CONCEPTUALIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN FUNCIONES

CONCEPTUALIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN FUNCIONES
POLINOMIALES VIA TI-NSPIRE
EDUARDO BASURTO HIDALGO
CINVESTAV – MÉXICO
Resumen
La enseñanza de las estructuras algebraicas durante el periodo comprendido por la
secundaria y el bachillerato en México, tiene como una de sus principales finalidades el
desarrollo de cierto dominio en los distintos usos de las literales, a saber cómo incógnitas,
variables o números generales; pero también interviene el uso de las mismas como
parámetros, por tal motivo el presente artículo pretende fijar la atención de los profesores
en la factibilidad que herramientas tecnológicas como TI-Nspire, tienen de potencializar la
comprensión de éste tipo de objetos matemáticos.
INTRODUCCIÓN
Dentro de la enseñanza de las matemáticas existen dificultades y obstáculos de distinta
naturaleza dependiendo de la rama de esta disciplina que se estudie, pero algo en común a
cualquiera de dichas ramas es que algunas de estas dificultades y obstáculos son
provocados por un tratamiento didáctico deficiente de los contenidos curriculares. Un
ejemplo de esto se observa en muchos estudiantes que reflejan poco éxito en la parte final
de su educación media superior principalmente en materias de Cálculo Diferencial e
Integral, buena parte se debe a su escaso conocimiento del comportamiento de las
funciones.
Es sabido que, “Uno de los conceptos centrales en el aprendizaje de las matemáticas es el
de función. Después de los conocimientos de aritmética y álgebra, la construcción del
concepto de función es la base para la posterior comprensión sobre otros temas de
matemáticas” Hitt (2002). El estudio de las funciones en nivel secundaria, se hace presente
en el Programa de estudios SEP (2006) vigente en México, por medio del eje Sentido
numérico y pensamiento algebraico, donde los alumnos profundizan en el estudio del
álgebra con los tres usos de las literales, conceptualmente distintos basados en el modelo
3UV de Ursini (2006). Por otro lado en el eje Manejo de la información se resuelven
problemas que requieren el análisis, del concepto de función, a partir de los vínculos entre
las representaciones gráficas, numéricas y algebraicas.
Respecto al estudio del concepto de función así como de sus representaciones, es
importante mencionar que evaluaciones a nivel nacional realizadas a estudiantes mexicanos
de tercer grado de secundaria por parte del Instituto Nacional para la Evaluación Educativa
(INEE) como la prueba Excale así como a estudiantes de 6º semestre de bachillerato con la
prueba ENLACE muestran que solamente en promedio 30% o menos de los estudiantes
contestan correctamente reactivos correspondientes a situaciones tales como, identificar la
función que corresponde a una gráfica o viceversa, identificar la función que corresponde a
una tabla de valores o viceversa, resolver problemas que impliquen identificar la función
que modele una tabla de valores, etc.
FUNDAMENTACIÓN.
A lo largo de la formación matemática de los estudiantes de secundaria se puede observar
que son enfrentados a una polisemia de las literales, en específico de las variables e
incógnitas al pretender formar en ellos concepciones de las literales tales como las de
Küchemann (1981) y el modelo de los tres usos de la variable de Ursini (2006).
Investigadores que en general comparten la visión de las literales en tres usos principales:
Incógnitas específicas, donde la literal tiene un valor desconocido específico como en las
ecuaciones. Números generalizados, donde la letra puede tomar más de un valor, como en
el caso de la expresión de patrones en sucesiones numéricas o figurativas. Variables, donde
las literales son usadas para representar un rango específico de valores y se observa una
relación existente entre dos conjuntos de valores.
Todavía en la secundaria pero principalmente durante el bachillerato, a la polisemia
anterior se unen otro tipo de literales llamados Parámetros, los cuales como ya se
mencionó han emergido esporádicamente en la secundaria hacen presencia de manera más
formal al introducir a los estudiantes en la exploración de entidades aún más generales, que
poseen significados propios capaces de agrupar en familias, expresiones algebraicas en un
nivel aún más abstracto.
Esto, se realiza en asignaturas como, Geometría analítica o Funciones mediante una
presencia abundante de Parámetros, en objetos tales como familias de funciones, lugares
geométricos e incluso en expresiones algebraicas que modelan diversos fenómenos o
situaciones.
Este conflicto que enfrentan los estudiantes, no sólo de poder distinguir entre incógnitas y
variables sino a la vez, tener que distinguir éstas de los parámetros, pensamos que es uno de
los obstáculos en la conceptualización de los mismos así como en la comprensión de
conceptos matemáticos fundamentales como lo son las funciones.
USO DE LA TI-NSPIRE
PARÁMETROS.
