El campo gravitatorio uniforme

El campo gravitatorio uniforme
Juan José Gascón
4 de junio de 2008
1.
Introducción
El principio de equivalencia es la piedra angular sobre la que se asienta
la relatividad general y postula que un observador estacionario en un campo
gravitatorio uniforme es fı́sicamente equivalente a un observador uniformemente acelerado. El análisis y la comprensión del campo gravitatorio uniforme es por tanto una parte esencial para entender la relatividad general.
Este campo es estructuramente el más sencillo, pero la intuición que se tiene
de él, derivada de la gravitación newtoniana, puede dar lugar a confusiones.
De hecho, incluso en la literatura especializada se encuentran algunos errores al respecto, probablemente debidos a que algunos autores se dejaron
llevar por una prematura intuición. Este artı́culo pretende derivar un par de
resultados estándar sobre el campo gravitatorio uniforme en la relatividad
general y la gravitación newtoniana. La intención del artı́culo es meramente
didáctica y aclaratoria.
En este artı́culo vamos a proceder de la siguiente forma.
Primero, partiremos del campo gravitatorio newtoniano, el ejercido por
una lámina infinita de densidad uniforme. En un primer paso asumiremos
que no existe la relatividad general y consideraremos la gravitación descrita
en términos newtonianos en el marco de la relatividad especial. Es decir,
consideraremos la gravitación como una fuerza en el espacio-tiempo plano.
De aquı́ obtendremos que tal campo da lugar a un movimiento hiperbólico
sobre el cuerpo que actúa.
Luego, pasaremos a analizar el problema desde el punto de vista de
la relatividad general. Aquı́ ya no vale hablar de fuerzas. Debido al principio de equivalencia, el campo gravitatorio uniforme es descrito de igual
forma que en un sistema uniformemente acelerado. Mostraremos la equivalencia entre un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme
(el de Rindler) y un observador uniformemente acelerado en movimiento
hiperbólico. La gravitación en un campo gravitatorio uniforme es debida a
los sı́mbolos de Christoffel no nulos al estar en un sistema uniformemente
acelerado.
En el marco de la relatividad general las geodésicas en un campo gravitatorio uniforme son lı́neas rectas en un sistema cartesiano (sistema de
1
Minkowski) inercial. Esto es ası́ porque realmente estamos en el espaciotiempo de Minkowski. La equivalencia entre un campo gravitatorio uniforme
y un sistema uniformemente acelerado significa que el campo gravitatorio
uniforme es un espacio-tiempo plano, sin curvatura alguna. Esto es, trataremos con la solución de Minkowski (el espacio-tiempo plano de la relatividad
especial) a las ecuaciones de Einstein. Es importante notar que en realidad
no vamos a buscar otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas coordenados diferentes al de Minkowski inercial para
describir el espacio-tiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos interesa. Por tanto, es lo mismo transformar una recta en
el sistema de Minkowski por medio de una transformación de coordenadas
al sistema uniformemence acelerado (sistema de Rindler), que obtener la
ecuación geodésica en el sistema de Rindler. Esto es debido a que estamos
en un mismo espacio-tiempo y sólo modificamos el sistema coordenado desde el cual describimos esas trayectorias. Esto lo muestraremos también en
el artı́culo, aunque no de forma muy estricta.
También veremos que la noción del campo gravitatorio newtoniano no
corresponde con el sistema de Rindler en la relatividad general. Para que
exista una equivalencia entre ambas descripciones (el campo gravitatorio
uniforme descrito por el sistema de Rindler y el campo gravitatorio uniforme newtoniano actuando en la relatividad especial) deben darse ciertas
condiciones que se pueden verán en el artı́culo. En cualquier caso, si entre
ambas descripciones hay que elegir una correcta entonces hay que quedarse
con la de la relatividad general. Pero precisamente otra cosa interesante es
que en la relatividad general la noción de campo gravitatorio uniforme no
es única, y que su definición está ligada a ciertas premisas muy concretas
(rigidez de Born).
