EQUIVALENCIA Concepto EQUIVALENCIA

EQUIVALENCIA
Concepto
C
C
D
B
A
C
DB
D
A
A
B
C
B
D
B
AC
B
Dos figuras planas se denominan
Equivalentes cuando siendo de distinta
forma tienen la misma superficie.
G
D
En la izquierda se han dibujado un cuadrado y un
triángulo isósceles equivalentes. El proceso
seguido se plantea en la parte superior del gráfico.
El cuadrado ABCD es equivalente al triángulo
isósceles EFG .
B
A
E
F
D
Transformación de un polígono de n lados
en otro equivalente de (n-1) lados
Sea el pentágono ABCDE, que remos
transformarlo en un cuadrilátero equivalente,
para ello:
1.- Trazamos una diagonal del polígono
e n n ue s t ro c a s o h em os t ra zad o
AD.Triángulo ADE.
2.- Por el vértice intermedio, E. trazamos
una paralela a la diagonal que corta a la
prolongación del lado AB en el punto F.,
unimos E con F y obtenemos el triángulo
ADF; vamos a estudiar las áreas de los
triángulos ADE y ADF:
C
E
Paralela
a AD
F
D
B
A
D
h
Ambos triángulos tienen un lado común el lado
AD, vamos a utilizar este lado como base del
triángulo.
- Área del ADE será base x altura /2, AD x h/2,
siendo h, la altura sobre AD, esto es, el
segmento de perpendicular EM desde E.
M
E
h
F
A
A
Paralelas
- Área del ADF será base x altura /2, AD x h/2,
siendo h, la altura sobre AD, esto es, el
segmento de perpendicular FM desde F. Estas
dos alturas, h, son iguales dado que hemos
trazado paralelas luego ambos triángulos
tienen el mismo área, son equivalentes.
N
Paralelas
D
D
Mediante este procedimiento hemos
pasado de un pentágono ABCDE a un
cuadrilátero BCDF, equivalente.
C
E
C
Paralela
a AD
F
A
B
F
A
B
I.E.S. Las Salinas de Laguna de Duero DIBUJO TÉCNICO
Departamento de AA.PP.
Equivalencia -01diciembre 2011
EQUIVALENCIA
Transformación de un cuadrilátero
en un triángulo equivalente.
D
Aplicando el método general
explicado en la página anterior
podemos reducir un cuadrilátero a un
triángulo equivalente, reduciendo un
lado.
D
C
B
A
E
A
B
E
Transformación de un polígono,
hexágono, en un triángulo equivalente.
E
E
E
D
A
B
D
C
F
G
D
D
C
G
B
H I
G
H I
C
Se ha indicado el proceso gráficamente:
- Trazamos la altura sobre la base y la
dividimos en dos partes iguales, h/2.
- Construimos el rectángulo de base la del
triángulo y altura h/2.
C
M 1
E
2
N
1
B
H
En la parte inferior se transforma un
triángulo, cualquiera, ABC, en un
rectángulo equivalente, ABDE.
Transformación de un triángulo
en un rectángulo equivalente.
A
En la parte inferior hemos
pasado, reduciendo lados
aplicando el proceso
sucesivamente, de un
hexágono a un triángulo
equivalentes, mínimo
polígono posible.
D
E
D
B
A
B
2
A
Para hallar el cuadrado equivalente a un rectángulo
necesitamos hallar la media proporcional de los
2
lados del rectángulo, esto es, l = axb.
En nuestro ejemplo hemos aplicado el teorema de
la altura. Obtenido l, construimos el cuadrado.
Transformación de un rectángulo
en un cuadrado equivalente.
D
C
D
C
C
D
l
b
A
a
B
A
a
B
b
A
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l
B
Equivalencia -02diciembre 2011
EQUIVALENCIA
Transformación de un polígono regular
en un rectángulo equivalente.
E
E
D
F
Recordando que el área de un polígono
regular era: Semiperímetro x Apotema,
construimos un rectángulo de lados el
semiperímetro y el apotema del polígono.
En nuestro ejemplo hemos transformado un
hexágono regular en rectángulo.
D
Q
C F
D
C
C
Apotema
A
A
B
B
A
B
semiperímetro
1.- Hallamos el rectángulo equivalente al circulo, para ello
rectificamos la semicircunferencia r = l3 + l4, suma de los lados del
triángulo y del cuadrado inscritos.
El rectángulo equivalente tiene como lados r y r.
Transformación de un círculo
en un cuadrado equivalente.
2.- Hallamos la media proporcional a los lados r y r, y obtenemos el
lado l, del cuadrado equivalente.
F
H
B
Q
C
A
D C
D
l3
l4
B
A
r
B
M
E
A
G
Composición del rectángulo
en el cuadrado equivalente.
G
F
3
2
M
C
D
N
3
1
2
A
B
E
Vamos a descomponer el rectángulo en tres partes
para luego componer el cuadrado equivalente.
1.- Superponemos el cuadrado y el rectángulo y
unimos los vértices extremos, B y G, cortando al
rectángulo y al cuadrado en M y N, respectivamente.
