3.4 generaliación a un elipsoide de referencia arbitrario. obtención

3.4
GENERALIACIÓN
A
UN
ELIPSOIDE
DE
REFERENCIA
ARBITRARIO. OBTENCIÓN DE LA CONSTANTE CERO
Como hemos visto, la fórmula de Stokes o la resolución del geoide a partir de
los coeficientes de un modelo global suprimen, en su forma original, los armónicos de
grado cero y uno del potencial anómalo T, por lo tanto la integral de Stokes estudiada
es estrictamente válida solo si estos términos están ausentes. De la misma manera se
imponía la condición de igualdad de potenciales entre geoide y elipsoide de la forma
WO=UO.
Todo esto impone sobre el elipsoide de referencia y sobre su campo de gravedad
normal unas restricciones que difícilmente se cumplen en la práctica.
Por tanto se debe generalizar la integral de Stokes para que pueda aplicarse a
un elipsoide de referencia arbitrario, que debe satisfacer únicamente la condición de
que sea tan próximo al geoide que las desviaciones entre geoide y elipsoide puedan
considerarse como lineales y que su centro coincida con el centro de gravedad
terrestre.
El término de grado cero en el desarrollo en armónicos esféricos del potencial
es igual al potencial generado por un punto:
WO =
KM
r
(1)
Donde M es la masa de la Tierra. Por tanto el término de grado cero del
potencia anómalo T=W-U en la superficie de la Tierra, o, con el mismo grado de
aproximación, sobre el geoide, donde r=R, viene dado por:
1
TO =
K δM
(2)
R
Donde δM=M-M’, es la diferencia entre la masa M de la Tierra y la masa M’ del
elipsoide de referencia. Sería cero si ambas cantidades fueran iguales, pero si no
conocemos con certeza la masa de la Tierra, ¿Cómo podemos igualar M y M’ ?.
Así la generalización de la integral de Stokes sobre el potencial anómalo
teniendo en cuenta el grado cero del potencial anómalo será:
T=
K δM
R
+
R
4π
∫∫ ∆g S (ψ )dσ
(3)
σ
Ahora, además, es lógico suponer que los potenciales generados por elipsoide y
geoide no tienen por que ser el mismo, es decir, WO ≠ UO; llamando:
δW = WO − U O
(4)
A la diferencia entre los dos potenciales la generalización de la ecuación de
Bruns quedará de la forma:
N=
T − δW
(5)
γO
Por lo que la generalización de la fórmula de Stokes para la ondulación del
geoide, introduciendo la ecuación (3) en (5), supone:
N=
KδM δW
R
−
+
Rγ O
γ O 4π γ O
2
∫∫σ ∆g S (ψ )dσ
(6)
Ecuación que se verifica para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro
coincide con del centro de gravedad terrestre y su diferencia con el geoide es tan
pequeña que puede considerarse lineal.
Esta última ecuación contiene el efecto de la diferencia de masas δM y la
