Teoría de Eliashberg y los superconductores Ba(Pb,Bi)03 y (Ba,K)Bi03

REVISTA MEXICA~A
DE FÍSICA -15SlJl'LE:\1E:"TO
l. 81-8~
JUNIO 1999
Teoría de Eliashberg y los superconductores Ba(Pb,Bi)03 y (Ba,K)Bi03
O. Navarro, E. Chavira y lE. Espinosa.
Instituto de Ifll'e.\.tigaciones ell Materiales, U"il'ersidad Nacional Autónoma de México
Apartado l'osla170.360, 045/0 México, D./', Mexico
Recihido el 27 dc febrero de 199X; aceplado el 25 de mayo de 199X
Denlro de la teorí.l de Eliashberg presenlarnos un análisis de la superconductividad en los compucstos cerámicos de BaPbl_zBi,r03
y
Bar KI-,r BiO]. Este análisis se ha realizado calculando algunas de las cantidadcs tcrmodimímicas. las derivadas funcionales y evaluando el
cflCfic:ienteisotópico (o). Las cantidades físicas se calculan resolviendo nUlllericalllcnte las ecuaciones de Eliashhcrg para la banda prohibida
('011 la funrión espectral electrón-fonón.
n2(w)F(w),
calculada por Shirai ('/ al. utilizando una structura de bandas realista determinada
lllC'tliantc la aproximnción de amarre fuerte. En el primer óxido superconductor, BaPb¡_xBix03,
hemos estudiado varios modelos para la
función n1(w)F(w)
tratando de obtener un mejor ajuste con los resultndos experimentales. Para evaluar el coeficiente isotópico (0:) en
ambos compuestos, hemos usado la aproximación de Raincr y Culello y In derivada funcional de la tempcrntura crítica (Te). Con caJculos
numéricos de algunos cocientes importantes de la teoría BCS y un anjlisis del coefkiente isotópico en estos dos hismutatos, bosquejamos la
importanci¡l del acopbmiento electr6n-fonón en ambos superconductores,
(){',\cri¡)/ol"l'.\':
Acoplamienlo electrón-fonón:
supcrconductividad:
efecto iSOlópico
\Vithinthe Eliashbcrg theory \Ve present an an.llysis ofthe superconductivity in the cewmic compounds BaPhl_zBi.l'03 and BazKI_zBiOJ.
This analysis has bren carried out caJculating sorne of the thermodynamic properties. functional derivatives. and evaluating the isatopc
coefficicnl (o). Thesc physical quantilies are cnJculated by nurncrical sollltions of tbe Eliashbcrg gap equnlions and the electron-phonon
spcctr¡¡ n2(l.l.')F(w) as dctcrmined by Shirai l't al.. lIsing a realistic hand-structure obtained in the tight-hinding approximation. In the first
oxide superconductor BaPbl_rBi.l'OJ,
we have sllldied several modcls for the n2(w)F(w)
function looking for better agrecment wilh
experimental data. In evaluating the isotope coeflicient (n) in hoth compolllll.ls, we have lIsed the Raincr ami Cu1ctto approach and the
fllnclional derivntive for the critical temperature Te:- \Vilh nurnerical ('alculatiolls nf some important BCS-ralios and the nnalysis of the
isotupc cucftkicnt in these two hismuthate, \Ve nutline the importanre {Jf the clcrtron-phonon coupling in hoth supcrcnnductors.
l\eYWfmlJ: Elcctron-phono
coupling; superconliuctivity;
iSOlOpiceffcet
PACS. 6.l.20.Kr; 7~.20-l: 74.60.1\lj
J. Intmducción
La síntesis
del superconductor (;er¡ímico BaPo1_;rBix03
(BPBO) con temperatura crítica (Te) máxima de 13 K reportado por Sleight el al. [1 ) en 1975 y el posterior descubri.
miento en 1988 [2]. Liesuperconductividad en d compuesto
(cl'ámico superconductor UaxK¡_xBiOJ (BKDO) con temperatura crítica por arriba de los 30 K, generó un gran interés en estos sistemas ya que son materinles con estructura
perovskila estrictamente cúbica. En particular, el compuesto
BKBO invalid6 la teoría de que los planos de Cu-O en las
cerámicas superconductoras de al la temperatura crítica eran
una (;ondición necesaria parJ obtener valores de Te grandes.
Más aún, en dicho material se logr6 ootener una alta Te a
pesor de tener una densidad de estados electrónicos, N(O),
eonsiderohlemente pequeño, del orden de 10-1 estodos/(eY.
cspín.cclda), comparada con la N(O) para los compuestos
.415 tal como el Nh3Ge con una temperatura crítica más pequeña, 23.3 K.
