por tanto −1 < v ≤ 1), entonces x ∈ (−3, 3].
Por tanto si µ es una medida, que asigna a cada semintervalo su longitud,
se tendría que:
2 = µ(A) ≤ µ(∪ Vq ) ≤ 6.
Si además µ es invariante por traslaciones entonces µ(Vq ) = µ(V ), y por
tanto
P
µ(Vq ) = 0 ,
si µ(V ) = 0
P
µ(Vq ) = ∞ ,
si µ(V ) > 0
Tanto en un caso como en otro, resultaría imposible que µ(∪ Vq ) fuese igual
P
a
µ(Vq ). (Comprobar además que la primera opción, es decir µ(V ) = 0,
no puede darse).
Después de lo anterior, no resulta posible extender la medida de Lebesgue
a P(R), manteniendo la invariancia por traslaciones, y por la tanto m∗
no es una medida sobre P(R) (ni sobre P(Rn )). La mayor σ-álgebra de
subconjuntos de Rn sobre la que m∗ es una medida es conocida como la
σ-álgebra de los conjuntos Lebesgue-medible. Esta σ-álgebra contiene a la
de Borel. De hecho los conjuntos Lebesgue-medibles son justamente los de
la forma B ∪ N con B ∈ B(Rn ) y N un subconjunto de Rn de medida nula.
Un ejemplo de conjunto que no es L-medible (luego tampoco de Borel) lo
constituye el conjunto de Vitali. Para comprobar esto sólo hay que tener en
cuenta que las traslaciones mantienen el carácter medible, pues entonces, si
el conjunto V de Vitali fuese medible, los conjuntos Vq también lo serían
P ∗
y, en consecuencia, m∗ (∪Vq ) debería ser igual a
m (Vq ) (ver [16] para
aspectos relacionados con este tópico).
Teorema 1.24 La restricción de m∗ a la σ-álgebra de Borel B(Rn ) es una
medida. Adémas ésta es la única medida sobre B(Rn ) que asigna a cada
n-semicubo su n-volumen.
1.24
Integración de Funciones de Varias variables
15
Demostración. La demostración de que m∗ es una medida sobre B(Rn ) se
basa en el procedimiento general, ideado por Caratheodory, de obtención, a
partir de una medida exterior, de una medida sobre una cierta σ-álgebra, la
de los conjuntos medibles. (ver por ejemplo [9] o el capítulo 18 del Manual
: Conjuntos Medibles).
Probaremos la unicidad: Suponemos pues que m∗ es una medida sobre
B(Rn ) y que µ es también una medida sobre B(Rn ) que coincide con m∗
sobre los n-semicubos i.e. si C es un n-semicubo de lado l, entonces µ(C) =
m∗ (C) = ln . Por en Corolario 1.17 es claro entonces que m∗ y µ coinciden
también sobre los abiertos. En consecuencia también coinciden sobre los
Q
T Q
semintervalos pues si I = (ai , bi ] entonces I = p (ai , bi + 1/p) y por
tanto
µ(I) = lı́m µ(
(ai , bi + 1/p)) = lı́m m∗ (
Y
p→∞
(ai , bi + 1/p)) = m∗ (I).
Y
p→∞
Sea ahora B un conjunto de Borel y {Ik } un recubrimiento numerable
de B por semintervalos, entonces
µ(B) ≤
X
µ(Ik ) =
k
X
m(Ik ) ⇒ µ(B) ≤ m∗ (B).
k
Para probar la desigualdad contraria, supongamos primero que B es
un conjunto acotado. Sea entonces J un cubo conteniendo a B, entonces
teniendo en cuenta que µ(J) = m(J) (y por tanto µ(B) ≤ m∗ (B) < ∞) se
tiene que
µ(J) − µ(B) = µ(J \ B) ≤ m∗ (J \ B) = m(J) − m∗ (B) ⇒ µ(B) ≥ m∗ (B).
Finalmente si B es un conjunto de Borel arbitrario y {Q}k es una partición de Rn por cubos, entonces
µ(B) =
X
µ(B ∩ Qk ) =
k
X
m∗ (B ∩ Qk ) = µ(B).
k
La medida de Lebesgue
La restricción de m∗ a la σ-álgebra B(Rn ) es la medida de Lebesgue.
Cuando B ∈ B(Rn ) escribiremos m(B) para denotar a la medida exterior
de B. Por tanto las propiedades de la medida de Lebesgue serán el resultado
de superponer a las propiedades de la medida exterior las derivadas de su
condición de medida sobre B(Rn ):
16
Integración de Funciones de Varias variables
1.24
1. Si B ∈ B(Rn ) y c ∈ Rn entonces c + B ∈ B(Rn ) y m(c + B) = m(B).
2. Si B ∈ B(Rn ) y α ∈ R entonces αB ∈ B(Rn ) y m(αB) = |α|n m(B).
3. Si T : Rn → Rn es un giro entonces para todo B ∈ B(Rn ) T (B) ∈
B(Rn ) y m(T (B)) = m(B).
4. Si B1 , B2 son conjuntos de Borel de Rn y Rp respectivamente, entonces
B1 × B2 es un conjunto de Borel de Rn × Rp y m(B1 × B2 ) = m(B1 ) ·
m(B2 ) (donde 0 · ∞ = 0).
Demostración. La prueba de que las transformaciones que aparecen en los
enunciados mantienen el carácter Borel de los conjuntos implicados es consecuencia de la Proposición 1.3 (ejercicio). Las cuatro propiedades son válidas
para m∗ i.e sean borelianos o no los conjuntos sobre las que apliquen, de hecho para las dos primeras ya lo sabíamos. Para las otras dos sólo daremos la
demostración en este caso particular, es decir suponiendo que los conjuntos
involucrados sean borelianos. En ambas utilizaremos el Teorema 1.24.
Demostración de 3. Definamos µ(B) = m(T (B)), B ∈ B(Rn ). Como T
es una aplicación biyectiva que lleva borelianos en borelianos, es inmediato
ver que µ es una medida. Por otra parte si C es un n-semicubo de lado l,
luego
C = (c1 , c1 + l] × (c2 , c2 + l] × · · · × (cn , cn + l] = (c1 , . . . , cn ) + l(0, 1]n ,
se tiene que, si c = (c1 , . . . , cn ) y C0 = (0, 1]n ,
µ(C) = m(T (C)) = m(T (c + lC0 )) = m(T (c) + lT (C0 ))
= m(T (C0 ))ln = m(T (C0 ))m(C).
Observemos que el número real β = m(T (C0 )) es mayor estrictamente que 0.
En efecto, es claro que C0 contiene una k k2 -bola abierta de radio 1/2, S, y
puesto que T es un giro, T (S) no es más que una traslación de S, contenida
√
en T (C0 ), luego m(T (C0 )) ≥ m(T (S)) = m(S) > (1/ n)n .
Entonces (1/β)µ es una medida sobre B(Rn ) que asigna a cada nsemicubo su n-volumen, luego según el Teorema 1.24 debe coincidir con m
en cada boreliano, es decir (1/β)µ(B) = (1/β)m(T (B)) = m(B) para cada
B ∈ B(Rn ). En particular si B0 es una k k2 -bola centrada en el origen (en cuyo caso T (B0 ) = B0 ), la igualdad anterior implica que (1/β)m(B0 ) = m(B0 ),
luego β = 1 y por tanto m(T (B)) = m(B) para cada B ∈ B(Rn ).
