Master en Econom´ıa Macroeconom´ıa II 1 Modelo DSGE y

Master en Economı́a
Macroeconomı́a II
Profesor: Danilo Trupkin
Set de Problemas 3 - Soluciones
1
Modelo DSGE y Mecanismos de Propagación
El siguiente problema está basado en Auernheimer y Trupkin (2013).
Considere una
economı́a con población constante, donde el agente representativo maximiza el valor esP
t
perado de U = ∞
t=0 β {zt [ln(Ct ) + ln(Qt )] + η(1 − Nt )}, con 0 < β < 1, donde Ct , Qt y Nt
representan el consumo, el stock de inventarios y el trabajo, respectivamente, la variable zt
puede ser interpretada como un shock sobre las preferencias, y η es una constante positiva.
El producto tiene la forma Yt = ω t (st Kt )α Nt1−α . Es decir, la producción depende de
los servicios del capital, st Kt , donde s es la tasa variable de utilización del stock de capital
Kt , del tiempo asignado al trabajo, y de un shock sobre la productividad, ω t . Asuma
que la tasa de depreciación depende de la intensidad de uso del capital: δ(st ) = δsνt , con
0 < δ < 1, ν > 1. Asimismo, suponga que existen costos de ajuste sobre la inversión,
los cuales dependen de los desvı́os de la inversión actual en relación con el nivel de la
2
It
It
= κ2 It−1
− 1 , donde κ es una
inversión pasada. Los mismos se definen como S It−1
constante positiva.
la ecuación de movimiento del capital queda definida
Deeste modo,
2 It
κ
como Kt+1 = It 1 − 2 It −1 − 1
+[1−δ(st )]Kt . Por su parte, los shocks siguen procesos
autorregresivos definidos por ln ω t = ρω ln ω t−1 +ωt , y ln zt = ρz ln zt−1 +zt , con 0 < ρω < 1
y 0 < ρz < 1, donde las variables t representan los componentes Normales i.i.d. de media
cero y varianzas σ 2ω y σ 2z .
Para simplificar, asuma que no hay firmas en esta economı́a. Es decir, aquı́ las familias
consumen, invierten (en capital fı́sico e inventarios), y producen. Note que, si las firmas son
competitivas, la ausencia de éstas no cambia las asignaciones óptimas. Por último, asuma
que Ct , Nt , st , Kt+1 , y Qt+1 se eligen de acuerdo con información de las realizaciones de los
shocks en t.
De esta manera, tenemos la siguiente restricción de recursos: Ct + It + Qt+1 − Qt =
ω t (st Kt )α Nt1−α . Asuma, finalmente, las condiciones iniciales K0 > 0 y Q0 > 0.
1
1. Escriba el lagrangiano del problema, y encuentre las condiciones necesarias de primer
orden.
Respuesta: El problema puede resumirse de la siguiente manera. El agente tı́pico
de la economı́a maximiza
E0
∞
X
β t {zt [ln(Ct ) + ln(Qt )] + η(1 − Nt )}
t=0
Ct + It + Qt+1 − Qt = ω t (st Kt )α Nt1−α
"
2 #
κ
It
Kt+1 = It 1 −
−1
+ [1 − δsνt ]Kt
2 It − 1
sujeto a
ln ω t = ρω ln ω t−1 + ωt ;
ωt ∼ i.i.d.N (0, σ 2ω )
ln zt = ρz ln zt−1 + zt ; zt ∼ i.i.d.N (0, σ 2z )
k0 > 0, Q0 > 0 dados
Luego, el lagrangiano del problema es:
L = E0
∞
X
t=0
βt









{zt [ln(Ct ) + ln(Qt )] + η(1 − Nt )}
+λt ω t (st Kt )α Nt1−α − Ct − It − Qt+1 + Qt
2
It
κ
ν
+ [1 − δst ]Kt − Kt+1
+µt It 1 − 2 It −1 − 1









y las condiciones de primer orden resultan:
Lct
LNt
LQt+1
Lst
LIt
LKt+1
=
zt
− λt = 0
Ct
(1)
Yt
= −η + λt (1 − α)
=0
(2)
Nt
zt+1
+ λt+1 = 0
= −λt + Eβ
(3)
Qt+1
Yt
= λt α − µt δνsν−1
Kt = 0
(4)
t
st




