ControlClase24CompensadoresenelDominiode... 157KB Mar 14

Control Automático
Compensadores en el dominio de la
p
de atraso
frecuencia: Compensador
Contenido
 Introducción
 Estrategia
g
 Conceptos
 Corrección del error de estado estacionario
 Corrección del ancho de banda
 Corrección del margen de fase
 Ejemplos y ejercicios
Introducción
 Se utilizan las gráficas de magnitud y de fase en
función de la frecuencia (Bode)
 Este método es conveniente cuando tales gráficas
g
son la única fuente disponible de información sobre
el comportamiento del sistema
 El diseño de sistemas de control utilizando las
técnicas de Bode implica determinar y redeterminar
los diagramas de magnitud y de fase hasta satisfacer
las especificaciones del sistema
sistema.
 El método implica obtener valores a partir de
gráficas, con los errores inherentes a este proceso;
por lo
l que sus resultados
lt d son siempre
i
aproximados
i d y
los requisitos laxos
Estrategia
 Ya que existe interacción entre los diferentes
compensadores, procederemos a escoger una
secuencia de cálculo que minimice tal interacción


Se corregirá primero el error de estado estacionario
procurando q
p
que la influencia negativa
g
de esta etapa
p se
mantenga lejos de las frecuencias de interés para el
margen de fase
Se corregirán luego las características dinámicas con
un compensador cuya ganancia a baja frecuencia sea
unitaria (0dB) para que no afecte el error de estado
estacionario previamente compensado
Conceptos
Margen de fase = 45°
El sistema es estable en
LC
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec)
40
Magnitud (dB)
20
System: untitled1
q
y ((rad/sec):
) 17.9
Frequency
Magnitude (dB): -6.03
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 0.012
0 012
Magnitude (dB): 25.3
0
-20
-40
-60
-80
0
-45
Fa
ase (deg)
Estabilidad:
E
bilid d Si lla
frecuencia de cruce de la
ganancia es menor que
la frecuencia de cruce de
la fase (esto es, cg <
cf), entonces el sistema
en lazo cerrado será
estable. Esto equivale a
que los márgenes de
ganancia y de fase sean
positivos.
-90
-135
MF=45°
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
2
10
3
10
Conceptos (2)
Ancho de banda: Se define
como la frecuencia a la cual
40
la respuesta de magnitud de
20
lazo cerrado es igual a 3dB
3dB.
0
Si usamos una aproximación -6
-20
a un sistema de segundo
-40
orden,, el ancho de banda
BW de lazo cerrado es igual
-60
a la frecuencia en la cual la
-80
respuesta de magnitud de
0
lazo
a o abierto
ab e to se encuentra
e cue a
entre -6 y -7.5dB; asumiendo -45
que la fase de lazo abierto se
encuentra entre -135º y -225º -90
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec)
Magnitud (dB)
Fa
ase (deg)
A h d
Ancho
de b
banda
d = 17
17.9
9 rad/s
d/
System: untitled1
q
y ((rad/sec):
) 17.9
Frequency
Magnitude (dB): -6.03
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 0.012
0 012
Magnitude (dB): 25.3
-135
Tiempo de subida:
tr  1.8/BW
1 8/BW = 1.8/17.9
1 8/17 9 = 0
0.1s
1s
MF=45°
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
2
17.9
10
3
10
Conceptos (3)
Error de
E
d estado
d
estacionario: El valor en25.3
dB de los coeficientes de
error (Kp, Kv y Ka,
dependiendo del tipo de
sistema)) se obtienen
leyendo la intersección
de la recta en  = 1 con
la asíntota de la curva de
magnitud a  = 0.
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45 deg (at 11.8 rad/sec)
40
Magnitud (dB)
20
System: untitled1
q
y ((rad/sec):
) 17.9
Frequency
Magnitude (dB): -6.03
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 0.012
0 012
Magnitude (dB): 25.3
0
-20
-40
-60
-80
0
KpdB = 25.3 dB
Kp = 18.41
ess =1/(1+Kp)
ess=1/(1+18.41)
1/(1 18 41) = 5
5.15%
15%
Fa
ase (deg)
-45
-90
-135
MF=45°
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frecuencia [rad/s] (rad/sec)
2
10
3
10
Conceptos (4)
Tiempo de subida: Es
el tiempo entre el 10%
y el 90% del valor final
de la respuesta
1.2
System: untitled1
Final Value: 0.948
1
ess
0.8
System: untitled1
Rise Time (sec): 0.105
Amplitud
tr  1.8/BW
1 8/BW
tr  1.8/17.9 = 0.1s
Res pue s ta ante e s calón
1.4
0.6
Error de estado
estacionario:
ess =1/(1+Kp)
ess=1/(1+18.41)
ess = 5.15%
5 15%
0.4
0.2
0
0
0.2
tr
0.4
0.6
Tie m po [s ] (se c)
0.8
1
1.2
Relación entre el dominio del
tiempo y el de la frecuencia
 Convertimos las especificaciones en el dominio del
tiempo a especificaciones de  y n de un sistema
prototipo de orden dos
dos.
 La especificación de amortiguamiento relativo , se
convierte a margen de fase
fase.
 La especificación de frecuencia natural n, se
convierte
co
e te a ancho
a c o de ba
banda.
da
 Dependiendo del tipo de sistema, la especificación
de error de estado estacionario se convierte a un
valor de coeficiente de error (KP, KV o Ka) adecuado.
Resumen de fórmulas
1 .8
n 
tr
;
t S 2% 
4
 n
MF
 
