Teoria dels Jocs i de les Decisions. Professor: Xavier Vilà

Teoria dels Jocs i de les Decisions.
Professor: Xavier Vilà
Curs 2004-2005
Llista de Problemes
1. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1, u2 }
cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos:
I
C
A 4,4 1,1
M 1,2 0,3
B 0,1 0,0
D
1,0
2,3
0,-1
Calcular los equilibrios de Nash, y los equilibrios que se obtienen del proceso de eliminación sucesiva de estrategias estrictamente dominadas en este
juego. Comentar.
2. Sean G = {Si , ui } y G = {Si , ui } con i = 1, · · · , n dos juegos en forma
0
normal donde para cada i ∈ I, ui = αi + βi ui (βi > 0). Demostrar que los
0
equilibrios de Nash de G y G coinciden. (En otras palabras, que transformaciones afines positivas de las funciones de pagos no cambian el conjunto
de equilibrios de Nash).
0
0
3. Hallar las estrategias y los pagos de equilibrio de los juegos siguientes donde hay tres jugadores, S1 = {a, b}, S2 = {A, B}, S3 = {α, β} y las matrices de pago presentan los pagos de los jugadores las distintas combinaciones
de estrategias, en el orden (u1 , u2 , u3 ):
a)
α
β
A
B
A
B
a 1,1,1 0,0,0 0,0,0 0,0,0
b 0,0,0 0,0,0 0,0,0 2,2,2
b)
α
β
A
B
A
B
a 1,1,-1 0,0,0 3,3,-6 0,0,0
b 0,0,0 4,4,-8 0,0,0 1,1,-2
1
4. Consideremos el juego en forma normal definido por: I = {1, 2}, S 1 =
S2 = [0, 100],
u1 (s1 , s2 ) = 25s1 − 4(s1 )2 + 15s1 s2
u2 (s1 , s2 ) = 100s2 − 50s1 − (s2 )2 − s1 s2 .
a) Hallar los equilibrios de Nash de este juego y representar las correspondencias de mejor respuesta.
b) Representar los equilibrios gráficamente.
5. Hallar las estrategias de equilibrio (en puras y mixtas) del juego:
J1/J2 A
B
a
5,-5 4,5
b
2,-2 4,-4
6. Hallar los equilibrios en estrategias mixtas de los juegos del ejercicio 3.
7. Consideremos la siguiente versión de la batalla de los sexos:
J1/J2 O
B
o
3,1 0,0
b
a,0 1,3
donde 0 < a < 1.
a) Calcular el equilibrio de Nash en estrategias mixtas en función de a
(es decir, sean x(a) e y(a) las probabilidades de equilibrio de que el
jugador 1 y el jugador 2 vayan a la ópera).
b) Comprobar que la derivada de x(a) respecto de a es nula y que la
derivada de y(a) respecto de a es positiva.
c) Sean Eu1 (a) y Eu2 (a) los pagos esperados en equilibrio en función
de a. Comprobar que Eu1 (a) es creciente en a y que Eu2 (a) es independiente de a.
d) Comentar.
2
8. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1, u2 }
cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos:
I
C
D
A 2,0 1,1 4,2
M 3,4 1,2 2,3
B 1,3 0,2 3,0
Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias puras), y los equilibrios que
se obtienen del proceso de eliminación sucesiva de estrategias estrictamente
dominadas en este juego.
9. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1, u2 }
cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos:
I
C
A 1,-1 6,-6
M 2,-2 0,0
B 3,-3 2,-2
D
0,0
3,-3
4,-4
Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias mixtes).
10. Hallar los equilibrios de Nash es estrategias mixtas del dilema del prisionero.
11. Escribir en forma normal el juego de duopolio de Bertrand, en el que participan dos empresas que venden bienes diferenciados. Cada empresa i elige
el precio pi de su producto, sabiendo que la cantidad demandada de producto a la empresa i por los consumidores es:
qi (pi , pj ) = a − pi + bpj ,
donde a y b son parámetros, a, b > 0.
a) Hallar los equilibrios de Nash (en estrategias puras) de este juego y
representar las correspondencias de mejor respuesta.
b) Representar los equilibrios gráficamente.
12. Hallar las estrategias de equilibrio (en mixtas) del siguiente juego:
J1/J2 I
D
A
2,1 0,2
B
1,2 3,0
3
13. En el juego,
J1/J2 I
D
A
0,0 0,1
B
1,0 0,0
mostrar que si eliminamos de forma iterativa estrategias dominadas (no
estrictamente), podemos obtener resultados distintos según el orden en el
que eliminemos las estrategias.