diferencia de potencial δW entre elipsoide y geoide.
Llamaremos constante cero sobre la ondulación del geoide a la cantidad (que
será una constante):
NO =
KδM δW
−
γO
Rγ O
(7 )
Con lo que:
N = NO +
R
4π γ O
∫∫ ∆g S (ψ )dσ
(8)
σ
Las anomalías de gravedad de la ecuación anterior estarán reducidas al geoide
y seguirán las mismas hipótesis que la ondulación del geoide (igualdad de masas y de
potenciales), por lo que es previsible también la consideración de una constante cero
para llevarlas a un elipsoide de referencia arbitrario. Para eso se procede de la
siguiente manera:
La ecuación fundamental se expresa de la forma (ecuación 2.15):
∆g = −
∂T ∂γ
+
N
∂h ∂h
(9)
Si tenemos ahora en cuenta la ecuación (5), vemos que:
3
∆g = −
1 ∂γ
1 ∂γ
∂T
+
T−
δW
γ O ∂h
∂h γ O ∂h
(10)
En aproximación esférica tenemos que:
1 ∂γ
2
=−
γ O ∂h
R
;
∂γ ∂γ
=
∂h ∂r
Con lo que:
∆g = −
2
∂T 2
− T + δW
∂r R
R
(11)
Los desarrollos armónicos esféricos para el potencial anómalo y su derivada
direccional a lo largo del radio son, respectivamente:
T (θ , λ ) =
∞
∑ T (θ , λ )
n
n =0
∂T 1
δg (θ , λ ) = −
=
∂r R
∞
∑ (n + 1)T (θ , λ )
(12)
n
n =0
Que, introducidas en la ecuación (11), la transforman en:
∆g (θ , λ ) =
1
R
∞
2
∑ (n − 1)T (θ , λ ) + R δW
n
n =0
Y para n=0 se tiene:
∆g O = −
1
2
TO + δW
R
R
4
(14)
(13)
Que, recordando la ecuación (2), se transforma en:
∆g O = −
1
2
KδM + δW
2
R
R
(14)
Siendo esta la constante cero para las anomalías de gravedad en aproximación
esférica.
Quedarán, por tanto, definidas las constates cero para las anomalías de
gravedad y para la ondulación del geoide a partir de la diferencia de masas y de
potencial entre geoide y elipsoide.
En el caso de utilizar la técnica eliminar-restaurar, esta constante cero
aparecerá cuando se utilice el modelo global sobre las anomalías de gravedad en la
eliminación y sobre la ondulación del geoide en la restauración.
Las diferencias de masas y de potencial son difícilmente evaluables y, por
tanto, difícilmente se pueden introducir en las ecuaciones. Si nos ceñimos al cálculo y
desarrollo de un modelo global, éste se construye sobre el elipsoide más próximo
(normalmente el elipsoide global más moderno) a la Tierra conocido, por lo que este
elipsoide podría ser el modelo de Tierra más aproximado que deberá transformarse al
elipsoide de referencia (GRS80). De esta forma nuestro problema se reduce a la
evaluación de estas constantes a partir de los parámetros elipsoidales conocidos a y f.
Recuperando la teoría para el desarrollo del campo de gravedad normal
mediante desarrollos en serie (Heiskanen y Moritz, 1984, pg. 74-79) se llegan a las
expresiones:
5
3 

