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ALCALÁ-NEME
CÁLCULO I-ANALISIS MATEMATICO I
La regla de l’Hospital
ALCALÁ-NEME
UNSL
2015
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
1 / 15
La regla de l’Hospital
Cálculo de ”límites indeterminados”.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
2 / 15
La regla de l’Hospital
Cálculo de ”límites indeterminados”.
Así se llaman aquellos casos en los que la aplicación de las propiedades
del límite llevan a formas del tipo 00 , ∞
∞, entre otras.
∞ , 0 ∞, ∞
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
2 / 15
La regla de l’Hospital
Cálculo de ”límites indeterminados”.
Así se llaman aquellos casos en los que la aplicación de las propiedades
del límite llevan a formas del tipo 00 , ∞
∞, entre otras.
∞ , 0 ∞, ∞
Todos los límites que aparecen en el cálculo de la derivada de una
función continua son indeterminaciones de la forma 00 ,
ALCALÁ-NEME
f (x + h )
h !0
h
lim
f (x )
=
limh !0 [f (x + h)
limh !0 h
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
f (x )]
0
= .
0
2015
2 / 15
La regla de l’Hospital
Cálculo de ”límites indeterminados”.
Así se llaman aquellos casos en los que la aplicación de las propiedades
del límite llevan a formas del tipo 00 , ∞
∞, entre otras.
∞ , 0 ∞, ∞
Todos los límites que aparecen en el cálculo de la derivada de una
función continua son indeterminaciones de la forma 00 ,
f (x + h )
h !0
h
lim
f (x )
=
limh !0 [f (x + h)
limh !0 h
f (x )]
0
= .
0
Supongamos que f y g son dos funciones derivables en un entorno
del punto a y que f (a) = g (a) = 0. Si intentamos calcular el límite
del cociente con las propiedades del límite,
lim
x !a
ALCALÁ-NEME
f (x )
limx !a f (x )
0
=
=
g (x )
limx !a g (x )
0
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
2 / 15
La regla de l’Hospital
Expresión que carece de sentido.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
3 / 15
La regla de l’Hospital
Expresión que carece de sentido.
Apliquemos el teorema del valor medio de Cauchy:
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
3 / 15
La regla de l’Hospital
Expresión que carece de sentido.
Apliquemos el teorema del valor medio de Cauchy:
Sean f y g funciones continuas en [a, x ] y derivables en
(a, x ) . Entonces existe un punto ξ (x ) 2 (a, x ) tal que
[g (x )
o
ALCALÁ-NEME
g (a)] f 0 (ξ (x )) = [f (x )
f (x )
g (x )
f (a)] g 0 (ξ (x ))
f 0 (ξ (x ))
f (a )
= 0
g (a )
g (ξ (x ))
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
3 / 15
La regla de l’Hospital
Es decir:
lim
x !a
f (x )
f (x )
= lim
x
!
a
g (x )
g (x )
0
f (x )
= lim
x
!
a
0
g (x )
f (a )
f 0 (ξ (x ))
= lim 0
,
x !a g ( ξ (x ))
g (a )
donde ξ (x ) es alguno de los puntos intermedio entre a y x cuya
existencia asegura el teorema de Cauchy.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
4 / 15
La regla de l’Hospital
Es decir:
lim
x !a
f (x )
f (x )
= lim
x
!
a
g (x )
g (x )
0
f (x )
= lim
x
!
a
0
g (x )
f (a )
f 0 (ξ (x ))
= lim 0
,
x !a g ( ξ (x ))
g (a )
donde ξ (x ) es alguno de los puntos intermedio entre a y x cuya
existencia asegura el teorema de Cauchy.
Como ξ (x ) está entre a y x, es claro que ξ (x ) ! a cuando
x ! a.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
4 / 15
La regla de l’Hospital
Es decir:
lim
x !a
f (x )
f (x )
= lim
x
!
a
g (x )
g (x )
0
f (x )
= lim
x
!
a
0
g (x )
f (a )
f 0 (ξ (x ))
= lim 0
,
x !a g ( ξ (x ))
g (a )
donde ξ (x ) es alguno de los puntos intermedio entre a y x cuya
existencia asegura el teorema de Cauchy.
Como ξ (x ) está entre a y x, es claro que ξ (x ) ! a cuando
x ! a.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
4 / 15
La regla de l’Hospital
Es decir:
lim
x !a
f (x )
f (x )
= lim
x
!
a
g (x )
g (x )
0
f (x )
= lim
x
!
a
0
g (x )
f (a )
f 0 (ξ (x ))
= lim 0
,
x !a g ( ξ (x ))
g (a )
donde ξ (x ) es alguno de los puntos intermedio entre a y x cuya
existencia asegura el teorema de Cauchy.
