ρ ρ ρ ρ

66.08/9 – Electromagnetismo A/B
Líneas de Transmisión
Ejercicios
Ejercicio 6.5
Una línea de transmisión sin pérdidas de longitud 0,434 λ y cuya impedancia característica es de
100 Ω está terminada con una impedancia de (260 + i180) Ω. Calcule: a) el coeficiente de reflexión; b)
la ROE; c) la impedancia de entrada; d) la posición del máximo de voltaje más cercano a la carga.
Comenzamos por plantear la situación y los datos:
Donde,
Z0 = 50 Ω
L = 0,434.λ
ZL = (260 + i180) Ω
Ahora comenzamos a resolver el ejercicio analíticamente, más adelante, en el ejercicio 6.16,
resolveremos el mismo ejercicio utilizando la carta de Smith, y veremos lo poderosa que es dicha
herramienta.
a) Calculamos el coeficiente de Reflexión en la carga:
ρL =
V− Z L − Z 0 160 + j180 240,83∠48,37°
=
=
=
V+ Z L + Z 0 360 + j180 402,49∠26,57°
⇒
ρ L ≅ 0,6∠21,8°
b) Hallamos la Relación de Onda Estacionaria:
ROE =
VMAX 1 + ρ 1,6
≅
⇒
=
Vmin 1 − ρ 0,4
ROE = 4
c) Impedancia de Entrada:
Por definición, tenemos que:
Quedándonos:
Donde, para nuestro caso:
 2π 
Z L − j ⋅ Z 0 ⋅ tg 
⋅ L
λ
 ⇒

Finalmente, calculamos: Z in = Z ( z = L ) = Z 0
 2π 
⋅ L
Z 0 − j ⋅ Z L ⋅ tg 
 λ

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z=L γ =
2π
λ
Z in ≅ (69 + j120)Ω
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Ejercicios
d) Máximo de tensión más cercano a la carga:
Tomamos como referencia el siguiente gráfico:
Vemos que los máximos de tensión ocurrirán cuando:
2kz + ϕ = 2nπ , donde ϕ ≅ 21,6° ≅ 0,377 rad
En particular, el primer máximo (el más cercano a la carga), ocurre para n=0, entonces:
2kd + ϕ = 0 ⇔ 2kd = −ϕ ≅ −0,377 rad
Como:
k=
2π
λ
, nos queda que:
d = −0,377 ⋅
λ
4π
⇒
d ≅ 0,03λ
Otro ejercicio interesante
Una línea de transmisión sin pérdidas, con impedancia característica de 50 Ω está alimentada por
un generador de 120V, 200KHz. A distancia de λ/6 de la carga se determina que el coeficiente de
reflexión es real y de módulo igual a 0,75. Determine: a) el coeficiente de reflexión en la carga; b) el
valor de la impedancia de carga; c) el valor de la ROE.
a) Coeficiente de Reflexión:
En primer lugar debemos mencionar que nos dan como dato el coeficiente de reflexión en
un punto de la línea distinto a la carga, como estamos acostumbrados. Por lo tanto, debemos
analizar a qué punto de la línea se está refiriendo. Se nos dice que el coeficiente de reflexión es
real y de módulo igual a 0,75. Esto significa que:
ρ = 0,75∠0°
El módulo de ρ es igual a lo largo de toda la línea, con lo cual restaría calcular la fase del
coeficiente de reflexión en la carga.
El hecho de que en λ/6 la fase sea cero, nos da la pauta que se refiere a un máximo de
tensión. Es más el hecho de que esa distancia sea menor a λ/2 (), nos da la pauta de que es el
primer máximo. Con lo cual vale aplicar:
2kz + ϕ = 2nπ ⇔
4π λ
⋅ +ϕ = 0
λ 6
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⇒
ϕ=
2π
= 120°
3
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Entonces, obtenemos finalmente el coeficiente de reflexión en la carga:
ρ L = 0,75∠120°
b) Impedancia de carga:
Sabemos que:
ρL =
V− Z L − Z 0
=
V+ Z L + Z 0
Entonces podemos despejar ZL:
Z L = Z0 ⋅
1+ ρL
1− ρL
⇒
Z L ≅ (9,4 + 28,1)Ω
c) ROE:
De la misma manera que en el ejercicio anterior:
ROE =
VMAX 1 + ρ 1,75
=
≅
⇒
Vmin 1 − ρ 0,25
ROE = 7
Carta de Smith
Hasta ahora hemos tratado a los temas de líneas de transmisión de una manera analítica,
donde hemos encontrado los resultados, a costa de realizar numerosos cálculos.
