Hoja 1.- Ejercicios de Teorı́a de la Medida
Nombre y Apellidos:
Fecha: 4–Noviembre–2013
1.- Dado un espacio de medida (Ω, A, µ). Demostrar:
(a) Si A, B ∈ A y µ(A4B) = 0 entonces µ(A) = µ(B).
(b) La relación entre conjuntos medibles A ' B si y sólo si µ(A4B) = 0, es de equivalencia.
(c) En el espacio cociente X = A/ ' la aplicación
ρ(A, B) = µ(A4B),
satisface ρ(A, Ac ) = µ(Ω), por tanto en general ρ : X × X → [0, ∞] toma el valor ∞, sin
embargo define una métrica en el sentido1 de que verifica las tres propiedades habituales.
Demostrar que para la topologı́a natural —en la que las bolas abiertas de radio finito son
base—, para cada A ∈ X , los B que están a distancia finita de A es un abierto y que estos
abiertos o coinciden o son disjuntos y descomponen X en componentes abiertas que sı́ son
espacios métricos y son tales que la aplicación A ∈ X → Ac ∈ X es una isometrı́a que lleva
una componente en otra (si µ(Ω) = ∞) y las aplicaciones de X × X → X
(A, B) → A ∪ B,
(A, B) → A ∩ B,
(A, B) → A4B,
son continuas.
2.- Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos
{x ∈ Ω : h(x) < g(x)},
{x ∈ Ω : h(x) ≤ g(x)},
{x ∈ Ω : h(x) = g(x)},
son medibles.
3.- Dada una sucesión creciente de medidas µn ≤ µn+1 y µ = lı́m µn en un espacio medible
(Ω, A), demostrar que si En ∈ A y µn (En ) = 0, entonces µ(lı́m sup En ) = 0.
4.- Demostrar que para cada A ⊂ R,
X
X
ı́nf{ (bn − an ) : A ⊂ ∪(an , bn ]} = ı́nf{ (bn − an ) : A ⊂ ∪[an , bn )}.
5.- Demostrar que si f : R → R es Lebesgue integrable F (x) =
continua.
R
(−∞,x)
f dm es uniformemente
6.- Sea F una función de distribución en R. Demostrar que el conjunto de puntos de discontinuidad de F es numerable y el de continuidad es denso.
7.- Sea X un espacio topológico Hausdorff y µ una medida en B(X ) tal que para todo abierto
V
µ(V ) = sup{µ(K) : K ⊂ V (compacto)}.
Demostrar que la unión A de todos los abiertos de medida cero por µ, es un abierto con
µ(A) = 0.
1
Observemos que el concepto habitual de métrica exige que d(x, y) < ∞, aunque no es esencial.
8.- Demostrar que si F : (Ω, A, µ) → (Ω0 , A0 ) es medible, µF = F∗ µ, para µF (B) = µ[F −1 (B)],
es una medida, llamada medida imagen, para la que se verifica que si g es medible en Ω0 y
B ∈ A0 , entonces
Z
Z
(g ◦ T ) dµ.
g dµF =
F −1 (B)
B
en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales.
9.- Sea (Ω, A, µ)Run espacio de medida y f una función medible no negativa. Si definimos la
medida λ(A) = A f dµ, demostrar que para cada función medible g
Z
Z
g dλ = gf dµ,
en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales.
10.- Sea F : (a, b) ⊂ R → (c, d) ⊂ R, con F (a+ ) = c y F (b− ) = d, difeomorfismoR creciente,
con inversa G. Demostrar que la medida imagen de la de Lebesgue es mF (A) = A G0 dm y
que
Z
Z
g · G0 dm =
g ◦ F dm.
(a,b)
(c,d)
para toda función medible g : (c, d) → R, en el sentido de que si existe una también la otra
y son iguales.
11.- Demostrar que si f : [0, t] → R es medible, entonces para t > 0
Z
Z
f dm.
f (tx) dm =
t
[0,t]
[0,1]
en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales.
12.- Dadas las funciones definidas en (0, ∞)
Z
e
f (t) =
−x2
2
dm ,
Z
g(t) =
[0,t]
[0,1]
2
2
e−t (x +1)
dm,
x2 + 1
demostrar que:
R
√
2
(a) f (t) + g(t) = π/4. (b) (0,∞) e−x dm = π/2.
R
√
13.- Demostrar que Π(−1/2) = (0,∞) e−x √1x dm = π.
14.- Sean An conjuntos medibles tales que µ(An ) ≤ 2−n . Demostrar que casi seguro todo
punto está a lo sumo en un número finito de conjuntos An .
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