Entre las preguntas importantes que requieren de un estudio tanto leórico como expcrirnentalmas detallado para los
sistemas BPBO y BKBO, estan las relacionadas con el efecto isotópico Te ~ 1\1-0 Y con la determinación de la brecha
superconductora (.ó.o). En la teoría BeS [3J. el exponente
isotópico (a) tiene el valor de (l ::::::;0.5 y .6.0 conduce al
cociente universal dado por 2fj.o/J.:uTc igual a 3.53. Dichos
parámetros nos pueden dar suficiente información para decidir si algún material superconductor, sigue un acoplamienlo tipo UCS o si se requiere de un nuevo tipo de mecanismo para explicar su comportamiento, En las siguientes secciones renlizaremos un análisis del efecto isotópico para las
cerámicas superconductoras mencionadas previamente, haciendo uso tanto de la teoría de Eliashberg [3] como de la
aproximación de Rainer y Culeto [41.
2. Teoría de Eliashherg
La teoría UCS supone una interacción electrón-fonón constante y no considera el hecho de que existen diferentes contrihuciones deoidas a los diferentes fonones de la red. Realizar una extensión de la teoría BCS a sistemas donde la interacción electrón-fonón resulta ser fuerte es uno de los temas
más complicados de 1<1 física del estado sólido. Esta teoría
fue realizada por G.M. Elinshhcrg. y se conoce como teoría
de acoplamiento fuerte o simplemente como teoría de Eliash-
82
O. NAVARRO.
E. CHAVIRA
hcrg. El aspecto más importante dc esta teoría es completar
y extender la teoría BeS, es decir, el origen de la supcrcon.
ductividad sigue siendo pares de Coopcr formados vía una
inlcracci()n c]cclrón-fon()n. No hay modificación de las características principales de la teoría 13CS.
Una tkscripción más completa de la supcrconductividad
requiere por lo tanto considerar, con más detalle, la información que proviene de la dinámica oc la red (relación de dispersión de los fOlloJles), dc la estructura electrónica (función
de onda, superfkie de Fcrmi) y de la interacción clectrónranón. Toda esta información está contenida en una función
conocida como función de Eliashhcrg, densidad espectral ó
simplemente como la función O,2(W)P(w). Esta función, que
cs de gran importancia en la teoría de Eliashherg de la superconductividad, al igual que el parámetro 11,* (que da una medida de la fuerza de repulsión coulombiana entre electrones),
se deflne mediante la siguiente expresión:
,,'(w)F(w)
=
L:
1",1.:'
1.'1(1;,1;','1)
y lE.
ESPINOSA
donde los D.(iwn) son las cnergías de los gaps y las funciones Z(iwll) son los factores de renonnalización definidos para las frecuencias de Matsubara iWn =:::: i1TT(2n - 1), con
11 = 0, :f:l, ::l:2, ....
Las funciones .\(iwm - iw cstán relacionadas con la densidad espectral de la siguiente forma:
ll)
.
,\(lWm
. '10=
-
=2
lWu)
. o
.)wn'(w)F(w)
(
w- + Wm ~
El seudopo!ene;al de Coulomo 1" (we) depende de la frecuencia de corle (.¡,..'el el valor típico de esta frecuencia es de 5 a 10
veces el máximo valor de la frecuencia de la densidad de estados fonónicos. Físicamente, la frecuencia de corte para la
interacción de Coulomh debe ser del orden de la energía de
Penni EF, pero se ha demostrado que esta frecuencia se puede escalar hasta Wr, renonnalizando el potencial de Coulomb,
es decir:
l' J(Ck - EFl
JI
'(
~
)
I/(EF)
=
+ Jl(EF)JIl
1
,1]
X
J(ck'
Ep)J(w
-
- wq)/N(O),
dondew'1 es la frecuencia de los fonones, g(k, k', q) es el elemento de matriz de la interacción clectrón-fonón, N(O) es la
densidad de estados electrónicos al nivel de Fermi y las b's
tienen la función de restringir las sumatorias sobre k y /.;;', a la
superhcic de Fenni. La función o':!(w)P(w) puede verse como el producto de la densidad de estados fonónicos F(w) y
una función n:!(w) que representa la fuerza del acopiamiento electrón-fonón. La función F(w) nos da la distrihución de
frecuencias de las vibraciones de la red, mientras que la función n:!(.¡,..')nos da información del acoplamiento, fuerte o
débil, entre fOllones y electrones para cada modo.
