Qué Características Tienen?

¿Qué característica tienen?
Plan de clase (1/3)
Escuela: _____________________________________________ Fecha: _______________
Profr. (a): _________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten
cubrir el plano.
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y exploren las características de los
polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano.
Consigna: Trabajen en equipos. Se desea cubrir un piso con mosaicos usando un solo tipo
de polígono regular.
a) ¿Cuáles de los siguientes polígonos regulares creen que sirve para fabricar esos
mosaicos? _____________________________________________________________
b) Comprueben su respuesta anterior recortando de su material los polígonos, pegándolos en
cartulina y usándolos como moldes para marcar el contorno y tratar de simular cómo cubren
el piso.
c) ¿Cuáles fueron los polígonos regulares con los que sí pudieron cubrir el plano?
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d) ¿A qué creen que se deba que unos polígonos regulares sí permiten cubrir el plano sin
encimarse y sin dejar huecos y otros no?
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Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos y tijeras.
En este desafío se pretende que los alumnos descubran dos cuestiones geométricas:


Cuáles son los tres polígonos regulares que, usando un solo tipo de ellos, permiten
cubrir el plano sin dejar huecos y sin encimarlos.
Cuál es la característica que tienen estos tres polígonos regulares para que sea
posible lo anterior.
Se espera que los alumnos traten de hacer sus cubrimientos del plano usando los polígonos
y se den cuenta que sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono permiten lograr el
propósito planteado.
Algunos autores llaman a estos arreglos teselados uniformes, porque sólo se ocupa un tipo
de figura. Es conveniente mencionar que estos arreglos se llaman teselados uniformes.
No es posible hacer teselados uniformes con otros polígonos regulares. Por ejemplo, no hay
manera de acomodar los pentágonos para que no dejen huecos entre sí. Esto se puede
observar en la siguiente figura, pero será necesario que los alumnos lleguen a esta
conclusión tratando de cubrir el plano con este polígono:
Si se nota que a los alumnos se les dificulta dar respuesta al inciso d), se sugiere invitarlos a
analizar cuánto suman los ángulos que quedan alrededor de un vértice del teselado. Para
que noten que en los casos en que sí se puede es porque el valor del ángulo interior es un
divisor de 360º.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Teselados uniformados
Plan de clase (2/3)
Escuela: _________________________________________Fecha: _______________
Profr. (a): ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2. Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten
cubrir el plano.
Intenciones didácticas: Que los alumnos formen teselados uniformes con polígonos
irregulares.
Consigna: Trabajen en equipos. Con todos los siguientes polígonos irregulares es posible
cubrir el plano sin dejar huecos y sin que se encimen. Recorten de su material los polígonos,
péguenlos en cartulina y úsenlos como moldes para marcar el contorno y formar teselados.
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos y tijeras.
Es conveniente invitar a los alumnos a que exploren la manera en que pueden colocar las
figuras para formar teselados uniformes, es decir, para cubrir el plano con un solo tipo de
figuras sin dejar huecos y sin encimar las figuras. Podrán formar teselados como los
siguientes:
También hay que motivarlos a que, en los casos en que se puedan, exploren diferentes
maneras de formar teselados con la misma figura. Por ejemplo, con el rectángulo:
El trabajo con teselados tiene una gran riqueza didáctica:




Permite manipular las figuras y colocarlas en diferentes posiciones, esto subsanará el
error de presentar siempre en la misma posición una figura y, por consiguiente, la
imagen mental que el alumno tenga del polígono se enriquecerá.
Desarrolla la creatividad y el sentido artístico del alumno.
Implícitamente se trabajan relaciones geométricas: medidas de lados y de ángulos.
De manera intuitiva se trabajan transformaciones en el plano: reflexión, traslación y
rotación.
Si el tiempo lo permite, se puede plantear a los alumnos las siguientes preguntas:
¿Es posible cubrir el plano usando el mismo tipo de figura sin dejar huecos y sin encimarse
usando…
a) ¿Cualquier triángulo?, argumenta tu respuesta.
b) ¿Cualquier cuadrilátero?, argumenta tu respuesta.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Teselados sin uniforme
Plan de clase (3/3)
Escuela: _____________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Secundaria
Eje temático: FEyM
Contenido: 8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten
cubrir el plano.
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y construyan teselados no uniformes.
Consigna: En equipo, resuelvan los siguientes problemas:
1. Analicen el siguiente teselado y respondan las preguntas.
a) ¿Cuánto mide un ángulo interior de un cuadrado? ___________________
b) ¿Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular? _________________
c) ¿Cómo se combinan estas medidas para obtener 360º? __________________
d) ¿Tiene que ver la combinación que hallaste en el inciso c) con la manera en que se unen
los octágonos y cuadrados en el teselado? ___________
e) Argumenten su respuesta. ______________________________________________
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2: Calculen el valor de los ángulos de los rombos azules que se emplearon en el siguiente
teselado.
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___________
___________
____________
3. Construyan un teselado no uniforme. Utilicen figuras con papel de colores pegados en un
cuarto de cartulina.
Consideraciones previas:
Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos
geométricos y tijeras.
Los teselados no uniformes son aquellos que están formados por diferentes tipos de figuras,
sean o no polígonos regulares.
Para el problema 1, se espera que los alumnos se den cuenta de que las medidas de los
ángulos interiores de las figuras es lo que determina que un teselado se pueda formar. La
suma de los ángulos que concurren en un vértice debe ser 360º, en este caso, se tiene que
alrededor de un vértice concurren dos octágonos y un cuadrado, la suma de los ángulos es:
135º + 135º + 90º = 360º
El uso de este hecho permitirá resolver el problema 2. Es probable que los alumnos se den
cuenta de que en un vértice concurren tres ángulos del pentágono y el ángulo menor del
rombo, si los tres deben sumar 360º, se tiene que:
108º + 108º + 108º + _____ = 360º
El valor del ángulo menor del rombo es: 36º.
Mientras que en otros vértices concurren dos ángulos del pentágono y el ángulo mayor del
rombo, entonces, este ángulo mide 144º.
Se puede cuestionar a los alumnos: “usando los valores que encontraron, ¿se cumple que la
suma de los cuatro ángulos del rombo es 360º?”
Hay que tener en cuenta que en ambos problemas hay un fuerte trabajo sobre los ángulos,
en particular sobre el valor del ángulo interno de los polígonos regulares, saber lo que miden
o saber cómo calcularlos será importante para resolver los dos problemas.
Con los trabajos del problema 3 se puede realizar una exposición de los trabajos realizados
e, incluso, usar algunos de ellos como elementos decorativos del salón de clases. También
se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por
Escher, o bien, presentar algunos de sus trabajos.
Se puede complementar el trabajo de este desafío con los siguientes materiales:

“Recubrimiento del plano con polígonos regulares”, en Geometría dinámica. EMAT,
México, SEP, 2000, pp. 106-109

La ficha “Geometría y azulejos” que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero
de Actividades Didácticas

El tema “Recubrimiento del plano por polígonos regulares” del Libro del Maestro,
páginas 284 y 285.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
MATERIAL RECORTABLE