Demostración de 4. Fijemos primero un n-semicubo Q de Rp y veamos
que m(B × Q) = m(B) · m(Q). Para ello, como antes, bastará ver que
1.26
Integración de Funciones de Varias variables
17
µ(B) = m(B × Q) es una medida en B(Rn ). Entonces la medida (1/m(Q))µ
debe ser igual a m, ya que es claro que esta medida asigna a cada n-semicubo
C su n-volumen. Luego m(B × Q) = m(B) · m(Q) para cada B ∈ B(Rn ).
Fijemos ahora B ∈ B(Rn ) y denotemos ν(E) = m(B × E) . Si m(B) > 0
entonces ν es una medida sobre B(Rp ) que, teniendo en cuenta lo anterior,
satisface (1/m(B))ν(Q) = m(Q) para cada p-semicubo Q, por lo que de
nuevo esta igualdad es válida para cada E ∈ B(Rp ), es decir m(B × E) =
m(B) · m(E). Es fácil ver (ejercicio) que si m(B) = 0 entonces también es
cierto que m(B × E) = m(B) · m(E) = 0 (aunque m(E) = ∞).
2.
Funciones medibles
En esta sección trabajaremos con un tipo de funciones adecuadas para
integración. A fin de no heredar el problema que teníamos con la medida
exterior de Lebesgue, que no es aditiva sobre todos los subconjuntos de Rn ,
también a la hora de integrar, hemos de restringir el conjunto de funciones
sobre las que actúe el operador integral, si queremos que éste sea un operador
lineal.
Definición 1.25 Una función f : Rn → Rp se dice Borel-medible (o sólo
medible si no hay lugar a confusión) si para cada E ∈ B(Rp ) el conjunto
f −1 (E) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ E}
es un boreliano de Rn .
Ejemplos 1.26 1. Si f : Rn → Rp es una función continua, entonces f es
medible (ya lo vimos en otro momento).
2. Si B ⊂ Rn se define la función
(
f (x) = XB (x) =
1
0
si x ∈ B
si x ∈
6 B.
La función f es medible si y sólo si B es un boreliano. En efecto, si B es un
boreliano de Rn y E ∈ B(R) entonces
f −1 (E) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ E} =


B




B c

Rn





∅
si
si
si
si
1 ∈ E,
0 ∈ E,
0 ∈ E,
1 6∈ E,
0 6∈ E
1 6∈ E
1∈E
0 6∈ E.
18
Integración de Funciones de Varias variables
1.27
Recíprocamente si f es medible entonces B = f −1 (1), es decir la antiimagen de un cerrado, luego es un boreliano.
Proposición 1.27 Si las funciones f : Rn → Rp , g : Rp → Rm son medibles
entonces la función g ◦ f es también medible.
Demostración. Basta tener en cuenta que (g ◦ f )−1 (E) = f −1 (g −1 (E)).
Proposición 1.28 (Caracterización de funciones medibles) Para la
función f : Rn → Rp , son equivalentes los siguientes enunciados:
i) f es medible i.e., f −1 (E) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ E} ∈ Bn para todo
E ∈ Bp ,
ii) f −1 (U ) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ U } ∈ Bn para todo U abierto de Rp ,
iii) f −1 (I) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ I} ∈ Bn para todo I semintervalo de Rp ,
Demostración. Puesto que todo abierto es un boreliano, i) implica ii) trivialmente.
Para probar que ii) implica i) se define
A = {E ∈ Bp : f −1 (E) ∈ Bn }.
Es inmediato comprobar que A es una σ-álgebra contenida (por definición)
en Bp y que contiene a los abiertos de Bp puesto que suponemos cierto ii).
Entonces A debe coincidir con Bp , pues esta última es la menor σ-álgebra
que contiene a los abiertos de Rp .
i) implica iii) pues cada semintervalo es un boreliano. Por último iii)
implica ii) pues si U es un abierto de Rp , entonces sabemos que U se puede
escribir como unión numerable de semicubos disjuntos
U = ∪Ck ⇒ f −1 (U ) = ∪f −1 (Ck ) ∈ Bn .
Propiedades de las funciones medibles
1. La aplicación ϕ : Rn → Rp × Rq , ϕ(x) = (f (x), g(x)) es medible si y
sólo si las funciones coordenadas f, g son medibles.
Demostración. Si ϕ es medible entonces, según el diagrama
ϕ
π1
Rn ......................................... Rp × Rq ......................................... Rp
ϕ
π
x ............................... (f (x), g(x)) .............1.............. f (x)
1.28
Integración de Funciones de Varias variables
19
f = π1 ◦ ϕ, π1 continua (luego medible). Analogamente g = π2 ◦ ϕ. Luego
f, g medibles por se composición de medibles.
Reciprocamente, supongamos f, g medibles y sea I × J un semintervalo
de Rp × Rq . Entonces,
ϕ−1 (I × J) = {x ∈ Rn : (f (x), g(x)) ∈ I × J} =
{x ∈ Rn : f (x) ∈ I} ∩ {x ∈ Rn : g(x) ∈ J} =
f −1 (I) ∩ g −1 (J) ∈ Bn .
2. Si f, g : Rn → Rp funciones medibles, entonces también son medibles
las funciones: f + g y λf, λ ∈ R.
Demostración. Cada una de estas funciones es la composición de una aplicación de una función medible con una aplicación continua. Por ejemplo la
función f + g se obtiene como se indica en el diagrama:
ϕ
+
x ............................... (f (x), g(x)) ............................................ f (x) + g(x)
Análogamente se demuestra la siguiente propiedad de las funciones medibles:
3. Si f, g : Rn → R funciones medibles, entonces también son medibles las
funciones: f g, f /g(supuesta g no nula en ningún punto), f ∨ g, f ∧
g, |g|.
4. La función f : Rn → R es medible si y sólo el conjunto
f −1 (α, ∞) = {x ∈ Rn : f (x) > α}
es un boreliano de Rn para cada número real α. (Nada cambia si en
lugar del signo > se utilizan los signos ≥, ≤, <).
Demostración. Si f es medible entonces f −1 (α, ∞) ∈ Bn , pues (α, ∞) es
abierto. Recíprocamente, sea I = (α, β] y veamos que f −1 (I) ∈ Bn (ver
Proposición 1.28(iii)):
f −1 (I) = {x ∈ Rn : α < f (x) ≤ β} =
{x ∈ Rn : f (x) > α} ∩ {x ∈ Rn : f (x) > β}c =
f −1 (α, ∞) ∩ f −1 (β, ∞)c ∈ Bn .
20
Integración de Funciones de Varias variables
1.28
Para ver que podemos utilizar los otros signos basta observar que
f −1 [α, ∞) = f −1 (
∞
\
(α − 1/p, ∞))
p=1
=
f
−1
∞
\
f −1 (α − 1/p, ∞);
p=1
−1
(−∞, α) = f
([α, ∞)c ).
Finalmente, en esta sección, vamos a considerar el principal tipo de funciones sobre las que va a operar la integral de Lebesgue en Rn .
Definición 1.29 Sea f : A ⊂ Rn → [−∞, ∞] y B ⊂ A un boreliano de
Rn . Se dice que la función f es medible sobre B o que f|B es medible si los
conjuntos
B ∩ f −1 (α, ∞) = {x ∈ B : f (x) > α}
son borelianos de Rn para cada número real α.
Cuando B = Rn se dirá simplemente que f es medible. Obviamente, después del resultado anterior, si f : Rn → R, entonces f medible en el sentido
de la definición 1.25 si y sólo si lo es en el sentido de la definición anterior.
Por otra parte, es inmediato comprobar que si B1 ⊂ B2 son borelianos y f
medible sobre B2 entonces f también es medible sobre B1 .