Esta función, n.:!(u..')P(w), se puede ohtener por medio de
experimentos de tunelamiento (siguiendo el proceso de inversión de las ecuaciones de Eliashherg conocido como inversión de f\..1cMillan),o a través de mediciones de infrarojo.
Por otra parte, desde el punto de vista teórico se ha ohtenido por medio de c~ílculos rcalistas de estructuras de handas
electrónicas. El resultado principal de la teoría de Eliashherg
cs un par de ecuaciones acopladas que determinan la hrecha
superconductora (gap, o simplcmente ~), que para una temperatura T resultan ser no lineales y por consiguiente la única
forma tle resolverlas es mcdiantc métodos numéricos. En el
formalismo de las frecuencias imaginarias se pucdcn escrihir
- .\(m - n) .
)') dw =
Wn -
C:)
E
Esta ecuación cstá cscrita en cl límite isotrópico, frecucntemente llamado límite sucio cn el cual los efcctos de la anisolropía no se toman cn cucnta.
Una de las aproximaciones más conocidas, pero aún solución analítica de las ecuacioncs lincarizadas dc Eliashbcrg
para T = Te, es la fórmula de McMillan para la temperatura
crítica:
l. l' 'H
"Wln
"X)
[_
1.2"1
,.-
1.04(1 + A)
~\-I/'(I+{).G2A)'
Wln
=
"XI' {~
{= '_'_'(_,,"_')_F_(w_) IIl(W)dW}.
,\ Jo
(.¡,..'
Para encontrar las diferentes cantidades termodinámicas
partimos de la diferencia de energías libres de HelmholtZ entre el estado superconductor, FS• y el estado normal, pN, es
decir, !::1P = pS - FN, que viene daJa por:
J~(~)=
-
7fT
L: [Jw;
+ L'>'(iw",) -Iwnl]
m
X [ZS(iW
m
) _ ZN(iw)
'"
Iw",1
--;/=,=,==,,=,=(=.==)
y4:n
. (.
(.
11..v'1l)
~
= írT L
1I1=-''Xj
L'>(iw",)
.).
Vw- + L'>-(/w )
.)
11
]
t1ondewln, es la energía característica de los hosoncs para una
densidad espectral dada y esta definida por:
col11o:
~ (W'I)Z
.
+ Ll.
]
'lWm
donde Z:-J (;w
es la función de renonnalización en el estado normal y se ohtiene a partir de la El'. (2) haciendo ~(iwm)
igual a cero. Finalmente, Z~(iw1H) es la función de renormalización en el estado superconductor. De C:::.P podemos cal
cular el salto del calor especílico, entre el estado normal y
el estado superconductor, usando la siguiente fórmula termodinámica:
1ll)
'11
4
y
rrT
Z(iw,,)
00
= 1+- "
¿
"",,'JI m=-OCl
,
/., w'"A.'(.
)
y W;l +
IWm
Ll.-
x ,.\(i(.¡,..'1JI - ioN'n),
(2)
RCl'. M('x. Fú, 45 SI (1~){)9)XI-X4
L'>C(")
l
= _ TiI' L'>F
iI]'2'
TEORíA DE ELlASIIBERG
así
COIllO,
el campo
magnético
crítico
lle(O)
y LOS SUPERCONDUCTORES
a la temperatu-
ra T,
Hc(T) = [-81T~FJI/'.
Por
otro
lado.
óX/(jo:J.(W)F(W)l
el concepto
de derivada
funcional,
es de gran importancia
ya que nos da in-
formación
de qué tanto afectan los camhios de la función
(ll(w)F(w)
sobre alguna cantidad termodinámica
X, es decir, cuales son las frecuencias
dc la densidad espectral que
lll<Ís camhian dicha cantidad tcrmodin,ímica.
Consecuentemente,
~x =
1 s,,,
00
sx
.')
-----~,,-(w
(w )F(w)
Il
()
experimental.
Otra información
que podernos ohtener en este
límite, que además resulta ser muy útil, es la derivada funcional de la temperatura
crítica [3-5], STc/So'(w)F(w),
a
partir de la cual, C0l110 ya mencionamos,
podemos evaluar
la efectividad de los fonones de diferentes frecuencias para
modificar la temperatura
crítica y en general para construir
el estado superconductor.