¿Qué ocurre con otros campos gravitatorios uniformes? Pues hay varias
posibilidades. Investigar esto, en concreto su relación con el modelo newtoniano y el de la cuadrifuerza en la relatividad especial, creo que serı́a un tema
muy interesante. Nada nuevo supongo, pero que personalmente la verdad no
he visto en detalle en la literatura, ya que siempre se toma al campo gravitatorio uniforme como el de Rindler. Una determinada noción de reposo creo
que es la clave del asunto aquı́ como veremos.
2.
El campo gravitatorio uniforme newtoniano
La noción intuitiva del campo gravitatorio uniforme nos proviene de la
gravitación newtoniana. En ella, consideramos un campo gravitatorio uniforme creando una aceleración constante en todo el espacio. Tal campo es
resultado de la atracción gravitatoria que ejerce una pared infinita de densidad uniforme ρ [1]
Un anillo de anchura infinitesimal y radio R tiene una masa igual a
2
Figura 1: Una pared infinita ejerciendo un campo gravitatorio uniforme newtoniano
Gρ(π(R + dr)2 − πR2 ). Por tanto, su contribución a la componente vertical
de la fuerza gravitatoria newtoniana
sobre una masa m localizada a una
√
altura h (y a una distancia h2 + R2 del anillo) es
Gmρ h
2
2
√
dF = 2
π(R + dR) − πR
h + R2
h2 + R 2
Despreciando el término en dR2 se tiene
dF = 2πGmρh
R
(h2
+ R2 )3/2
dR
Integrado para todos los valores del radio desde cero hasta infinito resulta
en
Z
dF = 2πGmρh
0
∞
R
(h2 + R2 )3/2
dR = 2πGρm
En definitiva, sobre una masa m la pared ejerce una fuerza independiente
de la altura a la cual tal masa está localizada.
Aplicando la segunda ley de Newton en el marco de la mecánica newtoniana no relativista, la ecuación de movimiento para tal masa cayendo hacia
la pared en la dirección vertical Z es
aZ = 2πGρ = g
3.
El campo gravitatorio uniforme newtoniano en
la relatividad especial
Consideremos ahora un campo gravitatorio como en anterior, con una
fuerza gravitatoria newtoniana constante, ejercida en un marco relativista.
3
Denominemos (T, X, Y, Z) a un sistema coordenado cartesiano en un espaciotiempo de Minkowski. Partiendo de la definición de cuadrivelocidad
U = γ(u0 , v) = γ(1, v)
y de la cuadrifuerza en un espacio-tiempo plano
dU
d(γ(1, v)) dT
=m
dτ
dT
dτ
se puede reformular (recordando que γ = dT /dτ ) la segunda ley de
newton para la parte espacial de 3-vectores (f = dp/dT )
F = γ(f0 , f) = m
d(γv)
= γma + γ 3 m(v · a)v
dT
Sabemos que el campo gravitatorio newtoniano sólo tiene una componente en la dirección Z, que vale mg por lo que
f=m
mg = γmaZ + γ 3 m(vX aX + vY aY + vZ aZ )vZ
0 = γmaX + γ 3 m(vX aX + vY aY + vZ aZ )vX
0 = γmaY + γ 3 m(vX aX + vY aY + vZ aZ )vY
Es decir, en este marco considerado la caı́da de un cuerpo depende de
su velocidad transversal a la dirección Z.
Aquı́, pese a no estar todavı́a en el dominio de la relativida general, podrı́amos preguntarnos inmediatamente por la validez del principio de equivalencia ya que la caı́da de un cuerpo depende de su velocidad transversal.
Nótese sin embargo que esto no viola el principio de equivalencia, ya que
este implica que todas las masas con condiciones iniciales idénticas espaciotemporales van a caer igual. El efecto de la velocidad transversal es colocar
a la masa en una geodésica espacio-temporal diferente que la lleva por otro
camino espacio-temporal de caı́da.