3
1
3
2
Estudiamos las figuras que se forman:
- Pentágono 1 común a las dos figuras.
- Triángulo 2 igual en ambas figuras.
- Triángulo 3 el mismo para las dos figuras.
Componiendo de una u ptra manera
construimos un rectángulo o un cuadrado.
1
2
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Equivalencia -03diciembre 2011
EQUIVALENCIA
Transformación de un triángulo
equilátero en un cuadrado equivalente.
C
En primer lugar, figuras 1, 2 y 3, se ha transformado el
triángulo ABC en un rectángulo equivalente de base
AB y altura h/2.
El procedimiento, ya conocido, se indica en las figuras.
C
1
2
D
E
2
1
A
BA
figura 1
G
Lado 4
D
E
B A
figura 2
figura 3
G
H
3
4
E
D
4
3
A
4
1
F
B
figura 4
1
3
A
I
2
2
41
1
3
41
B
figura 5
2
B
Una vez hallado el rectángulo,
buscamos, fig. 4, el lado del
cuadrado equivalente al rectángulo
hallando la media proporcinal de
sus lados. Superponemos las dos
figuras y uniendo los vértices A y G
descomponemos en las partes 3, 4 y
5, que permiten componer una u otra
figura, fig. 5.
En las partes 4 y 5 recortamos los
triángulos 1 y 2 del rectángulo 41 y
52, con los que podemos componer el
cuadrado o el triángulo equivalentes,
fig. 6, 7 y 8.
41
3
3
figura 6
figura 7
figura 8
C
C
l/2
D
D
G
G
l/2
I
A
E
F
l/2
B
A
l/4
H
F
E
B
Un procedimiento para transformar el
triángulo equilátero en un cuadrado
equivalente es el ideado por Dudeney. En las
figuras 1 a 4 se visualiza el proceso.
Este método no es exacto, el resultado es un
rectángulo de lados muy parecidos, pero no
iguales. El segmento EG es menor que la
suma de los segmentos HF y DI.
figura 2
figura 1 C
2
1
D
2
1
G
H
I
4
4
3
A
E
figura 3
F
B
3
figura 4
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Equivalencia -04diciembre 2011
EQUIVALENCIA
EQUICOMPOSICIÓN DE POLÍGONOS
Construcción de un cuadrado equivalente
a la suma de otros dos.
Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos es sencillo si
recordamos el teorema de Pitágoras: (Suma de los cuadrados de los
catetos igual al cuadrado de la hipotenusa)
Si observamos el triángulo rectángulo de lados a, b y c, de la izquierda
vemos que el cuadrado de lado c es igual a la suma de los de lado a y b,
También nos puede servir para hallar la diferencia de dos cuadrados.
c
a
b
a2+b2=c2
er
N
er
1 Método
C
D
C
D
2
D
C
1
G
G
F
1
A
2
A
E
B
figura 1
G
F
M
figura 2
E
M
1 Método
Sean los cuadrados de la figura 1,
unimos los vértices A y G se
obtiene el lado buscado.
Trasladamos, fig. 2, ese lado
hasta F y lo giramos 90º por D,
vemos que convergen en M y
F se forman dos triángulos, 1 y
2, iguales.
Trasladamos, fig. 3, esos
triángulos y obtenemos el
cuad r ado su m a de l os
anteriores.
2º Método
a-b
2
2º Método
a+b
2
D
C
D
a-b
2
C
4
G
a+b
2
F
G
1
N
2
MB
a+b
2
A
E
B
figura 2
figura 1
2
F
Para obtener las 4 partes
trasladamos los lados del
1
cuadrado que buscamos a los
F
3
puntos M y N, que se obtienen
E
con la semidiferencia y la
B
semisuma de los lados de los
4
cuadrados de partida. Se cortan,
E
fig. 1, ortogonalmente y en su
figura 3
punto medio.
En la fig. 2 vemos que se han formado 4 trapezoides iguales
de dos ángulos rectos, 1, 2, 3 y 4.
Los situamos alrededor del cuadrado pequeño, fig. 3 y
obtenemos el cuadrado suma.
G
3
a-b
2
A
Este método sólo descompone el
cuadrado grande en 4 partes iguales
que se adosan al cuadrado
pequeño.
er
3er Método
C
D
H D
HD
2
2
4
G
A
G
A
B
3
B
1
1
I
E
figura 1
F
I
E
figura 2
F I
figura 3
3 Método
H Este método es sustractivo,
inscribimos nuestros
cuadrados, fig. 1, dentro de un
3
tercer cuadrado, DIFH, de
forma que la diferencia entre
éste y los primitivos son 2
rectángulos.
Dividimos éstos rectángulos,
fig. 2, en 4 triángulos iguales, 1,
2, 3 y 4, de hipotenusa el lado
4
buscado.
Los situamos en las esquinas
F
del cuadrado y dentro nos
queda el cuadrado buscado.
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Equivalencia -05diciembre 2011