En particular, se puede mostrar que
las frecuencias de los fonones mas efectivos nos dan una ley
universal entre la temperatura
crítica y la frecuencia óptima
"-'
7kB7~.
principales
de estas derivadas
es que
crecen linealmente
para frecuencias
pequeñas,
tienen un
m;íximo en "-' 71.:13 y después decrecen monotónicamente,
La derivada funcional de 7~ nos muestra que la fuerza de
acoplamiento
(tamai1o de ,\), aumenta conforme
la altura
de la derivada funcional dccrese, existe también una prueha
isotópicos parcia1cs ni, es
Debido a que cualquier
pende de M, n'(w)F(w)
variación de dicha fllllci6n
.,
de que la S1~/S02(w)F(w)
siempre
e =
[12
d 2
;cw-n
dw
]
(w)F(w)
en la temperatura
después
crítica
de una integración
viene
por par-
M
.[)
d { w
ST,
21', S[o2(w)F(w)]
}
x dw
.
La forma de la ecuaciíÍn anterior sugirió a Rainer y Culello la introducción
de un coeficiente
del efecto isotópico
parcial, para los fOllones con frecuencia w, de la siguiente
forma:
n(w) '" J!(w)«('(w)F(w)
donde
f!(w)
=
..'!-.-
dw
{w
, STc
2T, S[n'(w)F(w)]
}
.
Esta función de peso determina la contrihución
dc los fonones con ulla frecuencia Lv', al coeficiente del efecto isot6pico
total que estará dado por:
En esta sección hacemos un análisis del acoplamiento
e1cc[níll-fonón para los compuestos
BPBO y llKBO evaluando el
coefkiente
isotópico (o). mediante la aproximación
de Raine!" y Culeto y usando la funciones espectrales
calculadas
por Shirai el al. [GI. Los cálculos para el BrBO se realizaron usando la derivada funcional de Te así como la fUllción
,,'(w)F(w)
renormalizada,
encontados
previamente
[i]. La
de renonnalización
n (w)F(w) deo!ttel1ell10S que la
esta dada por:
/.00 dwn'(w)F(w)S!t1
=_
Di.
2
es positiva.
3. Aproximación para el efecto isotópico
constante
= :F( m,w),
cambio
el cual se puede escrihir,
tes, como:
SIl! 1',.
= Li
decir, O'ot
función espectral
=-
S[(n-(w)F(w)]
1:.
analítica
83
Y (Ba.K)BiO:l
-d lu Tcld ll! M,. Por lo tanto, el efecto isotópico total definido por Ojot == -dll1 Te/dln kf. donde Al es una masa de
referencia dada por la ecuación AJ¡ = f3iA1 con f3i una constante que depende de i. es la sUllla de todos los coeficientes
y el correspondiente
dado como:
F w dw.
De la versión linearizada de las ecuaciones de Eliashherg,
v,ílida para T = Te. podemos extraer información
acerca
dc varios par:ímetros
termodinámicos
como es el caso del
parámetro ¡lO., el cual se puede ajustar a la temperatura crítica
wO/" dada por 1/1.<"01'
Las características
Bn(Pb.Bi)03
1.25, se escogió
de tal
forma que pudicramos ohtener un parámetro de acopIamiento electrón-follón
mas cercano al calculado con datos experimentales. Para el caso del BKBO. usamos las derivadas funcionales de la temperatura
crítica y las n:.!(w)F(w) dadas cn
la referencia [8].
Para estudiar el cfecto isotópico.
Rainer y CuleHo se
hasar6n en la derivada
funcional
de 7~ con respecto a
n:J.(w)F(w).
Este método es muy podcroso
y se ohtuve) por primera vcz para un sistema de diferentes
masas ,\Ji, con su correspondiente
coeficientc
isotópico ni ==
Rel'. Mc.\'.
(\"ot
=
r=
Jo
d,u...'n(w).
(3 )
En las rigs. I y 2 se Illuestra la función R(w) vs. Lv' para los compuestos
BaPo1_:l;Bi,rO:{ (.l: = 0.3. JIo. = 0.01) y
lla,KI_,.IJiO"
(.1' = lI.5, 1" = lI.02 y:1' = O.i, 1" = 0.12),
respectivamente.
El comportamiento
de dicha función de peso es muy parecido al comportamiento
de la derivada funcio-
=
Ilal de 1> Se puede Ilotar que R(w) tiende a cero para w
O
y cuando w -+ 00, lo cual quiere decir que las energías de los
fonones, tanto las Illuy najas COI1\O las muy altas tienen una
cOlllrihución pl'quci'ía hacia el efecto isotópico.
En las Figs. 1 Y 2 también se puede ohservar que H(w)
[iene un m,íximo en aproximadamente
1/5 de la energía
m::íxillla de los fon(lIlcs. En otras palahras,
las frecucncias
mas importantes
para aumentar el coeficiente
isotópico son
precisamente
las que se encuentran
en el m;íximo de la
curva. En la Fig:. .3 mostramos
lluevamente
la función R(w)
Fú. 45 SI (1999) Hl-H4
o
84
NAVARRO.
y
E. CHAVIRA
l.E. ESPINOSA
0.07
0.35
..