, MF  60  n  BW
100
2
 ln M 


 
  
2
 ln M 
1 

  
Tipo de sistema
0
1
2
Coeficiente
KP
KV
Ka
eSS
A
A
eSS 
eSS 
1 KP
KV
A
eSS 
Ka
Corrección del error de estado
estacionario
 Una
U vez d
determinada
t
i d lla ganancia
i d
de b
baja
j ffrecuencia
i
necesaria para corregir el error de estado
estacionario,, se tiene la posibilidad
p
de aplicarla
p
de
tres formas:
 Ganancia estática


Compensador de atraso


Usualmente disminuye el margen de fase y
aumenta el ancho de banda. También amplifica el
ruido de alta frecuencia.
Se comporta como un filtro pasa-bajas. Su
influencia negativa en el margen de fase y ancho
de banda puede minimizarse
Compensador de atraso + ganancia estática
Corrección del error de estado
estacionario con K estática
 Generalmente
G
l
t es usada
d cuando
d se d
desea corregir
i ell error
de estado estacionario y además aumentar el ancho de
banda; o no se pueden medir el ancho de banda y el
margen de fase (no tenemos cruce ganancia a 0dB)




Como la ganancia afecta todas las frecuencias, la gráfica de
magnitud
g
sube (p
(para g
ganancias mayores
y
q
que la unidad)) o
baja, sin afectar su forma o la fase.
Se debe de tomar en cuenta que aumentar la ganancia
estática usualmente disminuye el margen de fase; así que
debemos eventualmente aplicar una corrección a éste.
Se aplica la ganancia K sumando su valor en dB (20*log10 K
[dB]) a la escala de magnitud
magnitud. Por ejemplo,
ejemplo si K se aumenta
en 10, a la escala de magnitud debe sumársele +20dB.
Obtenemos nuevos valores para el ancho de banda y el
margen de fase
Corrección del eSS con un
compensador de atraso
 Generalmente se usa cuando no deseamos afectar
el ancho de banda o el margen de fase


Ubicamos el cero del compensador y lluego
ego calc
calculamos
lamos
el polo a través de la relación K = z/p, donde K es la
ganancia deseada de esta etapa.
g
p
Para disminuir su influencia negativa el cero se ubica,
dependiendo del tipo de sistema:
 Tipo 0: En un valor menor a la frecuencia en la cual la
fase alcanza -45°.
 Tipo 1 y superior: En un valor muy cercano a
frecuencia cero, formando un dipolo con el polo.
Fórmulas del compensador de
atraso
1
)
( s  z0 )
aT ; a  1, z  - 1/aT, p  - 1/T
K LAG ( s ) 

0
0
( s  p0 ) ( s  1 )
T
1 1  jaT
K LAG ( j )  
; a 1
a 1  j T
(s 
El compensador de
atraso tiene ganancia
alta a bajas frecuencias.
La ganancia
L
i es unitaria
it i
en altas frecuencias (las
frecuencias de cruce de
ganancia)
1
lim K LAG (t )  lim K LAG ( j ) 
t 
j  0
a
li K LAG (t )  lim
lim
li K LAG ( j )  1
t 0
j  
Gráficas de Bode del
compensador de atraso
Diagr am a de Bode
20
a=0.1
a=0.3
Magnitud (dB)
15
10
a=0.5
5
0
0
Fase ((deg)
a=0.5
a=0
a
0.3
3
-30
30
a=0.1
-60
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
Fr e cue ncia nor m alizada  = w *a*T (r ad/s e c)
10
1
10
2
Corrección del eSS con una
combinación K + comp. atraso
 Se
S usa cuando
d se requiere
i
aumentar
t ell
ancho de banda; pero no afectar demasiado
el margen de fase