Para simplificar la situación concentrémonos en el caso de movimiento
con velocidad en la dirección Z únicamente. La única ecuación relevante es
por tanto
mg = γmaZ + γ 3 mvZ2 aZ
Asumiendo m como la masa invariante en reposo del objeto en cuestión
tenemos
aZ = g(1 − vZ2 )3/2
y
aZ =
4
g
γ3
Este es el movimiento de una masa sobre la cual actúa una fuerza constante. A este movimiento se lo denomina también movimiento hiperbólico,
como veremos a continuación. Una fuerza constante sobre un objeto da por
tanto lugar a un movimiento hiperbólico de este.
En cierta medida nos encontramos con una sorpresa aquı́ ya. En el ámbito
relativista una fuerza constante no da lugar a una aceleración constante aZ 6=
g. Esto es debido al lı́mite de la velocidad de la luz como velocidad máxima.
Para velocidades no relativistas v c y γ ≈ 1 la ecuación aZ = g/γ 3
equivale a aZ = g del lı́mite newtoniano no-relativista que hemos obtenido
antes.
Vamos a ver ahora sin embargo que sı́ hay una noción de aceleración
constante para una fuerza constante aplicada sobre un cuerpo. Esta es la
noción de aceleración propia. La expresión de la aceleración obtenida la
vamos a transformar a un sistema momentaneamente comóvil con el cuerpo.
4.
La aceleración propia
Antes de analizar el movimiento hiperbólico conviene por tanto hacer un
alto para definir apropiadamente el concepto de aceleración propia. Esta es
la variación de la velocidad respecto del tiempo propio en el marco comóvil
con el objeto. De la definición de cuadriaceleración en un espacio-tiempo
plano y en nuestro caso unidimensional simplificado
dU
= (γ 4 aZ vZ , γ 2 aZ + γ 4 (vZ2 aZ ))
dτ
colocándonos en un sistema comovil con el objeto y imponiendo por
tanto vZ = 0 (γ = 1) para su velocidad en tal sistema, se tiene
A=
dU
= (0, aZ )
dτ
que es la aceleración propia α = aZ , expresada no obstante en las coordenadas (T, X, Y, Z) y no comóviles con el objeto. Para reescribirlo consideramos que
A=
dvZ dT
dvZ duZ
=
dT dτ
duZ dτ
y por tanto
dvZ duZ
duZ
γ
=
dT dvZ
dτ
donde uZ es la velocidad del sistema comóvil con el objeto. El factor que
falta resulta de la ley de adición de velocidades vZ = (uZ + vZ )/(1 + vZ uZ )
duZ
1
= 2
dvZ
γ
5
Finalmente
α = γ 3 aZ
Para el caso del campo gravitatorio uniforme descrito anteriormente vemos ahora que la ecuación de movimiento corresponde a un movimiento con
aceleración propia constante tal que
α=g
5.
El movimiento hiperbólico
Para expresar el movimiento con aceleración propia constante α = g en
términos de (T, X, Y, Z) partimos otra vez de la segunda ley de Newton para
la parte espacial
d(γvZ )
dT
con vZ = dZ/dT , que resolvemos como
mg = m
gT = γvZ
gT
dZ
=p
dT
1 + g2T 2
esto es
Z=
gT + 1
g
Z 2 − T 2 = g2
Esto es una hipérbola en el plano (T, Z), de ahı́ el nombre de movimiento
hiperbólico.
Queremos encontrar ahora un sistema coordenado nuevo (t, x, y, z) comóvil
con el objeto en movimiento hiperbólico. Este sistema resulta ser [2]
t=
1
arctanh(T /Z)
g
x=X
y=Y
z=
p
Z2 − T 2
Para un objeto con z = const. (y también x = const. e y = const.) se se
cumple
6
Figura 2: El movimiento hiperbólico de una partı́cula a acelerada a lo largo
del eje Z
Z 2 − T 2 = const.
