Introducción al plano de fase

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
1000007 Ecuaciones diferenciales - Grupos 12 y 18
Introducción al plano de fase
Existen ecuaciones diferenciales que no pueden ser resueltas convenientemente mediante métodos analı́ticos.
En este sentido, resulta efectivo considerar la información cualitativa que puede ser obtenida acerca de
sus soluciones sin realmente resolver las ecuaciones. Las cuestiones que serán consideradas están asociadas
con la idea de estabilidad de una solución, y los métodos empleados son básicamente geométricos.
Consideraremos sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, de las funciones x y y y la variable
dependiente t, de la forma:

dx


= f (x, y)
dt
(1)

 dy = g(x, y)
dt
Nótese que la variable independiente t no aparece en los términos de la derecha en (1); se dice que
tales sistemas son autónomos. Un punto de equilibrio (o punto crı́tico) del sistema (1) es un punto
(x0 , y0 ) ∈ R2 tal que f (x0 , y0 ) = 0 = g(x0 , y0 ), y la solución correspondiente x(t) ≡ x0 , y(t) ≡ y0 se
denomina solución de equilibrio.
Las dos funciones x(t) y y(t) pueden considerarse como las dos componentes de una función vectori→
−
al que denotaremos por X (t). Esta última función esta definida desde un intervalo I de R y toma valores
2
en R . Al variar la variable independiente t, el punto (x(t), y(t)) define una curva en el plano xy, con t
como parámetro. Esta curva se denomina una trayectoria. El plano xy será denominado plano de fase
(o de estados).
Observe que las trayectorias de las soluciones de equilibrio son precisamente puntos (los puntos de equilibrio). Pero, ¿qué se puede afirmar de las demás trayectorias?, ¿es posible determinar caracterı́sticas
de estas a partir de los puntos de equilibrio?. Para intentar dar respuesta a este tipo de inquietudes,
consideraremos inicialmente la ecuación en el plano de fase de (1) dada por:
dy
g(x, y)
=
.
dx
f (x, y)
(2)
Es importante no olvidar que las variables x y y que aparecen en el anterior sistema son realmente funciones de la variable t. Nótese además que las trayectorias del sistema (1) satisfacen (2); en consecuencia,
las curvas solución de (2), (que en este contexto se conocen como curvas integrales), continen a las
trayectorias.
La idea es entonces aprovechar al máximo la información que nos pueda brindar el campo de pendientes de (2), asignándole además una dirección a cada uno de estos segmentos de recta, lo que permitirá intuir la dirección del “flujo” de soluciones al crecer t.
Antes de continuar, recordemos que dada
dy
dx
= f (x, y) una ecuación diferencial de primer orden (con y la
1
variable dependiente y x la variable independiente), su campo de pendientes (o de direcciones) se puede
dy
bosquejar observando que dx
= f (x, y) precisamente corresponde a una pendiente en el plano xy donde
f esté definida; es decir, proporciona la dirección que debe tener una solución de la ecuación en cada
punto. Asi, un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en diversos puntos del plano xy para
mostrar la pendiente de la curva solución en el punto correspondiente es un campo de direcciones de
la ecuación diferencial.
Un método para graficar dicho campo de direcciones es el uso de isóclinas. Una isóclina para la ecuación
diferencial y 0 = f (x, y) es el conjunto de puntos en el plano xy donde todas las soluciones tienen las
misma pendiente dy/dx. Por ejemplo, si y 0 = f (x, y) = x + y, las isóclinas son las rectas x + y = c o
y = c − x, con c una constante arbitraria. Nótese que c se puede interpretar como el valor numérico de la
pendiente dy/dx de cada curva solución al cruzar la isóclina (es importante notar que c no corresponde
a la pendiente de la isóclina, que en este caso es claramente −1).
Para implementar el método de isóclinas y bosquejar lso campos de direcciones, se trazan pequeños segmentos con pendiente c a lo largo de la curva f (x, y) = c para unos cuantos valores de c. Si las curvas
isóclinas subyacentes son elminadas, los segmentos constituyen una parte del campo de direcciones para
2
la ecuación diferencial (véase la figura anterior).
Ahora, dado el campo de pendientes de la ecuación en el plano (2), le asignaremos una dirección a
cada uno de los segmentos de recta que constituye dicho campo. Esto se hará de la siguiente forma:
cuando dx/dt es positiva, x(t) aumenta, de modo que la trayectoria fluye hacia la derecha. En consecuencia, todos los segmentos del campo de direcciones trazados en una región donde f (x, y) es positiva
deben apuntar hacia la derecha (y apuntarán hacia la izquierda cuando f (x, y) sea negativo). Si f (x, y)
se anula, se puede usar g(x, y) para decidir si la dirección del flujo es hacia arriba (y(t) crece) o hacia
abajo (y(t) disminuye).
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4
5
6
7