Como ξ (x ) está entre a y x, es claro que ξ (x ) ! a cuando
x ! a. Entonces
ALCALÁ-NEME
lim
x !a
f 0 (x )
f (x )
f 0 (ξ (x ))
= lim 0
= lim 0
.
x !a g ( ξ (x ))
x !a g (x )
g (x )
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
4 / 15
La regla de l’Hospital
Ejemplos:
i)
1
log x
log0 1
= lim x =
=1
x !1 x
1 x !1 1
1
lim
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
5 / 15
La regla de l’Hospital
Ejemplos:
i)
1
log x
log0 1
= lim x =
=1
x !1 x
1 x !1 1
1
lim
ii)
ALCALÁ-NEME
lim
x !1
x3
x2 + x
x 1
1
=
3 12
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2 1+1
=2
1
2015
5 / 15
La regla de l’Hospital
iii)
ALCALÁ-NEME
lim
x !1
x3
x2 + x
(x
1)
2
1
= lim
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x !1
P (x )
Q (x )
2015
6 / 15
La regla de l’Hospital
iii)
lim
x3
x !1
En este caso, Q 0 (x ) = 2 (x
ALCALÁ-NEME
x2 + x
(x
1)
2
1
= lim
x !1
P (x )
Q (x )
1) se anula en x = 1, pero P 0 (1) = 2.
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
6 / 15
La regla de l’Hospital
iii)
lim
x3
x !1
(x
En este caso, Q 0 (x ) = 2 (x
Entonces se calcula
ALCALÁ-NEME
x2 + x
1)
2
1
= lim
x !1
P (x )
Q (x )
1) se anula en x = 1, pero P 0 (1) = 2.
Q 0 (1)
Q (x )
= 0,
= 0
x !1 P (x )
P (1)
lim
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
6 / 15
La regla de l’Hospital
iii)
lim
x3
x !1
x2 + x
(x
En este caso, Q 0 (x ) = 2 (x
Entonces se calcula
1)
2
1
= lim
x !1
P (x )
Q (x )
1) se anula en x = 1, pero P 0 (1) = 2.
Q 0 (1)
Q (x )
= 0,
= 0
x !1 P (x )
P (1)
lim
de donde se in…ere que
ALCALÁ-NEME
lim
x !1
P (x )
= ∞.
Q (x )
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
6 / 15
La regla de l’Hospital
iii)
lim
x3
x !1
x2 + x
(x
En este caso, Q 0 (x ) = 2 (x
Entonces se calcula
1)
2
1
= lim
x !1
P (x )
Q (x )
1) se anula en x = 1, pero P 0 (1) = 2.
Q 0 (1)
Q (x )
= 0,
= 0
x !1 P (x )
P (1)
lim
de donde se in…ere que
lim
x !1
P (x )
= ∞.
Q (x )
Mayor es el problema si f 0 (a) = g 0 (a) = 0.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
6 / 15
La regla de l’Hospital
Teorema (de Cauchy iterado) Si f y g tienen derivadas hasta el orden
n + 1 en un intervalo alrededor del punto a, f (k ) (a) = g (k ) (a) = 0
para k = 0, 1, ..., n, y las derivadas de g no se anulan fuera del punto a,
entonces existe un punto ξ entre x y a tal que
f (x )
f (n +1 ) ( ξ )
= (n +1 )
g (x )
g
(ξ )
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
7 / 15
La regla de l’Hospital
Teorema (de Cauchy iterado) Si f y g tienen derivadas hasta el orden
n + 1 en un intervalo alrededor del punto a, f (k ) (a) = g (k ) (a) = 0
para k = 0, 1, ..., n, y las derivadas de g no se anulan fuera del punto a,
entonces existe un punto ξ entre x y a tal que
f (x )
f (n +1 ) ( ξ )
= (n +1 )
g (x )
g
(ξ )
Corolario (Regla de l’Hospial). Bajo las hipótesis del teorema,
ALCALÁ-NEME
lim
x !a
f (x )
f (n +1 ) ( x )
= lim (n +1 )
.
x !a g
g (x )
(x )
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
7 / 15
La regla de l’Hospital
Ejemplos:
iv)
ALCALÁ-NEME
lim
x !0
ex
1
x3
x
ex 1
ex
=∞
=
lim
x !0 6x
x !0 3x 2
= lim
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
8 / 15
La regla de l’Hospital
Ejemplos:
iv)
lim
x !0
v) limx !+∞
ALCALÁ-NEME
xn
ex ,
ex
1
x3
x
ex 1
ex
=∞
=
lim
x !0 6x
x !0 3x 2
= lim
después de derivar n veces,
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
8 / 15
La regla de l’Hospital
Ejemplos:
iv)
lim
ex
x !0
v) limx !+∞
xn
ex ,
1
x3
x
ex 1
ex
=∞
=
lim
x !0 6x
x !0 3x 2
= lim
después de derivar n veces,
xn
n!
xn
=
lim
=
0,
lim
x !+∞ e x
x !+∞ e x
x !+∞ e x
De aquí se deduce que
lim
P (x )
=0 y
x !+∞ e x
lim
ex
= +∞
x !+∞ jP (x )j
lim
para cualquier polinomio P.
