Ecuaciones y Desigualdades

Introducción Inecuaciones
Ecuaciones y Desigualdades
Inecuaciones
Ysela Ochoa Tapia
Ysela Ochoa Tapia — Ecuaciones y Desigualdades
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Introducción Inecuaciones
Introducción
Introducción
Vimos en la sección 3.2 que en la solución de ecuaciones
lineales tenı́amos una solución ó como en el caso del valor
absoluto 2 soluciónes. Ahora en las inecuaciones, tendremos
un conjunto infinito de soluciones las cuales las
representaremos mediante INTERVALOS
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Inecuación Lineal
Definición
Una inecuación lineal de una variable es una desigualdad
(>, <, ≥, ≤) entre dos expresiones algebraicas donde la
variable (incógnita) tiene grado uno y se expresa como:
ax + b < c
ax + b > c
ó
ax + b ≤ c
ax + b ≥ c
a 6= 0; a, b, c ∈ R
El conjunto solución. se representaran con INTERVALOS y tambien lo representamos graficamente en la recta real
R
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Tipos de Intervalos
INTERVALO ABIERTO
INTERVALO CERRADO
Usar PARENTESIS
Usar CORCHETE
a < x < b =⇒ (a, b)
a ≤ x ≤ b =⇒ [a, b]
GRAFICAMENTE
GRAFICAMENTE
a
b
< ó >: ABIERTO.
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a
b
≤ ó ≥: CERRADO
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Introducción Inecuaciones
Tipos de Intervalos
INTERVALOS SEMIABIERTOS
Usar PARENTESIS
x >a
=⇒
x <a
=⇒
(a, ∞)
(−∞, a)
Usar CORCHETES
x ≥a
=⇒
x ≤a
=⇒
[a, ∞)
(−∞, a]
x >a
x ≥a
a
a
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Inecuación Lineal
Se resuelve similar a las ecuaciones, usando propiedades de
desigualdad.
Propiedad de Adición
Si a < b =⇒ a + c < b + c
Propiedad de Multiplicación
Si a < b =⇒ a.c < b.c
con c positivo (c > 0)
IMPORTANTE
Si c < 0 la desigualdad cambia en la
multiplicación: a.c > b.c
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Introducción Inecuaciones
Ejercicios de Práctica
Hallar el conjunto solución de: 3x + 5 < 14
Solución
3x + 5 − 5
3x
3x
3
x
< 14 − 5 (prop. de adicción)
< 9
9
<
(prop. de multiplicación)
3
< 3
Representaciones del Conjunto Solución
INTERVALO: (−∞, 3)
GRÁFICO:
x <3
0
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3
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Introducción Inecuaciones
Ejercicios de Práctica
Resolver: −2x + 3 ≥ 2x − 8
−2x + 3 − 3
−2x
−2x − 2x
−4x
−4x
−4
Solución:
≥
≥
≥
≥
2x − 8 − 3 (prop. de adicción)
2x − 11
2x − 11 − 2x (prop. de adicción)
−11
−11
≤
(prop. de multipl. (-1/4) cambia de sentido la desigualdad )
−4
11
x ≤
4
INTERVALO: −∞,
11
4
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x≤
0
11
4
11
4
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Inecuación Lineal
Inecuaciones con Valor Absoluto. Propiedades:
Si |a| < b ó |a| ≤ b
Si |a| > b ó |a| ≥ b
=⇒ −b < a < b
=⇒ a > b ó a < −b
=⇒ −b ≤ a ≤ b
=⇒ a ≥ b ó a ≤ −b
Halle el C.S. de |3x − 4| < 8
−8
−8 + 4
−4
−4
3
4
−
3
< 3x − 4 < 8
< 3x − 4 + 4 < 8 + 4
< 3x < 12
3x
12
<
<
3
3
Solución:
INTERVALO: C.S − 43 , 4
GRÁFICO:
− 43 < x < 3
− 43 0
4
< x <4
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Ejercicios de Práctica
Halle el C.S. de |6x + 4| > 9
Solución:
ó
6x + 4 < −9
> 9
6x + 4 − 4 < −9 − 4
> 9−4
6x < −13
> 5
5
6x
−13
>
<
6
6
6
5
13
ó
x >
x < −
6
6
IMPORTANTE la Disyunción lógica ó se convierte en union ∪
6x + 4
6x + 4 − 4
6x
6x
6
x < −13/6
C.S. −∞, − 13
∪
6
5
,∞
6
x > 5/6
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− 13
6
0
5
6
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Ejercicios de Práctica
Halle el C.S. de |4 − 7x| ≥ 2x + 1
4 − 7x
4 − 7x − 4
−7x − 2x
−9x
−9x
−9
≥
≥
≥
≥
2x + 1
2x + 1 − 4
2x − 3 − 2x
−3
−3
≤
−9
1
x ≤
3
C.S. −∞, 13 ∪ [1, ∞)
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ó
Solución:
4 − 7x
4 − 7x
4 − 7x − 4
−7x + 2x
−5x
−5x
ó
−5
x
≤
≤
≤
≤
≤
−(2x + 1)
−2x − 1
−2x − 1 − 4
−2x − 5 + 2x
−5
−5
≥
−5
≥ 1
x ≤ 1/3
x ≥1
0 13
1
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