Es decir, en las coodenadas (T, X, Y, Z) el objeto es visto con movimiento
hiperbólico. La transformación inversa resulta ser
T = z sinh(gt)
X=x
Y =y
Z = z cosh(gt)
A este nuevo sistema coordenado se lo conoce con el nombre de sistema
de Rindler. Veamos ahora qué forma tiene el elemento de lı́nea de Minkowski
ds2 = −dT 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 en este nuevo sistema coordenado. Como
se tiene que
dT = dz sinh(gt) + zgdt cosh(gt)
dX = dx
dY = dy
7
dZ = dz cosh(gt) + zgdt sinh(gt)
usando las propiedades de las funciones hiperbólicas
ds2 = −dT 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 = −(zg)2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
6.
Propiedades del movimiento hiperbólico
En T = 0 y t = 0 se tiene Z = z. Consideremos una barra de longitud L
colocada inicialmente en el eje Z. ¿Se mantendrá su longitud si es uniformemente acelerada? Hay varias formas de mostrar que sı́ se mantendrá, siempre
y cuando la definición de aceleración uniforme y movimiento hiperbólico corresponda con la dada previamente y el elemento de lı́nea mencionado sea
aplicable (y globalmente válido).
La forma más trivial, aunque a la vez conceptualmente más sofisticada ya que hace uso de maquinaria de la relatividad general, es notar que
existe una isometrı́a en el sistema de Rindler en la dirección temporal. La
distancia entre dos puntos estacionarios, de z constante, se mantendrá por
tanto constante a medida que avanza t. Es decir, existe un vector temporal
de Killing (véase por ejemplo en apéndice C.3 de [3]). Esto es equivalente
a que la derivada temporal del elemento de lı́nea o la métrica es cero, cosa
que de hecho es ası́ para el elemento de lı́nea en el sistema de Rindler. La
situación es similar al movimiento inercial en el espacio de Minkowski. Tal
movimiento observa una métrica o elemento de lı́nea en la forma usual de
Minkowski, la cual da lugar también a una isometrı́a en la dirección temporal. Por tanto, ahı́ también se conservan las distancias cuando observadas
desde el mismo sistema coordenado. A esta propiedad del movimiento uniformemente acelerado tal y como es definido aquı́ se la denomina rigidez de
Born.
Importante es notar por otro lado que los observadores estacionarios
que mantienen una distancia constante en diferentes puntos del sistema de
Rindler no tienen la misma aceleración. Para mostrarlo calculemos la cuadriaceleración en el sistema de Rindler:
dU λ
+ Γλµν U µ U ν
dτ
Como se trata de un objeto estacionario en el sistema de Rindler su
cuadrivelocidad será U = (u0 , 0, 0, 0). En concreto, será también U · U = −1
y por tanto U = (1/z, 0, 0, 0). Con ello la expresión para los sı́mbolos de
Christoffel que aparecen en la expresión de la cuadriaceleración queda
Aλ =
1
1
Γλ00 = g λλ (gλ0,0 + gλβ,0 − gαβ,0 ) = g 33 g00,λ
2
2
8
y con g 33 = 1 y el único sı́mbolo de Christoffel no nulo en esta expresión
es
1
Γ300 = g 33 g00,3 = g 2 z
2
Insertando en la expresión anterior con aZ = A3
g2
1
=
z2
z
En definitiva, la rigidez de Born requiere de una aceleración diferente en
puntos diferentes.
aZ = g 2 z
Figura 3: Movimiento uniformenente acelerado de dos partı́culas en el eje Z
las cuales conservan la distancia propia entre ellas. Corresponde por ejemplo
al movimiento acelerado de los extremos de una barra rı́gida
7.
El campo gravitatorio uniforme de Rindler en
la relatividad general
Como hemos mencionado en la introducción, la equivalencia entre un
campo gravitatorio uniforme y un sistema uniformemente acelerado significa que el campo gravitatorio uniforme es un espacio-tiempo plano, sin curvatura alguna. Esto es, estamos tratando constantemente con la solución de
Minkowski (el espacio-tiempo plano de la relatividad especial) a las ecuaciones de Einstein. Es importante notar que en realidad no vamos a buscar
otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas
9
coordenados diferentes al de Minkowski inercial para describir el espaciotiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos
interesa. Llegar a esto es posible o bien partiendo del elemento de lı́nea de
Minkowski y luego realizando una transformación de coordenadas, o bien
analizando las propiedades del campo gravitatorio uniforme diréctamente
como en la derivación de Rohrlich que vamos a seguir.