Proposición 1.30 Sea f : A ⊂ Rn → [−∞, ∞] y B ⊂ A un boreliano
de Rn y denotemos (con abuso de notación) como f XB a la función de
fˆ : Rn → [−∞, ∞] definida así:
(
f XB (x) = fˆ(x) =
si x ∈ B
si x ∈
6 B.
1
0
Son equivalentes:
1) f es medible sobre B,
2) f XB es medible.
Demostración. 1) ⇒ 2) Si f es medible sobre B y α ∈ R, entonces
{x ∈ Rn : f (x)XB (x) > α}
= {x ∈ B : f (x) > α} ∪ {x ∈ B c : 0 = fˆ(x) > α}
(
= {x ∈ B : f (x) > α} ∪
Bc
∅
si 0 > α
si 0 ≤ α.
1.32
Integración de Funciones de Varias variables
21
Luego {x ∈ Rn : f (x)XB (x) > α} ∈ Bn .
2) ⇒ 1) Si suponemos que f XB es medible, entonces
{x ∈ B : f (x) > α} = {x ∈ B : f (x)XB (x) > α}
= B ∩ {x ∈ Rn : f (x)XB (x) > α}.
Proposición 1.31 Si f, g : A ⊂ Rn → [−∞, ∞] son medibles sobre un
boreliano B ⊂ A y f + g está definida en cada punto de B (es decir si x ∈ B
entonces f (x) + g(x) 6= ∞ − ∞), entonces f + g también es medible sobre
B. (Análogos enunciados para f g, λf, f ∨ g, f ∧ g, |f |).
Demostración. Sea C = {x ∈ B : f (x) y g(x) son finitas}. Es fácil ver que
C es un boreliano, sin más que tener en cuenta las igualdades:
B∩f
−1
{+∞} =
∞
\
{x ∈ B : f (x) > p}
p=1
∞
\
B ∩ f −1 {−∞} =
{x ∈ B : f (x) ≤ −p}.
p=1
Luego se tiene que f, g son medibles sobre C o equivalentemente las funciones
de Rn en R (finitas), f XC y gXC son medibles. Por tanto, como ya vimos,
f XC + gXC = (f + g)XC es medible, es decir f + g es medible sobre C.
Entonces,
{x ∈ B : f (x) + g(x) > α}
= {x ∈ C : f (x) + g(x) > α} ∪ {x ∈ B : f (x) = ∞} ∪ {x ∈ B : g(x) = ∞}.
De lo que se deduce que f + g es medible sobre B.
A la lista de propiedades de las funciones medibles vamos a añadir finalmente
la siguiente:
Proposición 1.32 Si fp : A ⊂ Rn → [−∞, ∞], p = 1, 2 . . . es una sucesión
de funciones medibles sobre un boreliano B ⊂ A que converge puntualmente
a la función f ( i.e. f (x) = lı́mp→∞ fp (x) para cada x ∈ B), entonces f es
una función medible sobre B.
Demostración. La demostración es consecuencia directa de la igualdad siguiente:
{x ∈ B : f (x) > α} =
∞
[

∞
[

k=1
r=1


\

p≥r
{x ∈ B : fp (x) > α + 1/k} .
22
Integración de Funciones de Varias variables
3.
1.32
Integración de funciones medibles
Vamos a desarrollar ahora la integración de funciones medibles, comenzando con ciertas funciones elementales, las funciones simples y extendiendo
a continuación la definición a las funciones medibles no negativa y finalmente
a las funciones medibles arbitrarias.
Funciones simples
En este apartado trabajaremos con funciones que toman un número finito
de valores es decir con funciones de s : Rn → R tales Im s es un conjunto
finito de números reales.
Definición 1.33 Una función s : Rn → R se dice simple si toma toma un
número finito de valores y es medible.
Ejemplo 1.34 La función
(
XB (x) =
1
0
si x ∈ B
si x ∈ B c .
es medible si y sólo si B es un conjunto de Borel. En particular, si Q es el
conjunto de los racionales entonces la función XQ proporciona un ejemplo
de una función medible y discontinua en todo punto.
Proposición 1.35 Sea s : Rn → R. Las condiciones siguiente son equivalentes:
1) s es simple,
2) existe una partición finita de Rn mediante conjuntos de Borel, B1 ,
. . . , Bm , tal que la restricción s|Bi es constante para cada i = 1, . . . , m,
3) s = qi=1 bi XBi donde Bi ∈ B(Rn ) (no necesariamente disjuntos) y
bi ∈ R.
P
Demostración. 1) ⇒ 2) Supongamos que s toma los valores distintos b1 , b2 ,
. . . , bm o sea Im s = {s(x) : x ∈ Rn } = {b1 , b2 , . . . , bm } y sean Bi = s−1 (bi ) =
{x : s(x) = bi }. Se tiene entonces que cada Bi es la anti-imagen por s de un
conjunto cerrado. Luego, al ser s medible, Bj debe ser un conjunto de Borel.
Es obvio que los conjuntos B1 , B2 , . . . constituyen una partición finita de Rn
y que s|Bi es constante.
1.36
Integración de Funciones de Varias variables
23
2) ⇒ 3) Si B1 , . . . , Bm es una partición finita de Rn mediante conjuntos
P
de Borel y s(x) = bi para todo x ∈ Bi , entonces es claro que s = m
i=1 bi XBi .
Pq
3) ⇒ 1) Sea s = i=1 bi XBi con los Bi borelianos. Entonces bi XBi (ya
sabemos) que es medible y, puesto que la suma de medibles también es
medible, se deduce que s es medible. También es claro que la función s sólo
puede tomar
Xun número finito de valores, de hecho los valores posibles son las
sumas
bi . En total pues tantos como subconjuntos de {1, . . . , q}
i∈J⊂{1,...,q}
es decir, a lo sumo, 2q valores. Luego s es simple.
Integración de funciones simples no negativas
La definición de la integral de una función medible la haremos en varias
etapas: primero definiremos la integral de una función simple no negativa,
después la de una función medible no negativa definida en todo Rn , extenderemos la definición a funciones no negativas yRmedibles sobre un boreliano
B y finalmente se dará la definición general de B f para f medible sobre B
y signo variable.
La primera propiedad que cabe esperar de la integral de una función
no negativa es que ésta sea la medida del conjunto “comprendido entre la
gráfica de la función y el eje X”.
Dada una función f : A ⊂ Rn → [0, ∞] y B ⊂ A, llamaremos conjunto
de ordenadas de f sobre B al conjunto
OrdB f = {(x, y) ∈ Rn × [0, ∞) : x ∈ B, 0 ≤ y < f (x)}.
Observar que los puntos de la gráfica de f no están en OrdB f . Cuando
B = Rn se escribirá Ord f en lugar de OrdRn f .
Proposición 1.36 Si 0 ≤ s es una función simple y B1 , . . . , Bm es una
partición de Rn tal que la restricción a cada Bi es constante, s|Bi = bi ,
entonces Ord s es un conjunto de Borel y
m(Ord s) =
m
X
bi m(Bi ),
i=1
donde se supondrá que 0 · ∞ = 0 i.e., bj = 0, m(Bj ) = ∞ ⇒ bj m(Bj ) = 0.
Demostración. Puesto que la función s toma justamente los valores b1 , b2 ,
. . . , bm (sobre los conjuntos de Borel B1 , B2 , . . . , Bm ), es inmediato comprobar que Ord s = ∪m
i=1 Bi × [0, bi ). Puesto que el producto de conjuntos de
24
Integración de Funciones de Varias variables
1.36
Borel es también de Borel y su medida de Lebesgue es la producto de la de
los factores, se tiene que
m(Ord s) = m(∪m
i=1 Bi × [0, bi )) =
X
bi m(Bi ).