EN
LA
CONCEPTUALIZACIÓN
DE
LOS
La conceptualización de los parámetros, así como su diferenciación de variables o
incógnitas, ha dado lugar a ciertas investigaciones en las que se destacan diversos aspectos
sobre los significados que pueden tener dichos objetos matemáticos:
Bloedy-Vinner, H. (2001), para quien “por un lado, el parámetro es un argumento
de una función (de segundo orden), y al variar, éste, determina ecuaciones o
funciones, por otro lado, dentro de cada ecuación o función, que corresponde a un
valor específico del parámetro, el parámetro es una constante, mientras las otras
letras son incógnitas o variables”.
En Drijvers (2001) se observa que “El parámetro es una variable extra en una
expresión algebraica o función que generaliza toda una clase de expresiones, toda
una familia de funciones o un grupo de gráficas. El parámetro puede ser
considerado una meta – variable: por ejemplo a en y=ax+b puede jugar los roles de
una variable ordinaria, un fijador de posición (placeholder), una cantidad
desconocida o que cambia pero ésta actúa en un nivel más alto que el caso de una
variable. Por ejemplo, un cambio del valor del parámetro no afecta sólo un punto en
particular sino completamente a la gráfica. El concepto de parámetro además es
adecuado para resaltar la abstracción de situaciones concretas, así que
representaciones algebraicas más formales y generales se vuelven parte natural del
mundo matemático de los estudiantes” Drijvers (2001). Pp.222.
Dentro del fenómeno parámetro podemos identificar tres pasos esenciales en la
trayectoria de aprendizaje del mismo: el parámetro como un fijador de posición
(placeholder), como una cantidad que cambia y como un generalizador.
Rol del parámetro
Fijador de posición.
Cantidad que cambia.
Parámetro que se desliza.
Generalizador.
Por ejemplo:
a en y = a x + b
a contiene valores
específicos, uno por uno
Modelo gráfico
a transita a traves de un
conjunto de manera
dinámica
Gráfica dinámica como
cuando se pasan
rapidamente las páginas de
un “comic”.
Un grupo de gráficas juntas.
a representa un conjunto,
generaliza toda la situación
Una gráfica, que es
remplazada por otra.
Parámetro que determina
una familia.
Basándonos en los roles de aprendizaje del concepto de parámetro de Drijvers, por medio
de TI-Nspire se pueden plantear actividades que lleven a los estudiantes a reconocer las
características específicas de este tipo de literales, así como la influencia que tienen sobre
las representaciones gráficas de funciones polinomiales.
Por ejemplo en cuanto al rol del parámetro como fijador de posición una actividad que se
puede plantear es la siguiente:
TI-Nspire, tiene la posibilidad de almacenar un texto numérico como un variable, para lo
cual se debe ingresar primero un texto, por ejemplo el número cero como se muestra en la
siguiente captura de pantalla.
Una vez que ingresamos el número, lo almacenamos como una variable.
Cuando se almacena el texto como una variable se le otorga un nombre por ejemplo a.
Esta variable puede ser asociada a cualquier expresión que deseemos graficar e interactuar
con ella, por ejemplo si la asociamos a la expresión f(x) = a x tendríamos lo siguiente:
Antes de presionar enter a fin de generar la gráfica, se puede preguntar a estudiantes sobre
el objeto que esperan que aparezca a fin de activar conocer su primera intuición al respecto,
una vez que la gráfica ha sido mostrada por la herramienta, seleccionando a se pueden
remplazar sus valores con el fin de explorar distintos tipos la gráficas pertenecientes a la
misma familia, siempre haciendo los cuestionamientos pertinentes antes u después de
mostrar las gráficas.
Para explorar el rol del parámetro como un deslizador, TI-Nspire cuenta con herramienta
que lleva el mismo nombre y es fácil de aplicar para dichos fines, digamos que deseamos
explorar los parámetros a, b y c de la función cuadrática f(x) = ax2+bx+c, lo primero que
debemos hacer es ingresar y configurar los deslizadores correspondientes:
Lo primero que se debe realizar es nombrar el deslizador, por ejemplo con la letra a,
enseguida se debe configurar al mismo:
Una vez que se ha configurado, el deslizador está listo para ser utilizado, en este caso lo
asociaremos con la función de segundo grado, de la misma manera se configuran los
deslizadores b y c.
De igual manera es importante preguntar a los estudiantes sobre el tipo de gráficas que
esperan obtener así como los movimientos que presentarán las mimas al variar los
parámetros a, b y c, por ejemplo el movimiento que presenta una parábola con a mayor o
menor que cero al variar al parámetro b no es tan intuitivo como los movimientos
provocados por a y c.
El tercer rol del parámetro identificado por sus características como un conjunto de gráficas
juntas, se puede explorar bajo una notación poco común para el ingreso de la expresión
algebraica que represente una función polinomial, digamos que deseamos ingresar alguno
miembros de una familia de curvas de tercer grado, pero haciendo notar que todas
corresponden al mismo modelo algebraico y que lo único que varia con sus coeficientes:
f(x)={3,−1,2,0.1}x3+{2,−3,0,−0.2}x2+{−0.5,((1)/(3)),1,0}x+{√(2),0,1,−3}
Este conjunto de cuatro gráficas correspondientes a cuatro funciones cúbicas dan el sentido
de pertenencia a una misma familia de funciones.