14. Dos pájaros de la misma especie compiten por un territorio. Cada pájaro
puede adoptar una estrategia de halcón o de paloma en un juego simultáneo
con información completa. Si ambos adoptan el comportamiento de paloma
se reparten el territorio; si uno adopta el de halcón y otro el de paloma, el
primero se queda con el territorio; si ambos adoptan la estrategia de halcón
hay lucha, y a pesar de que cada uno tiene una cierta probabilidad de vencer
y quedarse con el territorio, la lucha implica costes. Las ganancias son:
P1/P2 Paloma Halcón
Paloma
1,1
0,2
Halcón
2,0
-1,-1
Calculad los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.
15. Supongamos que los jugadores en el juego de negociación de Rubinstein
tienen factores de descuento distintos: δ1 corresponde al jugador 1, y δ2
corresponde al jugador 2. Calcular el equilibrio perfecto en subjuegos y
discutir el resultado como función de los factores de descuento.
16. Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa igual a
P (Q) = a − Q, donde Q = q1 + q2 + q3 , y qj es la cantidad producida por
la empresa j. Cada empresa tiene un coste marginal de producción constante e igual a c, sin costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades de la
siguiente manera: (1) la empresa 1 escoge q1 ≥ 0; (2) las empresas 2 y 3
observan q1 y escogen simultáneamente q2 y q3 respectivamente. ¿Cuál es
el resultado perfecto en subjuegos?
4
1
A
B
2
I
2
I
D
2
3
3
3
2
0
D
6
3
Figura 1: Juego del problema 17
17. Escribir la forma normal del juego en forma extensiva representado en la
figura 1:
Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en
los subjuegos. Comentar.
18. Escribir la forma normal del juego en forma extensiva representado en la
figura 2:
Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en
los subjuegos. Comentar.
19. Dibujar el árbol correspondiente al juego en forma simultánea:
J1/J2 I
D
A
2,1 0,1
B
1,3 0,0
Calcular los equilibrios de Nash, y los equilibrios perfectos en subjuegos.
20. Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos del juego representado en la
figura 3:
Buscar los equilibrios de Nash de este juego y los equilibrios perfectos en
los subjuegos. Comentar.
5
1
A
B
2
I
2
I
D
2
3
3
3
2
0
D
6
3
Figura 2: Juego del problema 18
1
A
B
2
I
2
I
D
0
3
2
2
0
1
Figura 3: Juego del problema 20
6
D
1
3
1
A
B
1
α
2
β
4
3
a
2
4
b
3
1
Figura 4: Juego del problema 22
21. El juego simultáneo que a continuación se describe se juega dos veces, observándose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda.
I
C
D
A 3,1 0,0 5,0
M 2,1 1,2 3,1
B 1,2 0,1 4,4
No hay descuento. ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (4, 4)
en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso afirmativo, especificar las estrategias que lo permiten. En caso negativo,
demostrar por qué no.
22. Consideremos el juego en forma extensiva representado en la figura 4:
a) Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
b) Representar el juego en forma normal.
c) Hallar todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras y mixtas) y
comprobar que el conjunto de equilibrios obtenido en el apartado a) es
un subconjunto del conjunto de equilibrios de Nash.
7
23. Los jugadores 1 y 2 están negociando como repartirse 1000 pesetas. Ambos
jugadores indican simultáneamente la parte de las 1000 pesetas que querrían
conseguir, s1 y s2 , donde si ∈ [0, 1]. Si s1 + s2 ≤ 1, los jugadores ven
cumplidos sus deseos; si s1 + s2 > 1, ambos jugadores reciben cero pesetas.
a) ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego?
b) Supongamos que el jugador 2, antes de tomar su decisión, conoce la
decisión del jugador 1, y éste lo sabe. Hallar los equilibrios de Nash
en estrategias puras. Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos.
24. Considerar el siguiente juego, denominado “juego de oportunidades de mercado". Hay dos jugadores, las empresas 1 y 2, y dos oportunidades de mercado, A y B. El juego estático está resumido en la matriz:
J1/J2 A
B
A
3,3 1,4
B
4,1 0,0
Si ambas empresas se aprovechan de la oportunidad de mercado A, obtienen
una ganancia de 3 cada una. Sin embargo, si cualquiera de ellas abandona
la oportunidad A y aprovecha la B, ella consigue una ganancia de 4, pero la
otra empresa sólo obtiene una ganancia de 1 en la oportunidad de mercado
A. Finalmente, en la oportunidad de mercado B sólo hay sitio para una
empresa, si ambas empresas entran en B, ambas obtienen 0.
a) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras y en estrategias
mixtas del juego estático.
b) Sea el juego G(2), que consiste en jugar el juego estático anterior dos
veces, observando los jugadores las decisiones de t = 1 antes de decidir sus acciones de la segunda etapa. Escribir las estrategias correspondientes a los equilibrios perfectos en subjuegos que llevan a los
resultados:
1)
2)
3)
4)
(A, B), en t=1, y (B, A) en t=2.