Se divide la ganancia total en dos partes:



Una ganancia estática suficiente para ubicar el
ancho de banda o margen de fase en el valor
deseado
El resto de la ganancia se aplica como
compensador de atraso
Para cada parte se usa la técnica descrita
antes
Ejemplo 1: Descripción
D d ell sistema
Dado
i t
24
G ( s) H ( s) 
s( s  2)( s  6)
H ( s)  1
cuya gráfica de bode se muestra en la siguiente
figura, haga que
,


El error de estado estacionario debe ser menor q
que
o igual a /10 rad/s, cuando la entrada es una
rampa con pendiente 2 rad/s
R
Resuelva
l usando
d ganancia
i estática
táti y compensador
d
de atraso. Compare los resultados
Ejemplo 1: Usando K estática
 6 dB 


 20 dB 
Tangente a  = 0
K v1 10
K
v1
Diagram a de Bode
Gm = 12 dB (at 3.46 rad/s e c) , Pm = 38.1 de g (at 1.54 rad/s e c)
2
30
40db 20
2
A
KV 2 

( / 10) ( / 10) 6
KV 2  20
0db
KV 2 20
KC 

 10
KV 1
2
0
MG
-10
12dB
-20
-30
KC [dB ]  20 dB
-20db
20db -40
-90
MF   20
El margen de fase será
negativo, por lo que
debe mejorarse
ejo a se mucho
uc o
Recta  a  = 1
-135
Fase (deg)
,
Mag
gnitud (dB)
10
MF
38°
-180
MF’
-225
10
-1
10
0
Fre cue ncia [rad/s ] (rad/s e c)
10
1
Ejemplo 1: Usando compensador
de atraso
 6 dB 


 20 dB 
K v1 10
v1
KV 2
2
A


( / 10) ( / 10)
 20
KV 2 20

 10
2
KV 1
z
K C   10
p
z  0.01  10 p
p  0.001
s  0.01
K lag ( s ) 
s  0.001
100
Com pe ns ado
80
Com pe ns ador
Original
60
40
20
0
KC 
-20
-40
0
-45
Fase
e (deg)
,
KV 2
2
Magnitud (dB)
M
K
Diagram a de Bode
-90
-135
-180
-225
10
-4
4
10
-3
3
10
-2
2
10
Fre cue ncia (rad/s e c)
-1
1
10
0
10
1
Ejemplo 1: K + Klag(s)
Diagram a de Bode
100
50
Magnitud (dB)
KT = 20dB
KT = K*z/p=10
K = 3.16 (10dB)
z/p= 3.16 (10dB)
Original
Com pe ns ado
0
-50
z
 3.16
p
z  0.01  3.16 p
-135
Fase ((deg)
p  0.00316
-100
-90
s  0.01
K lag
l (s) 
s  0.00316
-180
-225
-270
270
10
-3
10
-2
10
-1
10
Fre cue ncia (rad/s e c)
0
10
1
10
2
Ejemplo 1: Análisis de
resultados
 Al utilizar solo ganancia estática
estática, el sistema estable
estable,
con margen de fase positivo se vuelve inestable (MF’
= -20°)
 Al utilizar un compensador de atraso, correctamente
ajustado, no se afecta ni el ancho de banda ni se
g de fase. Las frecuencias de cruce
afecta el margen
de ganancia y fase permanecen invariables
 Escogiendo adecuadamente el dipolo, el atraso de
fase introducido discurre en frecuencias muy por
debajo de las frecuencias de interés para BW y MF.
 Utilizando una combinación de ganancia y
compensador
d d
de atraso
t
se pueden
d evitar
it muchos
h d
de
los efectos negativos de la ganancia estática y
modificar (aumentar) el ancho de banda
Referencias
[1] Ogata,
O t Katsuhiko.
K t hik „Ingeniería
I
i í de
d Control
C t l
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed Madrid.
Ed.,
Madrid
[2] Kuo,
Kuo Benjamin C
C.. „Sistemas
Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996,
México.
[[3]] Dorf,, Richard,, Bishop
p Robert. „Sistemas de
control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,
2005, España