Veremos a continuación una herramienta muy poderosa que nos permite realizar dichos
cálculos utilizando simplemente una regla y un compás, sin usar funciones trigonométricas o
hiperbólicas.
En el apunte de la cátedra (capítulo 6-2) se encuentra la información teórica de la carta y
algunos ejemplos de su utilización (ejemplos 6.14 al 6.20).
La carta de Smith es otra representación del plano de impedancias, en este caso, mediante
una transformación conforme. En la figura inferior vemos tanto la carta de impedancias como la de
admitancias.
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Ejercicios
Para ubicarnos mejor en la carta, nos remitiremos al siguiente gráfico que resulta muy
ilustrativo:
Como los ejes son los mismos, observamos que el máximo de tensión (mínimo de
corriente), se dará cuando la impedancia sea mínima (cero, en este caso), mientras que los
máximos de corriente (mínimos de tensión), se darán cuando la impedancia sea máxima (infinito,
en este caso). Y todos los puntos intermedios aparecen en la carta.
Una buena forma de manejarse con la carta es comenzar por dibujar la circunferencia
delimitada por
ρ
(línea punteada de la figura superior) en la misma, de manera de tener
delimitada la región de “trabajo”, ya que como hemos mencionado, a lo largo de la línea sin
pérdidas, el módulo del coeficiente de transmisión se mantendrá constante, lo que varía es su fase,
y con ella, la posición en la carta.
Veremos a continuación algunos ejemplos del uso de la carta.
Ejercicio 6.16
Una línea de transmisión sin pérdidas de longitud 0,434 λ y cuya impedancia característica es de
100 Ω está terminada con una impedancia de (260 + i180) Ω. Calcule: a) el coeficiente de reflexión; b)
la ROE; c) la impedancia de entrada; d) la posición del máximo de voltaje más cercano a la carga.
Es el ejercicio 6.5, el cual ahora resolveremos utilizando la carta.
a) Calculamos el coeficiente de Reflexión en la carga:
Para calcular el coeficiente de reflexión en la carga, simplemente basta con ubicar en la
misma, a la impedancia de carga ZL normalizada a la impedancia característica Z0.
Z L 260 + j180
=
= 2,6 + j1,8
100
Z0
Una vez ubicada la impedancia, con el compás trazamos la circunferencia con centro en el
origen (Znorm = 1, es decir Z = Z0) y que pase por el punto de la impedancia de carga normalizada.
Luego, con la medida del radio, vemos el valor de
ρ
en el eje al inferior de la carta.
Finalmente, debemos mencionar las escalas en la que está graduada la circunferencia
exterior de la carta. La escala angular, en grados, que representa la fase del coeficiente de
reflexión (es lo que debemos utilizar para resolver esta parte del ejercicio); y la escala en
longitudes de onda, la cual va de 0 a λ/2 (de 0 a 2π radianes).