Nótese que en el cálculo anterior se ha tenido en cuenta que los conjuntos
Bi × [0, bi ) son disjuntos dos a dos.
Definición 1.37 Si 0 ≤ s es una función simple y B1 , . . . , Bm es una partición de Rn tal que la restricción a cada Bi es constante, s|Bi = bi , se define
la integral de s como
Z
s=
X
bi m(Bi ).
En la igualdad se supondrá que 0 · ∞ = 0 i.e., bj = 0, m(Bj ) = ∞ ⇒
bj m(Bj ) = 0.
Nota. Observar que la definición anterior sólo depende de la función s y no de
la partición elegida, es decir si C1 , . . . , Cq fuese otra partición finita de Rn tal
que la restricción a cada Cj fuese la constante cj entonces por la Proposición
P
P
1.36 se tiene: m(Ord s) = bi m(Bi ), y también m(Ord s) = cj m(Bj ).
Algunas propiedades
1. Si 0 ≤ s es una función simple, entonces
R
s = m(Ord s).
Demostración. Es consecuencia directa de de la definición y de la Proposición 1.36.
2. Si 0 ≤ s ≤ t son funciones simples, entonces
R
s≤
R
t.
Demostración. Obviamente 0 ≤ s ≤ t implica que Ord s ⊂ Ord t. Luego de
la propiedad anterior se deduce que
Z
s = m(Ord s) ≤ m(Ord t) =
Z
t.
R
3. Si s, t son funciones simples no negativas entonces (s + t) =
R
R
s + t.
1.38
Integración de Funciones de Varias variables
25
Demostración. Sean B1 , . . . , Bm y C1 , . . . , Cq dos particiones finitas de Rn
por borelianos y supongamos que s toma en cada punto de Bi el mismo valor
bi y t toma en cada punto de Cj el mismo valor cj . Obviamente la familia
finita {Bi ∩ Cj }i,j es una partición de Rn y (s + t)(x) = bi + cj cuando
x ∈ Bi ∩ Cj . Es claro entonces que
Z
(s + t) =
X
(bi + cj )m(Bi ∩ Cj )
i,j
=
X
bi
X
i
=
m(Bi ∩ Cj ) +
j
X
X
cj
j
bi m(Bi ) +
i
X
X
m(Bi ∩ Cj )
i
Z
cj m(Cj ) =
Z
s+
t.
j
4. Si s es función simple
no negativa
y medible y c un número real no
R
R
negativo, entonces (cs) = c s.
Demostración.R Si c = 0 entonces cs = 0, luego (cs) = 0 = 0 · m(Rn ) =
0 · ∞ = 0 = 0 s.
Si c > 0 entonces cs es una función que toma el valor
cbi justamente donR
P
de s toma el valor
b
(en
B
).
Luego
sc
es
simple
y
(cs)
= (cbi )m(Bi ) =
i
i
R
P
c bi m(Bi ) = c s.
R
R
Sabemos que una función s : Rn → R es simple si y sólo existe un
número finito de conjuntos de Borel de Rn (no necesariamente disjuntos),
P
B1 , B2 , . . . , Bp y números reales b1 , b2 , . . . , bp tal que s = pi=1 bi XBi . Además estos bi pueden tomarse ≥ 0 si la función s es no negativa (pequeño
ejercicio). De acuerdo con esto se tiene:
5. Si s =
Pp
i=1 bi XBi
y cada bi ≥ 0, entonces
R
s=
Pp
i=1 bi m(Bi ).
Demostración. Es consecuencia directa de la propiedad 3, sin más que tener
en cuenta que s es la suma de las p funciones simples no negativas bi XBi .
Integración de funciones medibles no negativas
Definición 1.38 Si f : Rn → [0, ∞] es una función medible, se define
Z
Z
f = sup
s : 0 ≤ s ≤ f, s simple .
26
Integración de Funciones de Varias variables
1.39
Antes de proseguir, vamos a hacer dos consideraciones, la primera es
que ahora tenemos dos definiciones para la integral de una función simple
no negativa. Habremos de ver que ambas son equivalentes es decir:
Ejercicio. Si 0 ≤ t es una función simple, entonces
Z
Z
t = sup
s : 0 ≤ s ≤ t, s simple
.
La segunda es que la fortaleza de esta definición de integral radica en que,
dada una función medible, siempre podremos encontrar funciones simples
tan próximas a ella como queramos. precisaremos esto última en la siguiente
proposición.
Proposición 1.39 Si f : Rn → [0, ∞] es una función medible no negativa,
entonces existe una sucesión no decreciente de funciones simples no negativas, {sk }, que converge puntualmente hacia f , es decir para cada x ∈ Rn se
tiene que
0 ≤ s1 (x) ≤ s2 (x) ≤ . . . → f (x).
Abreviadamente, expresaremos esto así: 0 ≤ sk % f .
Demostración. La haremos en varias etapas:
Etapa 1. En primer lugar vamos a demostrar que para cada ε > 0 existe
una función t(≡ tε ) numerablemente simple (que toma una cantidad numerable de valores) tal que
1. 0 ≤ t ≤ f ≤ t + ε.
2. tε ≤ tε/2 .
1. La demostración de este hecho se basa en una técnica clásica de aproximación uniforme. Dado ε > 0 consideremos la función t definida así:
t(x) =


∞

0


pε
si f (x) = ∞
si f (x) = 0
si pε < f (x) ≤ (p + 1)ε, p = 0, 1, . . .
Es obvio entonces que para cada x ∈ Rn se tiene que 0 ≤ t(x) ≤ f (x) ≤
t(x) + ε. Además t es medible, pues si α ∈ R entonces
(
{x ∈ Rn : t(x) ≥ α} =
Rn
si α ≤ 0
n
{x ∈ R : f (x) > (p + 1)ε} si pε < α ≤ (p + 1)ε.
1.39
Integración de Funciones de Varias variables
27
Lo que implica, teniendo en cuenta que f es medible, que {x ∈ Rn : t(x) ≥ α}
es un boreliano.
2. Veamos que para cada x, tε (x) ≤ tε/2 (x). Por definición ambas funciones son iguales en cada x tal que f (x) = ∞ o f (x) = 0. Supuesto entonces
que pε < f (x) ≤ (p + 1)ε, para algún p ≥ 0, se tiene que tε (x) = pε. Para
calcular tε/2 (x), tengamos en cuenta que decir pε < f (x) ≤ (p + 1)ε equivale
a decir 2p 2ε < f (x) ≤ 2(p + 1) 2ε y, por tanto
(
tε/2 (x) =
2p 2ε = pε
si 2p 2ε < f (x) ≤ (2p + 1) 2ε
(2p + 1) 2ε = pε + ε/2 si (2p + 1) 2ε < f (x) ≤ (2p + 2) 2ε .
Etapa 2. Tomando sucesivamente ε = 1/2k , k = 0, 1, . . ., se deduce
trivialmente de la Etapa 1 que para cada x ∈ Rn ,
0 ≤ t1 (x) ≤ t1/2 (x) ≤ . . . ≤ t1/2k (x), . . . → f (x).
Etapa 3. Consideremos la sucesión sk = t1/2k ∧ k, k = 1, 2, . . .. Se trata
de una sucesión de funciones simples, pues de los valores que toma t1/2k
sólo un número finito de ellos pueden ser menores que k. Es fácil ver que
s1 ≤ s2 ≤ . . . (ejercicio). Para terminar sólo queda probar que la sucesión
{sk (x)} converge puntualmente hacia f (x): Si f (x) = ∞ entonces {sk (x)} =
{1, 2, . . . , k, . . .} → ∞ = f (x). Si f (x) < ∞ existe p tal que f (x) ≤ p.