(A, B), en t=1, y (A, B) en t=2.
(B, A), en t=1, y (B, A) en t=2.
(A, B), en t=1, y (A, B) en t=2.
8
25. Razonar cuidadosamente cómo son los equilibrios perfectos en subjuegos
del juego dinámico que consiste en jugar en la primera etapa el juego:
J1/J2 A
B
A
1,1 5,0
B
0,5 4,4
y, después de observar el resultado de esta etapa, jugar el juego:
J1/J2 A
B
A
3,3 1,4
B
4,1 2,2
26. Dos empresas están planeando introducir un nuevo producto. Cada empresa
debe decidir si introducir el producto A, el producto B o el producto C.
Deben tomar sus decisiones individualmente. Los pagos son:
a
b
c
A
B
C
-10,-10
0,10
10,20
10,0
-20,-20 -5,15
20,10
15,-5 -30,-30
a) Buscar los equilibrios de Nash en estrategias puras.
b) Si el juego se repite dos veces, y las empresas observan el resultado
de la etapa 1 antes de jugar la etapa 2, ¿qué resultados se alcanzarán
en el juego repetido? Escribir las estrategias de uno de los equilibrios
perfectos en subjuegos.
27. Verificar si el dilema del prisionero repetido un número infinito de períodos,
con factor de descuento δ = 1/2, la estrategia:
En t =1 colaboro.
Si mi rival colabora en t-1, colaboro en t.
Si mi rival traiciona en t-1, yo traiciono en t (y en t+1 vuelvo a colaborar)
si es seguida por ambos jugadores, lleva a un equilibrio de Nash del juego
repetido. ¿A qué equilibrio?
9
1
L
R
2
2
I
D
I
D
1
1
i
d
i
d
1
3
4
4
2
0
1
3
d
d
i
2
0
3
1
1
0
0
6
i
Figura 5: Juego del problema 28.
28. La figura 5 ilustra el árbol de un juego entre dos jugadores, 1 y 2. El juego
tiene información completa.
a) ¿Cuáles son las estrategias puras de cada jugador? Y sus acciones en
cada conjunto de información?
b) Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos.
29. Sea el siguiente juego en dos etapas. En la primera etapa, cada empresa
decide entre “entrar" en el mercado, en cuyo caso debe pagar un coste irrecuperable F > 0, o “no entrar" (que no tiene coste). En la segunda etapa, si
sólo una empresa ha entrado, se comporta como un monopolista. Si ambas
han entrado, compiten a la Cournot. Representar el juego, para una demanda de P = a − Q, donde Q es la cantidad total vendida en el mercado, y
costes marginales y medios constantes e iguales a c. Hallar los equilibrios
perfectos en subjuegos.
10
30. Supongamos que en la batalla de los sexos siguiente, los pagos significan
billetes de mil pesetas:
El/Ella Fútbol Teatro
Fútbol
3,1
0,0
Teatro
0,0
1,3
a) Representar la forma extensiva del juego.
b) Calcular los tres equilibrios de Nash, y sus respectivos pagos.
Consideremos ahora la siguiente modificación del juego: antes de que
tanto él como ella decidan (simultáneamente) si ir al fútbol o al teatro,
él puede quemar un billete de mil (en presencia de ella).
c) Representar la forma extensiva de este juego.
d) Encontrar las estrategias puras de los dos jugadores.
e) Representar el juego en forma normal.
f ) Encontrar los equilibrios de Nash (y sus pagos) después de eliminar
sucesivamente las estrategias estrictamente dominadas.
g) Comentar.
31. Sam Goldwyn dijo: “un contrato verbal vale menos que el papel en el que
está escrito". En esta línea, en el halcón maltés (de Dashiel Hammett) se da
el siguiente diálogo:
Spade levantó la cabeza sonriendo y dijo:
- Habíamos hablado de más dinero que esto.
- Si señor, efectivamente - asintió Gutman -, pero entonces
hablábamos. Esto es dinero auténtico, genuina moneda del reino.
Con un dólar de estos se puede comprar más que con diez dólares
de palabra.
Podemos fiarnos de las promesas verbales?