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Líneas de Transmisión
Ejercicios
Si medimos el coeficiente de reflexión como mencionamos, obtenemos:
ρ L ≅ 0,6∠22°
b) Hallamos la Relación de Onda Estacionaria:
ROE =
VMAX 1 + ρ 1,6
=
≅
⇒
Vmin 1 − ρ 0,4
ROE = 4
c) Impedancia de Entrada:
Simplemente, nos tendremos que parar en el punto de la impedancia de carga normalizada
y movernos hacia el generador (sentido horario) la distancia correspondiente, en este caso, a la
longitud de la línea, es decir, L = 0,434λ. Una vez que estamos en el nuevo punto, vemos qué
valor de impedancia normalizada nos da, este será el punto de impedancia de entrada normalizada,
al cual lo multiplicamos por Z0 y obtenemos la impedancia de entrada:
Z in − norm = 0,7 + j1,2
⇒
Z in ≅ (70 + j120)Ω
d) Máximo de tensión más cercano a la carga:
Como hemos visto, los máximos de tensión ocurrirán cuando:
2kz + ϕ = 2nπ
En particular, el primer máximo (el más cercano a la carga), ocurre para n=0, entonces:
2kd + ϕ = 0
En la carta medimos la distancia desde la carga hasta el punto del primer máximo (φ = 0),
moviéndonos hacia el generador. Dicha distancia nos da en función de λ:
d ≅ 0,03λ
Adaptación de impedancias
Adaptación con cuarto de onda
Como en todos los temas anteriores, la introducción teórica a la adaptación de impedancias
se encuentra en el apunte de la cátedra (capítulo 6-2). En particular, el adaptador de de cuarto de
onda, consiste de un tramo de línea de longitud
La = n ⋅ λ
4
e impedancia característica Za. Queda
claro que la adaptación será válida únicamente para frecuencias donde se cumpla que
La = n ⋅ λ .
4
Lo que hay que definir es la posición donde colocar este tramo de línea y qué impedancia
característica deberá tener.
A continuación vemos un esquema de nuestra situación:
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Zin
La idea de la adaptación es lograr hacer Zin = Z0, para lo que debemos definir L0 y Za.
Queda claro que Za será real, ya que se trata de un tramo de línea, para eso Z’L también debe
serlo. Sabiendo esto, y utilizando la carta de Smith, lo que hacemos es pararnos en la carga
normalizada a Z0 y movernos hacia el generador (sentido horario) por la circunferencia de
ρ
constante hasta que la impedancia se hace puramente real (eje horizontal de la carta). Esa
distancia, medida en longitudes de onda, corresponderá a L0 y el punto al que arribamos es el que
corresponde a Z’L normalizada a Z0. Por lo tanto ya tenemos el valor de L0 y de Z’L. Nos resta hallar
el valor de Za, que se calcula:
Z a = Z 0 ⋅ Z L'
Veamos un ejercicio para fijar ideas:
La ROE en una línea de transmisión sin pérdidas de 50 Ω, terminada en una impedancia de carga
desconocida, es 2,2. La distancia entre dos máximos consecutivos de corriente es de 0,25m y el primer
máximo se encuentra a 20cm de la carga. Calcular: a) el coeficiente de reflexión; b) la impedancia de
carga; c) adaptar la línea con un adaptador de cuarto de onda usando la carta de Smith.
Como aquí nos dedicaremos a adaptar con cuarto de onda, asumimos conocidos los valores
de los puntos “a” y “b”. Si se hacen las cuentas, o se usa la carta, obtendremos:
ρ ≅ 0,35∠108°
y
Z L ≅ 32,5 + j 25
Entonces, quedamos parados en el punto de la impedancia de carga normalizada a Z0, es
decir
Z L − norm = 0,65 + j 0,5 y nos debemos mover por la circunferencia de ρ constante hasta el
punto en que la impedancia sea real pura, esto es, el punto de Z’L normalizado. La distancia
recorrida será L0. Para nuestro caso, nos da:
Z L' −norm = 2,1
⇒
Z L' − norm = 105Ω
y
L0 = 0,15λ
⇒
L0 = 0,075m = 7,5cm
Finalmente hallamos Za:
Z a = Z 0 ⋅ Z L' = 105Ω ⋅ 50Ω
⇒
Z a ≅ 72,46Ω
Es claro que la desventaja de este tipo de adaptador es el hecho de la dificultad de
encontrar líneas de los valores requeridos. Sería bueno desandar el ejercicio pensando en una línea
de 75 Ω, valor que se encuentra más fácilmente, y analizar qué pasaría.
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