Para obtener un campo gravitatorio uniforme en la relatividad general
procedamos de la siguiente forma [4]. Partamos primero de la expresión más
general posible para una métrica estática
ds2 = −gtt dt2 + gij (z)dxi dxj
en la cual ningún coeficiente depende del tiempo. Dado que el campo es
homogeneo en las coordenadas x, y los coeficientes van a depender sólo de
z. Un cambio de coordenadas adecuado nos permite diagonalizar la métrica
ds2 = −Dt dt2 + Dx dx2 + Dy dy 2 + Dz dz 2
La definición de los sı́mbolos de Christoffel es
1
Γµαβ = g µ (gµα,β + gµβ,α − gαβ,µ )
2
y para la métrica mencionada resultan en
Γttz =
1 Ḋt
2 Dt
Γttz =
1 Ḋx
2 Dx
Γxxx =
1 Ḋt
2 Dt
Γzxx = −
1 Ḋx
2 Dz
Γzzz =
1 Ḋz
2 Dz
Γztt =
1 Ḋt
2 Dz
Ahora, la condición de tener curvatura nula implica que se han de anular
todos los componentes del tensor de curvatura de Riemann.
La condición de curvatura nula viene dada de forma natural por el principio de equivalencia. El principio de equivalencia exige que un observador
estacionario en un campo gravitatorio uniforme ha de ser equivalente a un
observador uniformemente acelerado. Es decir, el observador en un campo
10
gravitatorio uniforme ha de poder eliminar el efecto del campo gravitatorio
por medio de una transformación de coordenadas. Esto sólo es posible si la
curvatura es nula, es decir, si se anulan todos los componentes del tensor de
curvatura de Riemann.
Esto impone las dos siguientes condiciones [X esto habrı́a que calcularlo
X], donde la prima significa derivada respecto de z e i = t, x, y:
Ḋt Ḋx = Ḋt Ḋy = Ḋx Ḋy = 0
2D̈i −
Ḋi2 Ḋz Ḋi
−
=0
Di
Dz
Esto significa que dos de Dt , Dx , Dy son constantes. Para investigar esto
tomemos un ejemplo de una partı́cula no-relativista en el lı́mite newtoniano.
Su ecuación geodésica es:
d2 xµ
+ Γµµν uµ uν = 0
dτ 2
Al ser no relativista podemos aproximar el tiempo propio por t. Además,
supongamos una situación en la que la partı́cula está inicialmente sin velocidad. En tal caso su cuadrivelocidad es u = (1, 0, 0, 0). La ecuación geodésica
para la componente z del movimiento queda:
d2 xµ
d2 xµ
D0
+ Γµ00 =
+ t =0
dt
dt
2Dz
De esta ecuación se desprende que Dt ha de depender de z, ya que de
otra forma en el lı́mite newtoniano una partı́cula en reposo no acelerarı́a
nunca. Como dos de Dt , Dx , Dy son constantes esto significa que Dx y Dy
son constantes y se pueden reabsorber en la definición de Dt . La métrica
queda:
ds2 = −Dt (z)dt2 + dx2 + dy 2 + Dz (z)dz 2
Imponiendo la condición de curvatura nula mencionada anteriormente
2
D̈t Ḋt Ḋz
−
−
=0
Ḋt Dt Dz
que resulta en
ds2 = −Dt (z)dt2 + dx2 + dy 2 +
[X imponer el lı́mite newtoniano X]
11
q
0 2
Dz (z)
dz 2
8.