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
8 / 15
La regla de l’Hospital
vi)
ALCALÁ-NEME
P ( x)
= 0.
x !+∞
ex
lim P (x ) e x = lim
x! ∞
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
9 / 15
La regla de l’Hospital
vi)
P ( x)
= 0.
x !+∞
ex
lim P (x ) e x = lim
x! ∞
vii)
ALCALÁ-NEME
lim
x !0 +
log x
1
x
= lim+
x !0
1
x
1
x2
= lim+
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x !0
x2
=0
x
2015
9 / 15
La regla de l’Hospital
viii) Forma 0 ∞
ALCALÁ-NEME
1
lim x n log x
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
10 / 15
La regla de l’Hospital
viii) Forma 0 ∞
1
lim x n log x
x !0 +
Se convierte en
ALCALÁ-NEME
0
0
1
haciendo
xn
1
log x
o bien en
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
∞
∞
haciendo
log x
x
1
n
2015
.
10 / 15
La regla de l’Hospital
viii) Forma 0 ∞
1
lim x n log x
x !0 +
Se convierte en
0
0
1
haciendo
xn
1
log x
o bien en
∞
∞
haciendo
log x
x
1
n
.
La segunda forma es más cómoda para los cálculos.
1
lim x n log x = lim
x !0 +
ALCALÁ-NEME
x !0 +
log x
x
1
n
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
10 / 15
La regla de l’Hospital
viii) Forma 0 ∞
1
lim x n log x
x !0 +
Se convierte en
0
0
1
haciendo
xn
1
log x
o bien en
∞
∞
haciendo
log x
x
1
n
.
La segunda forma es más cómoda para los cálculos.
1
lim x n log x = lim
x !0 +
ALCALÁ-NEME
x !0 +
log x
x
1
n
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
10 / 15
La regla de l’Hospital
viii) Forma 0 ∞
1
lim x n log x
x !0 +
Se convierte en
0
0
1
haciendo
xn
1
log x
o bien en
∞
∞
haciendo
log x
x
1
n
.
La segunda forma es más cómoda para los cálculos.
1
lim x n log x = lim
x !0 +
ALCALÁ-NEME
x !0 +
log x
x
1
n
= lim
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x
1
nx
1
1
n
1
= lim
x !0 +
1
nx n
2015
= 0.
10 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
lim
x !0
ALCALÁ-NEME
1
x
cos x
sin x
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
lim
x !0
ALCALÁ-NEME
1
x
cos x
sin x
= lim
x !0
sin x x cos x
=
x sin x
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
lim
x !0
lim
x !0
ALCALÁ-NEME
cos x
1
x
cos x
sin x
= lim
x !0
sin x x cos x
=
x sin x
(cos x x sin x )
=
sin x + x cos x
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
lim
x !0
lim
x !0
ALCALÁ-NEME
cos x
1
x
cos x
sin x
= lim
x !0
sin x x cos x
=
x sin x
x sin x
(cos x x sin x )
= lim
x !0 sin x + x cos x
sin x + x cos x
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
1
x
lim
x !0
lim
cos x
x !0
lim
cos x
sin x
= lim
x !0
sin x x cos x
=
x sin x
x sin x
(cos x x sin x )
= lim
x !0 sin x + x cos x
sin x + x cos x
sin x
x !0 sin x +x cos x
x
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
ix) Forma ∞
∞
1
x
lim
x !0
lim
cos x
x !0
lim
cos x
sin x
x !0
sin x x cos x
=
x sin x
x sin x
(cos x x sin x )
= lim
x !0 sin x + x cos x
sin x + x cos x
sin x
x !0 sin x +x cos x
x
ALCALÁ-NEME
= lim
= lim
x !0 sin x
x
sin x
0
=0
=
1+1
+ cos x
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
11 / 15
La regla de l’Hospital
x) Forma ∞0
ALCALÁ-NEME
1
lim f (x ) con f (x ) = (1 + x ) x
x !+∞
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
12 / 15
La regla de l’Hospital
x) Forma ∞0
1
lim f (x ) con f (x ) = (1 + x ) x
x !+∞
Se calcula el límite de log f (x ) =
∞/∞.
ALCALÁ-NEME
1
x
log (1 + x ), que es de la forma
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
12 / 15
La regla de l’Hospital
x) Forma ∞0
1
lim f (x ) con f (x ) = (1 + x ) x
x !+∞
Se calcula el límite de log f (x ) =
∞/∞.