Como para todo k, t1/2k (x) ≤ f (x) ≤ p, tomando k ≥ p se tiene que
sk (x) = t1/2k (x) ∧ k = t1/2k (x), y de la Etapa 2 se deduce pues sk (x)
converge a f (x).
Propiedades relativas a la integración de funciones medibles
no negativas.
De las propiedades dadas para la integración de funciones simples y la
proposición anterior se deduce:
1. Si f es una función no negativa y medible
entonces el conjunto Ord f
R
n+1
es un conjunto de Borel de R
y f = m(Ord f ).
Demostración. Ya sabemos que esto es cierto para funciones simples. Sea
ahora f : Rn → [0, ∞] medible. Por la Proposición 1.39, sabemos que existe
una sucesión monótona creciente {sp } de funciones simples, no negativas,
que converge puntualmente a f . Es inmediato comprobar que, en estas condiciones, se tiene que Ord s1 ⊂ Ord s2 ⊂ . . . ⊂ . . . Ord f. Además, de la
convergencia puntual de la sucesión a la función f se deduce que
Ord f = ∪∞
p=1 Ord sp .
28
Integración de Funciones de Varias variables
1.39
En efecto, si (x, y) ∈ Ord f , es decir 0 ≤ y < f (x) = lı́mp→∞ sp (x) entonces
a partir de un cierto término se tiene que y < sp (x) ≤ f (x), o sea (x, y) ∈
Ord sp .
De lo anterior resulta que Ord f es medible, por ser unión numerable de
conjuntos medibles, y que
Z
Z
s:0≤s≤f
f = sup
= sup {m(Ord s) : 0 ≤ s ≤ f } ≤ m(Ord f )
Z
= lı́m m(Ord sp ) = lı́m
p→∞
≤ sup
sp
p→∞
Z
Z
s:0≤s≤f
f.
=
2. Si f, g son funciones medibles y 0 ≤ f ≤ g entonces
R
f≤
R
g.
Demostración. Idéntica que para funciones simples.
3. (Teorema de la convergencia monótona) Sea {fp } una sucesión
creciente de funciones no negativas y medibles y f (x) = lı́m fp (x),
p→∞
entonces f es una función medible y
Z
Z
f = lı́m
fp .
p→∞
Demostración. Por la Proposición 1.32 la función f es medible, y razonando
como antes en la propiedad 1, se deduce que Ord f = ∪ Ord fp , luego
Z
Z
f = m(Ord f ) = lı́m m(Ord fp ) = lı́m
p→∞
p→∞
fp .
4. Sean f, g funciones no negativas y medibles. Entonces la función f + g
es medible y se tiene que
Z
Z
(f + g) =
Z
f+
g.
Demostración. Sean f, g no negativas y medibles y sean 0 ≤ sp % f, 0 ≤
tp % g, dos sucesiones no decrecientes de funciones simples, convergiendo a
f y a g, respectivamente. Entonces 0 ≤ sp +tp % f +g, por lo que, aplicando
el teorema de la convergencia monótona se deduce que f + g es medible y
Z
Z
Z
(f + g) = lı́m
p→∞
(sp + tp ) = lı́m
p→∞
Z
sp +
tp =
Z
Z
f+
g.
1.41
Integración de Funciones de Varias variables
29
Más generalmente,
5. Si {fp } es una sucesión de funciones no negativas y medibles, entonces
Z X
(1.2)
fp =
XZ
fp .
Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótona
y la aditividad del operador integral a la sucesión de funciones no negativas
gp =
p
X
fi .
i=1
6. Si f es una función
no negativa
y medible y c un número real no
R
R
negativo, entonces (cf ) = c f.
Demostración. Ejercicio.
Definición 1.40 Si f : A ⊂ Rn → [0, ∞] es una función medible
sobre
el
R
R
boreliano B ⊂ A, definiremos la integral de f sobre B como B f = f XB .
De acuerdo con la definición, si f es una función medible y no negativa
sobre B entonces
Z
f = m(Ord(f XB )) = m(OrdB f ).
B
Como
hemos venido haciendo, cuando B = Rn se escribirá
R
Rn f y asimismo Ord f en lugar de OrdRn f .
R
f en lugar de
Consecuencias
1.41 Si f : Rn → [0, ∞] es una función medible y no negativa, la función
de conjunto
Z
µ(B) =
f,
B
es una medida sobre B(Rn ).
Demostración. Si {Bp } es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos
P
a dos, del resultado anterior y la igualdad f X∪Bp = f XBp , se deduce que
Z
µ(∪Bp ) =
=
XZ
Z
f=
∪Bp
f XBp =
f X∪Bp =
XZ
Bp
f=
Z X
X
f XBp
µ(Bp ).
30
Integración de Funciones de Varias variables
1.41
Aplicando las propiedades de toda medida a la medida µ(B) =
deduce:
1. Si B1 , B2 son conjuntos medibles B1 ⊂ B2 , entonces
R
B1
f≤
R
B
R
B2
f , se
f.
2. Si B1 ⊂ B2 ⊂ . . . es una sucesión creciente de conjuntos medibles
entonces
Z
Z
f = lı́m
p→∞ Bp
∪Bp
f.
3. RB1 ⊃ B2 ⊃ . . . es una sucesión decreciente de conjuntos medibles y
B1 f < ∞ entonces
Z
Z
f = lı́m
p→∞ Bp
∩Bp
f.
En particular de la 2a de las consecuencias anteriores se deduce lo siguiente:
Corolario 1.42 Sea f una función de 1-variable, no-negativa
y medible
Rb
sobre el intervalo (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞ y denotemos por a f (x)dx a la
R
R
integral de f sobre el intervalo (a, b) i.e. ab f (t)dt ≡ (a,b) f . Entonces,
Z y
Z b
f = lı́m
(1.3)
a
x→a+ x
y→b−
Z b
Z y
f (t)dt = lı́m
y→b− a
f (t)dt.
f (t)dt = lı́m
x→a+ x
Demostración. Demostremos por ejemplo que ab f = lı́my→b− ay f (t)dt. Para ello consideremos una sucesión y1 < y2 < . . . en (a, b) tal que lı́mp→∞ yp =
b. Puesto que (a, b) = ∪(a, yp ) y (a, y1 ) ⊂ (a, y2 ) ⊂ . . . se tiene que
R
Z b
Z yp
f = lı́m
(1.4)
a
R
p→∞ a
f (t)dt.
De esto es fácil deducir ya que ab f = lı́my→b− ay f (t)dt. Hagámoslo por
R
ejemplo en el caso en que b < ∞ y también ab f < ∞. De (1.4) se deduce
R
R
que para ε > 0 existe un índice ν tal que 0 ≤ ab f (t)dt − ayν f (t)dt ≤ ε. Sea
δ = b − yνR y tomemosR y < b tal que
b − y ≤R δ entonces yν ≤ y < b y por
Rb
b
y
tanto 0 ≤ a f (t)dt − a f (t)dt ≤ a f (t)dt − ayν f (t)dt ≤ ε.
Hacer la prueba en los demás casos como un ejercicio.
R
R
1.44
Integración de Funciones de Varias variables
31
Integración de funciones medibles con signo variable
Abordaremos ahora la integración de funciones medibles arbitrarias es
decir con valores en R o más generalmente en R ∪ {+∞, −∞}.
Definición 1.43 i) Si f es una función definida en todo Rn y medible se
define
Z
Z
Z
f = f + − f −.
ii) Si f es una función medible sobre el conjunto de Borel B se define
Z
Z
f=
f XB .