Propiedades del campo gravitatorio uniforme
de Rindler
Tomemos el campo más sencillo acorde con esa métrica y supongamos
que Dz (z)0 = const. por lo que Dz = Az + B. Esta es precisamente la forma
de la métrica mencionada anteriormente para un observador comóvil con un
sistema uniformemente acelerado. Recordemos el sistema de Rindler:
ds2 = −(gz)2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
Con un cambio de coordenadas
t=t
gz = 1 + gz
se obtiene el sistema de Möller
ds2 = −(1 + gz)2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
Los sı́mbolos de Christoffel correspondientes son:
1
1
Γ3αβ = g 33 (g3α,β + g3β,α − gαβ,3 ) = g 33 gαβ,3
2
2
g3α,β = g3β,α
Γ300 = g(1 + gz)
Γ030 = Γ003 =
2
(1 + gz)2
La ecuación geodésica para un objeto en caı́da libre expresada en coordenadas (t, x, y, z) es
d2 z
dt
= −Γ300
2
dτ
dτ
2
dt
= g(1 + gz)
dτ
2
con
v 2 = vx2 + vy2 + vz2
dt
dτ
2
=
1
(1 + gz)2 − v 2
Para nuestro caso simplificado de movimiento unidimensional vx = vX =
0 y vy = vY = 0 por lo que v = vz y
d2 z
g(1 + gz)
=−
2
dτ
(1 + gz)2 − vz2
y
12
d2 z
= −g(1 + gz)
dt2
Estas son las ecuaciones de movimiento para un cuerpo en caı́da libre en
el campo gravitatorio uniforme de Möller. La última ecuación de movimiento
expresada en las coordenadas (T, X, Y, Z) es equivalente a un movimiento
inercial; rectilı́neo y uniforme. Podemos verificar esto pasando al sistema de
Rindler en el cual z = (1+gz) y para el cual ya tenemos las transformaciones
de coordenadas puestas arriba. En tal caso:
d2 z
= −gz
dt2
y notando que
d2 z
=
dt2
dT
dt
2
d2 z
dT 2
dT
= gZ
dt
d2 z
Z2
=
dT 2
(Z 2 + T 2 )3/2
se tiene
g2Z 2
que con z =
√
Z2
= −gz
(Z 2 + T 2 )3/2
Z 2 + T 2 es
Z = ± T /2
es decir, un movimiento inercial; rectilineo y uniforme.
Con lo mencionado anteriormente podemos derivar otras propiedades de
este nuevo espacio-tiempo, que en concordancia con la literatura lo denominaremos espacio-tiempo de Rindler.
Primero hay que notar que dos observadores estacionarios en el espaciotiempo de Rindler están soportados por fuerzas que dan lugar a aceleraciones
diferentes (recordemos: dos observadores uniformemente acelerados manteniendo la misma distancia z no miden la misma aceleración propia).
Veamos ahora cómo los observadores en caı́da libre ven a los cuerpos
estacionarios en un sistema de Rindler moverse con movimiento hiperbólico
en el espacio-tiempo.
Consideremos por tanto que estamos en un sistema inercial en el espaciotiempo de Minkowski descrito por medio de un sistema coordenado cartesiano (T, X, Y, Z). Consideremos una partı́cula en movimiento hiperbólico -
13
en una lı́nea de mundo hiperbólica - respecto de nosotros parametrizada por
dos parámetros χ, ξ
T = χ sinh(gξ)
Z = χ cosh(gξ)
X=0
Y =0
Ahora hagamos una transformación de coordenadas de forma que la
métrica de Minkowski se convierta en la métrica de Rindler. Es decir, nos
ponemos en un sistema de referencia en el cual describimos el elemento de
lı́nea con la forma de Rindler. Esta es la transformación de coordenadas que
hemos mencionado arriba ya
1
arctanh(T /Z)
g
t=
x=X
y=Y
z=
p
Z2 − T 2
Consecuentemente, convertimos el movimiento de la partı́cula respecto
de nosotros al nuevo sistema coordenado. En el nuevo sistema de referencia
(t, x, y, z), el cual eligiremos tal que las coordenadas t y z estén calibradas
apropiadamente con los parámetros ξ y χ, la partı́cula estará estacionaria
respecto de nosotros
1
χ sinh(gξ)
t = arctanh
g
χ cosh(gξ)
=
1
ξ
g
x=X
y=Y
z=
p
Z2 − T 2 =
q
χ2 cosh2 (gξ) − χ2 sinh2 (gξ) = χ
De igual forma, podemos considerar primero una partı́cula estacionaria
en un sistema de Rindler. Ahora en vez de pensar en un sistema uniformemente acelerado como antes podemos pensar ya en un campo gravitatorio
uniforme. Cambiamos el sistema de referencia a un sistema coordenado de
cartesiano correspondiente con el observador inercial de Minkowski. Este
sistema es un sistema en caı́da libre ya que los sı́mbolos de Christoffel en
el nuevo sistema se anulan. Pues bien, el movimiento de la partı́cula estacionaria será visto como movimiento hiperbólico desde este nuevo sistema de
referencia en caı́da libre. Si por otro lado nos quedamos estacionarios y vemos
caer libremente una partı́cula, el movimiento será el dado por la ecuación
14
de movimiento presentada arriba en esta sección, que es un movimiento
rectilı́neo y uniforme en el sistema de Minkowski.
