Técnicas de Predicción

Técnicas de Predicción
1ª Evaluación
Solución
Administración y Dirección de Empresas
10 de Abril, 2008
Cuestiones
1h
C1. Suponga que log Xt tiene tendencia con crecimiento sistemático y que en la tendencia hay
una raı́z unitaria y la serie diferenciada tiene una media distinta de cero. Suponga que la
serie tiene estacionalidad estocástica. Señale en la terminologı́a I(d, m) qué tipo de modelo es.
Describa de forma desarrollada el modelo para log Xt como variable dependiente suponiendo
que la transformación estacionaria sigue un proceso MA(1). Indique qué factores recogen la
evolutividad y donde se manifiesta la evolutividad estacional. Suponga que se trata de una
serie trimestral.
Solución:
El modelo I(d, m) descrito en el enunciado es del tipo
I(1, 1) + EE
donde EE ≡ Estacionalidad Estocástica siendo la suma de d + m igual a 2. Al ser h = 2 se
indica que la tendencia de logXt tiene dos componentes y, por tanto, uno es de nivel y otro de
crecimiento. Como hay una raı́z unitaria (d = 1) el componente de nivel es estocástico y como
al eliminar dicha raı́z diferenciando se obtiene que la media de la serie diferenciada es distinta
de cero (m = 1) la tendencia de la serie tiene crecimiento expresado por dicha media no nula
y, por tanto, determinista. Como la serie tiene estacionalidad estocástica, la raı́z unitaria no
se da sobre el retardo uno sino sobre el retardo estacional S.
xt 1 = xt−s + c + wt
(1)
A parir de las ecuaciones estructurales del modelo podemos llegar a la expresión final
xt = Tt + St + vt
Tt = Tt−1 + c + et
X
1x
t
US−1 (L)St = at
= logXt
1
(T endencia)
(Estacionalidad)
(2)
(3)
(4)
La ecuación (4) puede expresarse como (1 + L + L2 + L3 ) St = at
|
{z
}
U3 (L)
Despejando y desarrollando la anteriores ecuaciones
St =
at
(5)
US−1 (L)
donde Tt − Tt−1 = (1 − L)Tt = ∆Tt
c
et
+
∆ ∆
(6)
c
et
at
+
+P
+ vt
∆ ∆
US−1 (L)
(7)
Tt =
y sustituyendo en (2) obtenemos
xt =
calculando el m.c.m
2
y operando
∆4 xt = US−1 (L)c + US−1 (L)et + ∆at + vt
{z
}
| {z } |
(8)
xt − xt−4 = c∗ + wt
(9)
Senda de Evolutividad
z }| {
xt =
xt−4 + c∗
+wt
(10)
4c=c∗
wt
Finalmente
wt = Desviaciones con respecto a la senda de evolutividad.
Derivado del modelo estructural wt sigue un proceso MA(3)(wt = vt + at − at−1 + et + et−1 +
et−2 +et−3 ). Para que sea un MA(1) debemos imponer ciertas restricciones en los componentes
que definen wt .
Otra forma de calcular la expresión final (10) es a partir del operador diferencia (diferencia
de orden 4 por ser una serie trimestral).
Sabiendo que
∆S
=
(1 − LS )
=
∆(1 + L + L2 + ... + LS−1 )
=
(1 − L)(1 + L + L2 + ... + LS−1 )
=
(1 − L)US−1 (L)
Aplicado a nuestra serie
∆4 = (1 − L4 ) = (1 − L + ∆(L + L2 + L3 )) = ∆U3 (L)
Es decir, la diferencia estacional ∆4 es una diferencia regular aplicada a un polinomio suma
U3 (L).
2U
S−1 (L)∆
= ∆4
S=4
2
(1 − L4 )xt
=
(1 − L + ∆(L + L2 + L3 ))xt = wt + c
= xt − xt−1 +
3
X
∆xt−j = wt + c
(11)
(12)
j=1
xt =
−
xt−1 + c
| {z }
3
X
∆xt−j
+wt
(13)
j=1
F actor de T endencia
|
{z
}
F actor de Estacionalidad
xt−1 ⇒ Nivel estocástico.
c ⇒ Crecimiento Determinista.
3
X
∆xt−j ⇒ Estacionalidad estocástica.
j=1
donde wt sigue una estructura MA(1) ⇒ at − θ1 at−1 y at es un proceso ruido blanco.
Desarrollando la ecuación (13) se puede observar que es equivalente a la expresión (10).
C2. A partir del modelo del párrafo anterior formule un modelo para la serie estacionaria y suponga que su media es 0.09. Interprete todos los parámetros de este modelo. Realice predicciones
de la serie estacionaria con uno y dos perı́odos de antelación. Calcule la varianza de los errores
de predicción en todo los casos y compárelas entre sı́. ¿Cuál serı́a la varianza del error de
predicción con diez periodos de antelación?
Solución:
Sea xt = xt−4 + c + wt el modelo formulado a partir del apartado anterior donde wt es un proceso
estocástico de tipo MA(1).
Por lo tanto, tendrı́amos el siguiente modelo
xt = xt−4 + 0,09 + at − θ1 at−1
(14)
donde at ∼ N (0, σ 2 ) y c es la media del proceso.
Realizamos la predicción sobre la serie estacionaria para ello diferenciamos la serie hasta lograr la
estacionariedad en media.
xt − xt−4 = 0,09 + at − θ1 at−1
(15)
(1 − L4 )xt = ∆4 xt = Wt = 0,09 + at − θ1 at−1
(16)
La predicción del modelo estacionario con información hasta el momento n serı́a:
h=1
En (Wn+1 )
= En (c + an+1 − θ1 an ) =
= c + En (an+1 ) − θ1 En (an ) =
= c − θˆ1 an
3
h≥2
= En (c + an+h − θ1 an+h−1 ) =
En (Wn+h )
= c + En (an+h ) − θ1 En (an+h−1 ) =
= c = 0,09
A partir de un horizonte h superior al orden del MA la previsión converge a la media del proceso
pues la media de Wn+h condicional a lo conocido hasta n es exactamente la media marginal.
En procesos estacionarios la predicción colapsa a la media
Error de predicción:
h=1
n
=
= Wn+1 − Ŵn+1
en (1)
= c + an+1 − θ1 an − (c − θ1 ân ) =
= an+1
h≥2
en (k)
n
= Wn+h − Ŵn+h
=
= c + an+h − θ1 an+h−1 − c =
= an+h − θ1 an+h−1
Varianza del error de predicción:
h=1
var[en (1)] =
var(an+1 ) = σa2
h≥2
var[en (h)]
= var(an+h ) + θ12 var(an+h−1 ) =
= σa2 + θ12 σa2 =
=
(1 + θ12 )σa2
A partir de h ≥ 2 la incertidumbre es la misma. La varianza condicional es la varianza marginal del
proceso.
En procesos estacionarios la incertidumbre esta acotada
4