B
De esta definición y lo ya estudiado sobre integración de funciones medibles
no negativas se deduce fácilmente que
Z
Z
f=
f XB =
Z
Z
+
(f XB ) −
−
(f XB ) =
Z
+
f XB −
Z
f − XB
B
Z
=
f+ −
B
Z
f − = m(OrdB f + ) − m(OrdB f − ).
B
R
La función f se dice integrable sobre B cuando B f es finita. Cuando
f
= ∞ − ∞ se dice que no existe la integral de f sobre B.
B
Conviene resaltar en primer lugar algunas consecuencias útiles de esta
definición:
R
Proposición 1.44 Si f es medible sobre los conjunto de Borel disjuntos B1
y B2 entonces f es medible sobre B1 ∪ B2 (y recíprocamente) y se satisface
la igualdad:
Z
Z
Z
f=
(1.5)
B1 ∪B2
f+
B1
f.
B2
Demostración.
Z
Z
f+ −
f=
B ∪B2
Z
+
Z1
f +
=
B1
B2
+
f −
B1 ∪B2
Z
−
f−
B1 ∪B2
Z
f +
B1
Z
B2
f− =
Z
Z
f+
B1
f,
B2
Importante: La igualdad anterior tiene además el sentido de que un miembro de la misma está bien definido si y sólo si el otro lo está. Esto, como
veremos, no siempre ocurre.
32
Integración de Funciones de Varias variables
1.45
El retículo vectorial L 1 (B)
4.
Definición 1.45 Si B es un conjunto de Borel, diremos que una función
medible sobre B pertenece a L 1 (B) siRf es finita e integrable sobre B i.e si
|f (x)| < ∞ para todo x ∈ B y −∞ < B f < ∞.
Las propiedades más utilizadas de L 1 (B) son las siguientes:
1. Si f es una función medible sobre B, entonces f ∈ L 1 (B) si y sólo si
|f | ∈ L 1 (B) y se satisface la fórmula
Z
f ≤
Z
B
|f |.
B
Demostración. Puesto |f | = f + + f − , se tiene que
Z
(1.6)
Z
|f | =
B
R
Por
tanto B |f | es finita si y sólo
R
si B f es finita. Además,
Z
f = B
Z
+
f −
B
f −.
f +
B
Z
+
R
B
Z
f
B
f+ y
−
≤
R
B
Z
B
f − son finitas, es decir si y sólo
Z
+
f
f +
−
Z
2. Si f, g ∈ L 1 (B) y f ≤ g en B entonces
R
B
|f |.
=
B
B
B
f≤
R
B
g.
Demostración. Obviamente si f ≤ g en B entonces f + XB ≤ g + XB y fBX − ≥
g − XB . Se tiene entonces:
R
R
f + ≤ RB g +
RB −
−
B
f
≥
B
g
⇒
Z
Z
f=
B
+
f −
Z
f
B
−
≤
Z
B
+
g −
Z
−
Z
g =
B
g.
B
Ejercicio. Probar que si f ∈ L 1 (B) y C es Run conjunto
de Borel tal que
R
1
C ⊂ B entonces f ∈ L (C), pero en general C f B f .
3. L 1 (B) es un espacio vectorial, siendo la integral un Roperador lineal
sobre
él i.e.,
si α, β ∈ R y f, g ∈ L 1 (B) entonces B (αf + βg) =
R
R
α B f + β B g.
1.47
Integración de Funciones de Varias variables
33
Demostración. Sean α, β ∈ R y f, g ∈ L 1 (B). Se tiene entonces :
0≤
Z
|αf + βg| ≤
B
Z
(|α||f | + |β||g|) = |α|
B
Z
|f | + |β|
Z
B
R
R
|g| < ∞.
B
R
Vamos a probar la igualdad R B (f + g) = R B f + B g (de forma análoga
se procedería para probar que B (λf ) = λ B f ). Teniendo en cuenta las
relaciones f = f + − f − , g = g + − g − , f + g = (f + g)+ − (f + g)− , podemos
escribir
(f + g)+ − (f + g)− = f + − f − + g + − g − ,
equivalentemente
(f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g + .
por lo que, aplicando la aditividad del operador integral para funciones medibles no negativas, se tiene que
Z
+
Z
Z
−
Z
+
Z
f +
g+.
B
B
B
B
B
−
(f + g) +
g =
f +
(f + g) +
B
Z
−
Como las funciones f , g y f + g son integrables, todos los sumandos anteriores son 6= ∞, luego
Z
(f + g)+ −
Z
B
es decir
R
B (f
(f + g)− =
B
+ g) =
R
B
Z
f+ −
B
f+
R
B
Z
B
f− +
Z
g+ −
B
Z
g−,
B
g.
Proposición 1.46 Si f es una función medible y acotada sobre un conjunto
de Borel B de medida finita, entonces f ∈ L 1 (B).
Demostración. Si |f (x)| ≤ M para todo x ∈ B, entonces |f |XB ≤ M XB .
Luego
Z
Z
Z
|f | =
|f |XB ≤
M XB = M m(B) < ∞.
B
Es decir f es integrable sobre B.
Corolario 1.47 Toda función continua sobre un compacto es integrable
sobre él.
Demostración. Si f es una función continua sobre el compacto K, entonces
f está acotada en el conjunto de medida finita K, luego es integrable sobre
K según el criterio anterior.
34
Integración de Funciones de Varias variables
1.47
Terminaremos esta sección con una exposición (la demostración es algo
tediosa pero no ofrece dificultades) de las propiedades de la integral en el
caso más general:
1. SiR f es
función medible Rsobre B, entonces se satisface la fórmula
una
R
≤
|f
|, siempre que B f 6= ∞ − ∞.
f
B
B
2. Si f, g : A ⊂ Rn → [−∞, ∞] y f ≤ g en B entonces B f ≤ B g ,
siempre que las dos integrales existan. (Como ejercicio dar ejemplos
en los una de las integrales valga ∞ − ∞ y la otra no).
R
R
3. Si f, g : A ⊂ Rn R→ [−∞, ∞]Rson medibles
sobre B y B f + B g 6=
R
∞ − ∞ entonces
(f
+
g)
=
f
+
g.
Sin
embargo, puede suceder
B
B R
BR
R
que exista B (f +g) mientras que B f + B g = ∞−∞ (algún ejemplo).
R
3. La fórmula
Z X
B
fk =
XZ
B
R
fk
válida, según vimos para funciones no negativas, no es cierta ahora
ni siquiera si las funciones fk ∈ L 1 (B). (Ver una condición suficiente
para la validez de esta igualdad en en el Corolario 2.5 de Apuntes
2011-12).
4. (Ejercicio:) Si
{Bp } es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos
R
dos a dos, y ∪Bp f 6= ∞ − ∞ entonces se da la igualdad
Z
f=
XZ
∪Bp
f.
Bp
En el Corolario 1.42 veíamos que para funciones medibles de 1-variable
y “no negativas” era cierta la igualdad
Z b
Z y
f = lı́m
y→b− a
a
f (t)dt.