KM = a 2 γ e 1 − f + m 
2 

2
11 

WO = aγ e 1 − f + m 
3
6 

(15)
Siendo:
m=
ω 2a
=
γe
Fuerza centrífuga en el ecuador / gravedad en el ecuador
Cantidades que relacionan conceptos físicos con conceptos geométricos dentro
del desarrollo sobre una figura normal como es el elipsoide.
Las expresiones de la ecuación (15) se pueden resolver en a y γe resultando:
KM
WO
W2
γe = O
KM
a=
1 
 1
1 + f + m 
3 
 3
13 
 1
1 + f − m 
6 
 3
(16)
Si ahora diferenciamos estas fórmulas respecto a todas las variables (a, f, M,
WO, γe) se obtendrán diferenciales de masa δM y de potencial δW que podremos
asimilar a las cantidades que nos sirven para la obtención de las constantes cero, de
esta forma, diferenciando y reagrupando obtenemos:
1
1
1
KδM − δW + aδf
3
γe
aγ e
1
2
1
δγ e = − 2 KδM + δW + γ e δf
3
a
a
δa =
(17 )
Recordando las ecuaciones (7) y (14) y que, en aproximación esférica, R=a, la
ecuación anterior queda de la forma:
6
1
1
3
3
1
1
δγ e = ∆g O + γ e δf ⇒ ∆g O = δγ e − γ e δf
3
3
δa = N O + aδf ⇒ N O = δa − aδf
(18)
De donde se extraen las constantes cero que permiten pasar de la ondulación
del geoide y la anomalía de gravedad de un elipsoide a otro, por ejemplo de un
elipsoide medio terrestre (mejor aproximación a la figura de la Tierra) al GRS80.
Por ejemplo: en la definición del modelo global EGM96, se adoptó como mejor
modelo de la superficie de la Tierra al elipsoide definido por las constantes:
a= 6378136.46 m
f= 0.003352805871
Considerando la misma constante KM que la adoptada para el sistema GRS80.
De esta forma se puede calcular la constante cero para la ondulación del geoide
utilizando la ecuación (18) tanto para el elipsoide de referencia GRS80 (a=6378137,
f=0.00335281068118) como para el WGS84 (a=6378137, f=0.003352810665), en
ambos casos el resultado es NO=-0.53 m para pasar de las ondulaciones calculadas
con los coeficientes del modelo global al elipsoide GRS80, o WGS84.
En cuanto al término de grado uno siempre se puede suponer que el centro del
elipsoide de referencia coincide con el centro de gravedad terrestre, o se encuentra tan
cerca que se pueden considerar juntos en la práctica, con lo que estos términos
desaparecen. Esto no ocurre con los sistemas de referencia locales, por ejemplo el
ED50.
Para asegurar este último punto se puede considerar que el modelo EGM96 es
consistente con el marco ITRF91), éste último difiere del marco ITRF92 a niveles
7
inferiores a los 2 cm, igual que la diferencia entre los marcos ITRF92 e ITRF94,
llegando a concluir que los modelos globales se mantienen constantes a través del
tiempo sobre las determinaciones ITRF (hablamos siempre considerando las
precisiones que puede ofrecer un modelo global de geoide). El sistema WGS84 (o, a
nivel práctico el GRS80) es consistente con el ITRF91 considerando la precisión de
definición de ambos sistemas, por lo que se puede concluir que no es necesaria la
consideración de términos de grado unos entre los elipsoides de referencia WGS84 y el
de definición del EGM96; de todas formas se realizó una transformación siete
parámetros entre los sistemas EGM96 y ITRF94 sobre un total de 24 estaciones
distribuidas por todo el mundo llegando a la conclusión de que los orígenes de ambos
sistemas coinciden en el entorno centimétrico y que existe un cambio de escala entre
ellos de 1.5 ± 0.4 ppm para pasar del sistema EGM96 al ITRF94, reafirmando la
conclusión de que no es necesaria dicha transformación para los niveles de precisión
que se están barajando (el cambio de escala supondrá una variación de 0.15 mm para
un valor de ondulación de 100 m).
Por último se debe tener en cuenta que los valores adoptados para los
parámetros GM y a, usados para escalar los coeficientes de la solución armónico
esférica, son diferentes a los del elipsoide de referencia WGS84, así, poniendo como
ejemplo el modelo EGM96, estos valores son:
GMEGM96 = 368600.4415 kgm3sg-2
GMWGS84 = 398600.4418 kgm3sg-2
,aEGM96 = 6378136.450 m
,aWGS84 = 6378137.000 m
Por tanto se debe efectuar la siguiente corrección sobre cada uno de los
coeficientes C, S de orden n del modelo geopotencial para escalarlos y así obtener los
coeficientes de acuerdo al sistema WGS84:
8
{Cn , Sn }WGS 84
GM EGM 96  aEGM 96 
= {Cn , Sn }EGM 96


GM WGS 84  aWGS 84 
n
Las pruebas efectuadas sobre una malla global de ondulaciones del geoide
calculadas sobre los dos elipsoides arrojan los resultados estadísticos siguientes en
cuanto a la diferencia entre las dos soluciones:
Min.= -1.6 mm, Max.= 1.0 mm, EMC = 0.7 mm
Por lo que, debido a las precisiones que ofrecen los modelos globales, se puede
considerar este incremento de escala sin consecuencias prácticas para los cálculos
finales y extrapolar esta conclusión a los modelos OSU89, OSU91 y GPM98cr.
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