0.06
BPBO "'=0.01
0.30
BKBO ("'=0.10)
0.25
BKBO ("'=0.12)
,,
0.05
0.04
0.20
¿: 0.03
'8
ir
el::
0.15
0.02
0.10
0.01
0.05
000
0.00
O
10
5
ü)
=
0.01. Esta
(l2(w)F(w)
grtíflca
está basada
en la función
espectral
BiO
x '~x
60
(meV)
=
0,12.
0.10
....
o
o
o
4. Conclusiones
o
o
o
o
0.00
5
O
10
15
20
25
30
35
'" (meV)
2. Función
.1"
R(u))
en función
de w pnra el compuesto
En ('sta grál1ca mostramos las siguientes
BarKI_~,B¡OI.
posiciones:
50
tienen una diferencia importantc cn valor absoluto. El valor
del máximo aumenta y se hace mas agudo conforme aumenta
el valor de 11.*, en el otro caso, cuando 11. tiene cero (resultado de la teoría BCS) el máximo es cada vcz mas amplio,
Es decir, con valorcs pequeños del potencial Coulombiano
obtendremos un valor de O: muy cercano a 1/2,
3
x=0.7 <"'=0.12)
0.05
FI(jURA
40
=
x=0.5 <"'=0.02)
ir
,,
FIGURA 3. Resultados para la función de peso R(w) en función
de w para el compuesto Bao.7Ko.1Bi03, Los dlculos fueron realizados para dos valores del potencial Coulombiano 11.
0.10 Y
11.
Ba K
o
0.15
'8
30
ü)
00
o
20
10
(meV)
para el compuesto BaPbo.7Bio.303.
,0.20
,
I
O
25
1. Función de peso R(w) en función de w (en meY) pa-
FIGURA
ra JI'
20
15
..
£
,.,
••
= 0.5 (¡," = 0.02) y:r = 0.7
(JI'
dos com-
Basados en la aproximación de Rainer y Culctto y las funciones espectrales para los compuestos cerámicos superconductores BaPhl_xBi.e03 y Ba.fKl_.fBiO:~lhemos encontrado que no lOdos los fonones tienen la misma contribución
hacia el coeflcientc isolórico de dichos sistemas. En particular, se pudo observar quc las frecuencias fonónicas con una
contrihución 6ptill13 tienen un máximo en aproximadamente
liS de la energía máxima de los fonones.
= 0.12).
A¡(radecimientos
(mcV), pero ahora exclusivamente para el compuesto
(.1" = 0.7), haciendo una variación del potencial Coulomhiano ,1'" = 0.10 Y 11* = 0.12. Se puede notar
que las dos curvas tienen la misma forma general, pero manl'S.
W
Ba,tKI_.rBiO:~
Dirección
permanente:
cas, P. Optoelectrónica
1. A.\V. Sleight
el
Facultad
de Ciencias
al.. Salid
I",md"cciáll
na UAS. 19(7) Vol. 11.
4. D. Raincr ami FJ. Culcuo, Phys. Ret .. B JI) (1979) 2540; J.P,
Fisico-t\latcmáli-
C:lI"hottc, Nl'I'. Mml. "!lrs.
e Instituto de Física, RUAr.
Slatl'
COIll/1///Il.
17 (1975)
a la S"l'ercc",d"cli"id",1
(Aula
62 (1990)
1027; O. Nav<trro and E.
Chavira. P!lysim e 2S2.21'n (1997) 1825.
27.
2. R.J. Cava ('1 al.. Natllrt' 332 (1988) 814; L.F MaUhciss
/'/,.".\. R",.¡¡ 37 (1988) 3745.
3. O Navarro.
Este trahajo fue parcialmcnte flnanciado por DGAPAUNAM. bajo el conlralo IN 102196 Y por el CONACyT bajo
los conlralos 2661 P-A9507 Y 25582-E.
j.
l't
(/1.,
R. Baquero ('/ (/1..
G. ~1. Shirai
Mag-
l.
('1
RC'I'.
Mex. Fis. 35 (1989) 461.
(jl. . ./. Phys.: COIulensed Alallt'r 2 (1990) 3553.
O. Navarro, Ph\'sica
e 265 (1996)
73.
8. O. Nnvmro and R. Escudcro, P!lysica
Rev. Me.\", Fú. 45 SI (1999) 81-84
e 170 (1990)
405.