2
2
It
 µ κ It+1

1 − κ2 It−1
−1
t+1
It  + βE
= −λt + µt 
= 0 (5)
It
It
 × It+1 − 1 
−κ It−1
−
1
It−1
It
Yt+1
= −µt + Eβ λt+1 α
+ µt+1 (1 − δsνt+1 ) = 0,
(6)
Kt+1
a las cuales se agregan, de modo de completar el sistema de equilibrio, (i) la restricción
de recursos, (ii) la ecuación de movimiento del capital, y (iii) los procesos estocásticos
2
de los shocks a la tecnologı́a (ω t ) y a las preferencias (zt ).
2. Interprete: (i) la condición de óptimo de la intensidad de uso del capital (la CPO
respecto a st ); (ii) la ecuación de equilibrio con relación a las tenencias de inventarios
(la CPO respecto a Qt+1 ), y (iii) la ecuación de Euler que resulta del problema.
Respuesta: Reordenando (4), tenemos lo siguiente:
Yt
=
α
st Kt
µt
λt
δνsν−1
.
t
Denotemos a través de pk,t ≡ µt /λt el precio relativo del capital. Es decir, el ratio
µt /λt refleja precisamente el precio (sombra) de una unidad de capital, µt , en términos
de una unidad de bien de consumo, λt . De esta manera, la expresión anterior nos
queda:
α
Yt
= δνsν−1
pk,t .
t
st Kt
(7)
Es decir, el producto obtenido por aumentar marginalmente la intensidad de uso
del capital (lado izquierdo de 7) se iguala, en equilibrio, a su costo marginal. Este
último, precisamente, equivale al incremento de la depreciación (δνsν−1
), que ahora
t
es variable, multiplicado por el costo de reposición de una unidad de capital, pk,t , en
términos de unidades de consumo.
Por otro lado, combinando (1) con (3), tenemos lo siguiente:
zt+1
zt+1
zt
= Eβ
+
.
ct
Qt+1 Ct+1
(8)
Es decir, el equilibrio con relación a las tenencias de inventarios (similar a los bienes
durables en este modelo) requiere que su costo de oportunidad (lado izquierdo de
8) iguale el retorno esperado y descontado, equivalente a su precio mañana (λt+1 =
zt+1 /Ct+1 ), más la utilidad recibida por la misma unidad de inventario (zt+1 /Qt+1 ).
Finalmente, reordenando (6) y utilizando la definición de pk,t resulta la siguiente
ecuación:
zt
ct
pk,t = Eβ
zt+1
ct+1
Yt+1
ν
α
+ (1 − δst+1 )pk,t+1 ,
Kt+1
(9)
la cual representa la ecuación de Euler de esta economı́a, estándar excepto por el
hecho que ahora habrı́a un precio diferente entre el bien de consumo y el de capital
(al menos fuera del steady state, como veremos más abajo).
3. Escriba las expresiones de steady state de la economı́a.
3
Respuesta: El steady state (no estocástico) del sistema de equilibrio podrı́a resumirse de la siguiente manera:
pk
C
Y
C
Q
Y
α
K
1
β
C +I
I
K
= z=ω=1
(1 − α)
=
ηN
1−β
=
β
= δνsν
= α
Y
+ 1 − δsν
K
= Y
= δsν .
4. Asigne valores a los parámetros del modelo (aquı́ podrı́a utilizar los valores calibrados
en Auernheimer-Trupkin, 2013), y escriba el sistema de equilibrio en Matlab de modo
de hallar las funciones de impulso-respuesta y las volatilidades cı́clicas que se derivan
del modelo.
Respuesta: Reordenando el sistema en steady state (véase el item anterior), y normalizando la utilización del capital de estado estacionario a uno (s = 1), encontramos,
primeramente, las siguientes relaciones:
ν = 1+
I
K
1−β
,
βδ
= δ.
Por otro lado, asumamos lo siguiente: N = 1/3, α = 0.36, β = 0.99, δ = 0.02,
y K/Y = 12 (valores “cuasi-calibrados” para datos trimestrales). De esta manera,
tendremos que: ν = 1.5, C/Q = 0.01, C/Y = 1 − I/Y = 0.76, y η = 2.55.
Bajando desde la web del curso el archivo “anexo TP3.zip”, puede correrse este modelo en Matlab (calibrando además los parámetros relacionados con los shocks), de
modo de obtener las funciones de polı́tica y de transicón, las funciones de impulsorespuesta, la matriz de correlaciones y las volatilidades cı́clicas.
5. Interprete brevemente los resultados hallados en el punto anterior, especialmente los
efectos tanto del shock a las preferencias (shock de demanda) como del shock a la
tecnologı́a (de oferta), sobre la intensidad de uso del capital y los inventarios.
Respuesta: Discusión en clase.
4