Para funciones con signo variable puede obtenerse la siguiente extensión de
ese resultado:
5. Sea f una función
que admite integral sobre el intervalo (a, b) con
Rb
a, b ∈ R, es decir a f 6= ∞ − ∞. Entonces,
Z b
Z y
f = lı́m
a
y→b− a
f (t)dt
1.48
Integración de Funciones de Varias variables
35
Demostración. Puesto que el resultado es cierto tanto para f + como para
f − , se tiene que
Z b
Z b
f=
+
f −
Z y
= lı́m
y→b−
f
−
Z y
= lı́m
y→b− a
a
a
a
Z b
f+ −
Z y
a
+
f − lı́m
f − = lı́m
Z
y→b− a
y
y→b− a
a
Z y
f−
f (t)dt
Es natural preguntar si la igualdad anterior es también válida cuando
a f = ∞−∞, en el sentido de si entonces también el segundo término toma
la forma ∞ − ∞. La respuesta es que no y el ejemplo
típico lo proporciona
R
la función f (t) = sent t . Se puede probar (ver ) que 0∞ sent t dt = ∞ − ∞ y sin
embargo (ver Apostol [1])
Rb
lı́m
Z y
sen x
y→∞ 0
x
=
π
.
2
Si f es una función
como la del ejemplo anterior i.e., ab f = ∞ − ∞
Ry
pero existe lı́my→b− a f (t)dt, al valor de este límite es habitual llamarlo
R
integral impropia, pudiéndonos encontrar a veces con la notación a→b f =
R
Rb
R →b
lı́my→b− ay f (t)dt. (Análogas definiciones para →a
f, →a
f ).
R
5.
Conjuntos de medida nula en la integración
El importante papel que juegan los conjuntos de medida cero en la integración es consecuencia de la siguiente proposición:
Proposición 1.48R Si N es un boreliano de medida nula, y f es medible
sobre N entonces N
f = R0. En consecuencia si N ⊂ B son de Borel y
R
m(N ) = 0 entonces B f = B\N f cualquiera que sea f medible sobre B.
Demostración. Supongamos en primerX
lugar que f es una función simple no
negativa, luego se puede escribir f =
bk XBk con bk ≥ 0 y Bk conjuntos
finita
de Borel. Entonces
Z
f=
N
Z X
(bk XBk XN ) =
Z X
bk XBk ∩N
= b1 m(B1 ∩ N ) + . . . + bp m(Bp ∩ N ) = 0 + . . . + 0 = 0.
36
Integración de Funciones de Varias variables
1.48
Si ahora f es una función medible no negativa,
Z
Z
Z
f XN = sup
f=
s : 0 ≤ s ≤ f XN
= 0,
N
R
R
ya que si 0 ≤ s ≤ f XN entonces s = sXN ⇒ s = N s = 0.
Finalmente
si
f es una función medible con signo variable, entonces
R
R
R
+
−
N f = N f − N f = 0 − 0.
En consecuencia, si N ⊂ B son de Borel y m(N ) = 0 entonces
Z
Z
Z
f=
B
Z
f=
f+
B\N
(B\N )∪N
Z
f=
N
f +0
B\N
En particular si f es una función medible de 1-variable entonces
R
(a,b) f
≡
Rb
a
R
[a,b] f
=
f (t)dt.
Corolario 1.49 Sean f y g dos funciones medibles sobre B. Si el conjunto
de los puntos
x ∈R B en los que f (x) es diferente de g(x) es de medida nula,
R
entonces B f = B g.
Demostración. Observemos en primer lugar que (por ser f y g medibles) el
conjunto N = {x ∈ B : f (x) 6= g(x)} es un conjunto de Borel, pues
N = {x ∈ B : f (x) 6= g(x)}
= {x ∈ B : f (x) > g(x)} ∪ {x ∈ B : f (x) < g(x)}
= ∪q∈Q {x ∈ B : f (x) > q > g(x)} ∪ ∪q∈Q {x ∈ B : f (x) < q < g(x)} .
Entonces,
Z
Z
f=
B
Z
f=
B\N
Z
g=
B\N
g.
B
Es habitual decir que dos funciones como las del corolario anterior son
iguales casi siempre en B o iguales en casi todo punto de B. Más precisamente
Definición 1.50 Dos funciones f, g se dicen iguales casi siempre en B, lo
que se expresará f = g (c.s. en B), si el conjunto N = {x ∈ B : f (x) 6= g(x)}
es de medida nula i.e m∗ (N ) = 0.
1.51
Integración de Funciones de Varias variables
37
Nota. El corolario anterior indica pues que las integrales de funciones medibles iguales c.s son iguales. Este hecho parece indicar que para integrar una
función medible f se pueda cambiar f por cualquier otra g que sea igual a
f en casi todo punto. Sí, pero sin olvidar que la g que tomemos debe ser
Borel-medible, que son para las que hemos definido la integral. Y es que
puede ocurrir que g = f c.s pero que g NO sea Borel-medible. Por ejemplo: Si C es el conjunto de Cantor (que es cerrado y de medida nula) y N
es un subconjunto de C que no sea de Borel, entonces XN = XC c.s, pero
XN no es Borel-medible, mientras que XC sí. Este (mal) comportamiento
de las funciones Borel-medibles es más significativo aún, si se tiene en cuenta que implica la existencia de funciones Riemann-integrables que no son
Borel-medibles. Por ejemplo la función anterior, XN , ya que esta función es
acotada y constantemente igual a 0 sobre el abierto C c y por tanto el conjunto de puntos de discontinuidad es un subconjunto de C, luego mide 0 y, por
tanto, XN es Riemann-integrable en [0,1]. Las funciones que son iguales en
casi todo punto a funciones Borel-medibles son las conocidas como funciones
Lebesgue-medibles. Es lógico extender la integral a las funciones
LebesgueR
R
medibles: si f = g c.s y f es Borel-medible se define f = g. Puede
probarse (ver manual) que toda función Riemann-integrable en un intervalo
acotado es Lebesgue-medible y su integral en ambos sentidos (Riemann y
Lebesgue) coinciden.
Ejercicio 1.51 (a) Por analogía a la definición dada de funciones iguales
c.s, precisar los conceptos y expresiones: función continua c.s. en B, función
acotada c.s. en B, f ≤ g c.s en B, la sucesión {fp } converge c.s a f en B.
(b) RProbar que si f, g son medibles sobre B y f ≤ g c.s en B, entonces
R
f
≤ B g.
B
(c) Si {fp } es una sucesión de funciones medibles sobre B que converge
c.s a f en B, entonces f es medible sobre B.
(d) Sea {fp } es una sucesión de funciones medibles y no negativas sobre
B que converge c.s a f en B. RSupongamos que
si para cada p se tiene que
R
fp ≤ fp+1 c.s en B , entonces B f = lı́mp→∞ B fp .
(e) Dar un ejemplo que demuestre que la hipótesis f continua c.s. en un
compacto K, NO implica f integrable sobre K.
6.
Primitivas e Integrales
Todos sabemos de la relación entre primitivas e integrales para funciones de 1-variable. La formulación precisa de esta relación la da el teorema
38
Integración de Funciones de Varias variables
1.52
fundamental del cálculo integral. Nosotros sólo veremos aquí la versión más
clásica de este teorema que es para funciones continuas (ver [3] para el caso
general).
Definición 1.52 Sea I un intervalo de R y f una función de I en R. Si F
es una función tal que F 0 (x) = f (x), para cada x de I, se dice que F es una
primitiva de la función f en I.
Observemos en primer lugar que dos primitivas de una misma función
en un intervalo se diferencian en una constante . En efecto, si F 0 = G0 en I
entonces (F − G)0 = 0, luego F − G es constante en I.
R
En lo que sigue, si a, b son numeros reales nos referimos a ab f (t)dt tanto
R
R
R
si a < b como si a > b. Cuando a < b, ab f (t)dt = (a,b) f = [a,b) f = ....
Si a > b convendremos que ab f (t)dt = − ba f (t)dt. Es fácil ver que si a, b, c
R
R
R
son números reales entonces ab f (t)dt = ac f (t)dt + cb f (t)dt.