11
32. Hallar todos los equilibrios bayesianos con estrategias puras en el siguiente
juego bayesiano estático:
a) 1) El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como
en el juego 2, siendo cada juego igualmente probable.
b) 2) El jugador 1 se entera de si el azar ha escogido el juego 1 o el 2,
pero el jugador 2 no.
c) 3) El jugador 1 elige A o B; simultáneamente el jugador 2 elige D o I.
d) 4) Las ganancias son las que se dan en el juego que determina el azar.
JUEGO 1 JUEGO 2
J1/J2 I
D
I
D
A
1,1 0,0 0,0 0,0
B
0,0 0,0 0,0 2,2
33. Sea una subasta simultánea con información completa en la que los valores
del bien para los jugadores son v1 = 5, v2 = 4. Todas las pujas deben
ser múltiplos de 2. Escribir la forma normal de la subasta al primer precio.
Resolver.
34. Utilizando los datos del problema anterior, resolver la subasta al segundo
precio.
35. Hallar todos los equilibrios bayesianos con estrategias puras en el siguiente
juego bayesiano estático:
a) El azar determina si las ganancias son como en el juego 1 o como en
el juego 2, siendo cada juego igualmente probable.
b) El jugador 1 se entera de si el azar ha escogido el juego 1 o el 2, pero
el jugador 2 no.
c) El jugador 1 elige A o B; simultáneamente el jugador 2 elige D o I.
d) Las ganancias son las que se dan en el juego que determina el azar.
JUEGO 1 JUEGO 2
J1/J2 I
D
I
D
A
3,3 0,0 0,0 0,0
B
0,0 0,0 0,0 2,2
12
36. Escribir las funciones de mejor respuesta de cada jugador y hallar las estrategias y los pagos de equilibrio del juego siguiente donde hay tres jugadores,
S1 = {a, b}, S2 = {A, B}, S3 = {α, β} y las matrices de pago presentan
los pagos de los jugadores las distintas combinaciones de estrategias, en el
orden (u1 , u2 , u3 ):
α
a
b
β
A
B
A
B
1,1,-1 0,0,0 2,1,-2 0,0,0
0,0,0 4,2,0 0,0,0 2,2,2
37. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1, u2 }
cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos:
I
C
D
A 2,0 1,1 4,1
M 3,4 1,5 2,5
B 1,3 0,2 2,5
a) Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias mixtas).
b) Representar las correspondencias de mejor respuesta.
c) Comentar.
38. El juego simultáneo que a continuación se describe se juega dos veces, observándose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda.
I
C
D
A 4,3 1,2 6,2
M 3,3 2,4 4,3
B 2,4 1,3 5,6
No hay descuento. ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (5,
6) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En
caso afirmativo, especifica las estrategias que lo permiten. En caso negativo,
demuestra por qué no.
13
1
C
A
B
2
2
d
e
2
g
f
h
i
0
1
0
1
3
3
2
2
0
2
2
0
Figura 6: Juego del problema 39
39. Considera el juego representado en la figura 6 en forma extensiva
a) ¿De cuántas estrategias dispone cada jugador?
b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras) de
este juego. Escribir explícitamente las estrategias de equilibrio.
40. Sea una subasta simultánea con información completa en la que los valores
del bien para los jugadores son v1 = 6, v2 = 4. Todas las pujas deben ser
múltiplos de 2.
a) Escribir la forma normal de la subasta al primer precio.
b) Calcular los equilibrios de Nash (en estrategias puras).
c) Comentar cuidadosamente el equilibrio (o los equilibrios) obtenidos.
Si es preciso, apoya la discusión en un ejemplo.
14
41.
a) Calcular los equilibrios de Nash en estrategias puras del juego simultáneo que a continuación se describe:
I
C
A 4,4 1,2
M 3,3 2,5
B 4,3 1,3
D
8,4
4,3
5,6
Supongamos ahora que el juego simultáneo anterior se juega dos veces, observándose el resultado de la primera etapa antes de que comience la segunda. Además no hay descuento.
b) Definir el concepto de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.
c) ¿Puede alcanzarse en la primera etapa la ganancia (5, 6) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso
afirmativo, especifica las estrategias que lo permiten. En caso negativo, demuestra por qué no.
42. Considera el juego representado en la figura 7 en forma extensiva
a) ¿De cuántas estrategias dispone cada jugador? Escribir cuidadosamente el conjunto de estrategias de cada jugador.
b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras) de
este juego. Escribir explícitamente las estrategias de equilibrio del juego anterior. Escribe también el resultado (o resultados) y los pagos
asociados al equilibrio (o a los equilibrios si hay más de uno).
15
1
C
A
B
2
2
d
e
f
2
g
h
k
i
2
1
4
1
1
3
3
1
2
1
2
2
0
0
Figura 7: Juego del problema 42
16