Como podemos observar los tres roles del parámetro aportados por Drijvers pueden ser
explorados a través de las potencialidades de la TI-Nspire, con lo que se puede tender un
puente hacia la comprensión de dichos objetos matemáticos, la cual no es inmediata.
Además de lograr conceptualizar los parámetros, reconocer sus características y su
influencia en la forma de las gráficas, los estudiantes deben ser capaces de distinguirlos de
otro tipo de literales a saber cómo incógnitas o variable, para tales fines TI-Nspire ofrece la
posibilidad de vincular variable a objetos geométricos como puntos, lo cual puede ser muy
útil en situaciones como la siguiente:
Ingresando un deslizador n, así como un punto sobre la curva, se puede vincular el
deslizador al punto.
De esta manera el parámetro n controlará el punto en la gráfica, los estudiantes pueden
diferencias el rol de n, que en este caso sería la variable independiente de los parámetros, a,
b, c, editando la ordenada del punto en función de n, a, b y c.
Si el editar la ordenada el punto no se mueve, quiere decir que la expresión algebraica
anotada es correcta ya que se obtuvo el mismo valor.
Actividades como la anteriores han sido trabajadas con grupos de estudiantes de nivel
bachillerato en un rango de edad de 16 a 18 años, durante el curso de funciones dando
excelentes resultados al respecto, cabe mencionar que dicha intervenciones didácticas
forman parte de una proyecto de investigación más amplio el cual aún está en curso, pero a
continuación se muestran algunos de los resultados preliminares del estudio.
RESULTADOS PRELIMINARES
Esta indagación en la cual se puso en marcha el uso de TI-Nspire nos ha permitido observar
lo siguiente: antes de utilizar el recurso tecnológico los parámetros, independientemente de
la situación donde se ubiquen, son considerados como entidades discretas más que
continuas; la diferenciación entre los parámetros, incógnitas y variables no es clara; la
visualización de los efectos de los parámetros en las gráficas de las funciones se consigue
solo en el caso de funciones lineales, pero a partir de funciones cuadráticas el rendimiento
desciende notablemente.
Una vez que se aplica la intervención en el ambiente digital los estudiantes mejoran
notablemente su rendimiento, ya que primero que nada conciben a los parámetros como
entidades continuas capaces de agrupar en familias de rectas, parábolas, etc, a los diversos
casos generales de curvas que se grafican a partir de los deslizadores, con que se provoca
un acercamiento a la generalización, lo cual es uno de los principales objetivos de la
enseñanza de las matemáticas. Por otro lado pueden predecir mejor la forma y posición de
gráficas provenientes de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, ya sea yendo de la
expresión algébrica a la gráfica o viceversa.
Es importante mencionar que se logra establecer deferencias conceptuales entre las distintas
literales que pueden aparecer en una expresión algebraica como es el caso por ejemplo de
y= mx + b, en donde un punto dinámico (vinculado a un deslizador) sobre la gráfica que
represente la expresión pueden advertir que hasta que m y b sean determinados, tiene
sentido la variación del punto dinámico sobre la curva, además de que al realizar la edición
de la ordenada, en términos del parámetros que controle el punto así como en de los
parámetros que controlan la gráfica llegan a considerar a los parámetros como literales de
un orden superior en relación con la variables.
Para finalizar, es evidente que un ambiente tecnológico dinámico como TI-Nspire es capaz
de potencializar la comprensión de objetos matemáticos susceptibles de tener diferentes
significados (polisémicos) además de permitirles experimentar con ellos situaciones que en
los ambientes cotidianos de papel y lápiz sería muy complejo y casi imposible de
replicarse.
Referencias.
Basurto (2010). Funciones polinomiales en estudiantes de bachillerato vía un entorno tecnológico
dinámico. Documento predoctoral del Proyecto de Doctorado. Departamento de Matemática
Educativa. CINEVSTAV. México.
Bloedy-Vinner, H. (2001). Beyond Unknowns and variables-parameters and dummy
variables in high school algebra”, R. Sutherland et al. (eds.), Perspectives on school
Algebra, 177-189. Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
Drijvers, P. (2001). The concept of parameter in a computer algebra enviroment. H. Chick et al.
(eds.), Proceedings of the 12th ICMI Study Conference. The Future of the Teaching and
Learning of Algebra. Vol. 1. The University of Melbourne, Australia, pp, 221-227.
Hitt, F. (2001). Funciones en contexto. Prentice Hall. México.
SEP, (2006). Matemáticas. Educación básica. Secundaria. Programas de Estudio 2006.
SEP, (2009). Matemáticas IV. Serie: Programas de estudio. Subsecretaria de Educación
Media Superior. Dirección general de Bachillerato. Dirección de Coordinación
Académica.
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Sitios de Internet:
Excale (2005). www.inee.gob.mx