R
R
Proposición 1.53
i) Toda función continua en un intervalo (de cualquier tipo: abierto, cerrado,..., acotado, no acotado,...) de R admite
una primitiva sobre él.
ii) (Fórmula de Barrow) Si f es continua en el intervalo I y G es una
primitiva de f en I y el intervalo compacto [a, b] ⊂ I, entonces
Z b
f (t)dt = G(b) − G(a).
a
Demostración. i) Sea c ∈ I y definamos
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ I.
c
Vamos a ver que F 0 (x0 ) = f (x0 ) cualquiera que sea x0 ∈ I (si x0 fuese un
extremo de I nos estaríamos refiriendo a la derivada lateral que proceda).
Vamos a suponer, para concretar, que x0 < c y comprobemos que F+0 (x0 ) =
f (x0 ). Se trata de ver que
F (x0 + h) − F (x0 )
− f (x0 )
h
tiende a 0 cuando h → 0+ . Se tiene que para h > 0 y x0 + h < c,
F (x0 + h) − F (x0 ) =
Z x0 +h
f (t)dt −
c
Z x0 +h
Z c
f (t)dt +
=
c
Z
f (t)dt
c
x0 +h
f (t)dt =
x0
Z x0
f (t)dt,
x0
1.54
Integración de Funciones de Varias variables
39
y por tanto
F (x0 + h) − F (x0 )
F (x0 + h) − F (x0 ) − hf (x0 ) − f (x0 ) = h
h
Z
Z
x0 +h
1 x0 +h
f (x0 )dt
= f (t)dt −
h x0
x0
Z
Z
1 x0 +h
1 x0 +h
= (f (t) − f (x0 ))dt ≤
|f (t) − f (x0 )|dt
h x0
h x0
Teniendo en cuenta que f es continua en x0 , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que
si |t − x0 | < δ entonces |f (t) − f (x0 )| ≤ ε. Por tanto de lo anterior se deduce
que si 0 < h < δ entonces:
Z
F (x0 + h) − F (x0 )
1 x0 +h
− f (x0 ) ≤
εdt = ε.
h
h x0
ii) Si G es una primitiva de f en I, entonces G(x) = F (x) + k luego
G(b) − G(a) = F (b) − F (a) =
Z b
f−
c
c
f.
f=
f+
f=
c
Z b
Z c
Z b
Z a
a
a
R
Clásicamente suele entenderse por calcular la integral de f ( f ) la búsqueR
da de una primitiva de la función f . Por tanto cuando escribamos f , el
contexto nos indicará si queremos expresar así la integral de f en todo R o
bien a una primitiva de f .
Proposición 1.54 [Cambio de variables en la integral simple] Sea
f : x → f (x) una función continua en un intervalo J y g : t → x(t) = g(t)
una función de clase C 1 en un intervalo I con g(I) = J (un cambio de
variables). Si c ∈ I se tiene:
Z t
c
f (x(t))x0 (t)dt =
Z g(t)
f (x)dx,
g(c)
igualdad que puede leerse así:
(a) Si F es una primitiva de f en J entonces la función G(t) = F (g(t)
es una primitiva en I de la función t → f (g(t))g 0 (t).
(b) Recíprocamente, si G es una primitiva de t → f (g(t))g 0 (t) en I
entonces G(t) = F (g(t) para alguna primitiva F de f en J. Es más, cualquier
F derivable en J y tal que G(t) = F (g(t)) es una primitiva de f en J.
40
Integración de Funciones de Varias variables
1.54
Demostración. Observar, en primer lugar, que por hipótesis ambas funciones
f y t → f (g(t))g 0 (t) son continuas, por lo que admiten primitivas en J y I,
respectivamente. Si F es una primitiva de f en J, es decir F 0 (x) = f (x),
para cada x ∈ J, entonces aplicando la regla de la cadena a la composición
F ◦ g:
g
F
I ........................................................ J ........................................................ R
t ......................................... x = g(t) ............................... F (g(t)
se tiene (F ◦ g)0 (t) = F 0 (g(t))g 0 (t) = f (g(t))g 0 (t), para cada t ∈ I. Es decir
F ◦ g es una primitiva de la función t → f (g(t))g 0 (t). Y teniendo en cuenta
que las hipótesis podemos aplicar la fórmula de Barrow a las funciones f y
(f ◦ g)g 0 : si c ∈ I entonces
Z t
0
f (g(t))g (t)dt = F (g(t)) − F (g(c)) =
Z g(t)
f (x)dx.
g(c)
c
Si G es una primitiva en I de la función t → f (g(t))g 0 (t) es decir G(t) =
f (g(t))g 0 (t)dt y F es una primitiva de f , entonces por lo anterior G y F ◦ g
son primitivas de la misma función en I, luego existe una constante k tal
que G(t) = F (g(t)) + k, luego G = F1 ◦ g con F1 (x) = F (x) + k.
Supongamos que L es una función derivable en J tal que la primitiva G
de t → f (g(t))g 0 (t) se escribe G = L ◦ g y sea F una primitiva de f , entonces
(G − (F ◦ g)0 (t) = 0 para cada t ∈ I, luego (L ◦ g) − (F ◦ g))(t) es constante
en I es decir que L(g(t)) = F (g(t)) + k y por tanto L(x) = F (x) + k ⇒
L0 (x) = F 0 (x) = f (x).
R
Ejercicios
1A Probar que si la función f : [a, b] → R es derivable entonces la función f 0 ,
derivada de f , es una función medible.
1B Si f, g son funciones integrables ¿son integrables las funciones f ∧g, f ∨g, f g?.
1C Probar que la gráfica de una función medible f : Rn → R es un conjunto de
medida nula.
indicación. Gra (f ) ⊂ Ord (f + 1/p) \ Ord (f ).
1D Sean f, g funciones medibles estrictamente positivas. Probar que
f
∈ L1
1 + fg
⇔
ı́nf f,
1
∈ L 1.
g
1L
Integración de Funciones de Varias variables
41
1E Demostrar que si f es una función integrable en R y existe lı́mx→∞ f (x) entonces este límite vale 0. Dar algún ejemplo de una función integrable que no admita
límite en el infinito.
1F Sea f ∈ L 1 (R) derivable en 0 y tal que f (0) = 0. Probar que la función
g(x) = f (x)/x es integrable en R.
1G Demostrar que si f es una función medible no negativa
que toma el valor 1 en
R
un conjunto de puntos de medida infinita, entonces f = ∞.
1H Estudiar la integrabilidad en el intervalo [0, 1] de las funciones
f (x) = sen 1/x, g(x) =
x−1
.
ln x
1I Estudiar la integrabilidad de las funciones
e1/x sen x,
1
,
x(ln x)2
x ∈ [0, 1];
x2
ln x
,
− ln x
√
ln x
,
x(1 + x)
x ∈ (0, ∞)
x ∈ [e, ∞]
1J (Integración por
R partes) Probar
R que si u, v son funciones derivables en un
intervalo I entonces uv 0 = uv − u0 v. En consecuencia si u, v ∈ C 1 [a, b] con
Rb
Rb
a, b ∈ I, entonces a uv 0 = uv]ba − a u0 v.
1K Obtener una primitiva en todo R para la función f (x) = e−|x| y calcular
R
R
f.
1L Sea f : Rn → R continua c.s.
(a) Demostrar que el conjunto C(f ) de los puntos de continuidad de f es un
boreliano.
(b) Demostrar que la función g = f XC(f ) es Borel-medible.R
R
(d) Probar que f = g c.s. Luego f es Lebesque-medible y f = g.