ALCALÁ-NEME
1
x
log (1 + x ), que es de la forma
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
12 / 15
La regla de l’Hospital
x) Forma ∞0
1
lim f (x ) con f (x ) = (1 + x ) x
x !+∞
Se calcula el límite de log f (x ) = x1 log (1 + x ), que es de la forma
∞/∞.
1
log (1 + x )
lim
= lim 1 +x = 0
x !+∞ 1
x !+∞
x
ALCALÁ-NEME
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
12 / 15
La regla de l’Hospital
x) Forma ∞0
1
lim f (x ) con f (x ) = (1 + x ) x
x !+∞
Se calcula el límite de log f (x ) = x1 log (1 + x ), que es de la forma
∞/∞.
1
log (1 + x )
lim
= lim 1 +x = 0
x !+∞ 1
x !+∞
x
Entonces,
lim f (x ) = lim e log f (x ) = exp
x !+∞
ALCALÁ-NEME
x !+∞
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
lim (log f (x ))
x !+∞
= e0 = 1
2015
12 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
ALCALÁ-NEME
00
lim x x
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
ALCALÁ-NEME
lim log (x x ) =
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
ALCALÁ-NEME
lim log (x x ) =
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
ALCALÁ-NEME
lim log (x x ) =
x !0 +
lim x log x =
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
ALCALÁ-NEME
lim log (x x ) =
x !0 +
lim x log x = lim
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x !0 +
log x
=
x 1
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
ALCALÁ-NEME
lim log (x x ) =
x !0 +
lim
x !0 +
x 1
x 2
lim x log x = lim
x !0 +
x !0 +
log x
=
x 1
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xi) Forma
00
lim x x
x !0 +
Se calcula el límite del logaritmo, para convertir la potencia en
producto:
lim log (x x ) =
x !0 +
lim
x !0 +
x 1
x 2
=
lim x log x = lim
x !0 +
log x
=
x 1
lim x = 0
x !0 +
Entonces, limx !0 + x x = limx !0 + e log (x
ALCALÁ-NEME
x !0 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x)
= e 0 = 1.
2015
13 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
ALCALÁ-NEME
1+
1
x
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
x
2015
14 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
1+
lim
x !+∞
1
x
x
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
ALCALÁ-NEME
x
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
14 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
1+
lim
x !+∞
1
x
x
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
ALCALÁ-NEME
x
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
14 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
x
1+
1
x
=
lim x log 1 +
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
ALCALÁ-NEME
x
x !+∞
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
1
x
=
2015
14 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
x
1+
1
x
=
lim x log 1 +
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
log 1 +
x !+∞
x 1
lim
ALCALÁ-NEME
1
x
x
x !+∞
1
x
=
=
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
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La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
x
1+
1
x
=
lim x log 1 +
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
log 1 +
x !+∞
x 1
lim
Luego,limx !+∞ 1 +
ALCALÁ-NEME
1 x
x
1
x
x
=
x !+∞
lim
x !+∞
1
x
( x
1
=
2
x
1+
1
x
2)
=1
x
= limx !+∞ e log (1 + x ) =
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
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La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
x
1+
1
x
=
lim x log 1 +
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
log 1 +
x !+∞
x 1
lim
Luego,limx !+∞ 1 +
ALCALÁ-NEME
1 x
x
1
x
x
=
x !+∞
lim
x !+∞
1
x
( x
1
=
2
x
1+
1
x
2)
=1
x
= limx !+∞ e log (1 + x ) =
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
2015
14 / 15
La regla de l’Hospital
xii) Forma 1∞
lim
x !+∞
x
1+
1
x
=
lim x log 1 +
se calcula
1
lim log 1 +
x !+∞
x
log 1 +
x !+∞
x 1
lim
Luego,limx !+∞ 1 +
ALCALÁ-NEME
1 x
x
1
x
x
=
x !+∞
x !+∞
1+
1
x
( x
1
=
2
x
lim
1
x
2)
=1
x
= limx !+∞ e log (1 + x ) =
1
x
= e lim x !+∞ log (1 + x ) = e 1 = e
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
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La regla de l’Hospital
El mismo límite se obtiene, si x a tomar sólo valores naturales:
lim
n !+∞
ALCALÁ-NEME
1+
1
n
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
n
= e.
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La regla de l’Hospital
El mismo límite se obtiene, si x a tomar sólo valores naturales:
lim
n !+∞
Se puede al número
2, 1 +
ALCALÁ-NEME
1+
n
1
n
= e.
e como el límite de la sucesión:
1
2
2
, 1+
1
3
3
, ... , 1 +
(UNSL
La regla
) de l’Hospital
1
n
n
, ...
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