[X mencionar la existencia de un horizonte ? X]
9.
Otros campos gravitatorios uniformes en la relatividad general
Si ponemos una serie de objetos en el eje Z y los sometemos a aceleración
uniforme, van a trazar hipérbolas en el plano (T, Z). Hemos visto que para
que las distancias entre estos objetos se mantengan constantes cuando son
medidas en los sistemas comóviles con ellos, entonces las aceleraciones de
los diferentes objetos no pueden ser iguales. La obtención del sistema de
Rindler y con él del espacio-tiempo de Rindler como implementación de un
determinado campo gravitatorio obedece por tanto a una muy determinada
definición de reposo.
¿Qué ocurre si en vez de imponer tal condición preferimos imponer la
idea o condición de que todos los objetos tengan la misma aceleración? En
tal caso vamos a tener hipérbolas desplazadas la una respecto de la otra.
Para la hipérbola pasando por el orı́gen:
Z2 − T 2 = 1
Z=
p
1 + T2
Si las hipérbolas han de estar meramente desplazadas la una respecto de
la otra, podemos introducir una coordenada z (no confundirla con la z del
sistema de Rindler porque no es la misma) tal que parametrize las diferentes
hipérbolas
Z =z+
p
1 + T2
De la expresión anterior se tiene:
t
dt
1 + T2
imponiendo ademas que x = X, y = Y y t = T y sustituyendo en el
elemento de lı́nea de Minkowski, se tiene
dZ = dz + √
ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz + √
t
dt
1 + T2
2
1
2t
dt2 + √
dtdz + dx2 + dy 2 + dz 2
2
1 + t2
1+t
Hay que notar que esta expresión siempre puede ser puesta en la forma
diagonal y por último en la forma general mencionada anteriormente para
ds2 = −
15
Figura 4: Movimiento uniformenente acelerado de dos partı́culas en el eje Z
las cuales no conservan la distancia propia entre ellas
un campo gravitatorio uniforme sin curvatura. Para ello se puede proceder
por ejemplo como [5] en el principio del capı́tulo 5. Al fin y al cabo todo
campo gravitatorio uniforme carece de curvatura y puede ser transformado
por medio de una transformación de coordenadas al espacio-tiempo plano y
con ello todos ellos entre si.
10.
Propiedades de otros campos gravitatorios uniformes en la relatividad general
Este campo en particular tiene no obstante la diferencia fundamental
que la derivada temporal de la métrica respecto del tiempo, en este sistema
coordenado, no es nula. No existen isometrı́as temporales aquı́ y la distancia
de una barra en aceleración uniforme definida de esta forma no es medida
constante por los observadores comóviles a ella.
Igual que antes, la caı́da libre en un campo gravitatorio uniforme ası́ es
un movimiento inercial en el sistema de Minkowski, ya que ambos pueden
ser relacionados por medio de un cambio de coordenadas global.
[X más propiedades ? X]
Referencias
[1] mathpages, An Infinite Wall.
[2] wikipedia, Rindler Coordinates.
16
[3] R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, Chicago
1984.
[4] M. Vallisneri, Relativity and Acceleration, Università degli studi di
Parma.
[5] S. M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, gr-qc/9712019.
17