Serie de Ejercicios/Problemas sobre CONTINUIDAD 1. Muestre que

Serie de Ejercicios/Problemas sobre CONTINUIDAD
1. Muestre que la composición de funciones continuas es continua.
2. Muestre que si f : K ⊂ Rn → Rm es continua y K es compacto,
entonces f (K) es compacto. Dé un ejemplo que muestre que si K es
cerrado y f es continua, f (K) no necesariamente es cerrado.
3. Sea {xk }k es una sucesión en Rn , xk = (xk,1 , xk,2 , · · · , xk,n ). Muestre
que la sucesión converge a x0 = (x0,1 , x0,2 , · · · , x0,n ) si y solamente si
para cada 1 ≤ i ≤ n
lim xk,i = x0,i .
k→∞
4. Para 1 ≤ i ≤ n se define
πi : Rn → R
por
πi (x1 , x2 , · · · , xn ) = xi .
Reinterprete la pregunta 3 para demostrar que πi es continua. Muestre
que πi es abierta (es decir, πi (U ) es abierto para U ⊂ Rn abierto). Dé
un ejemplo de un conjunto A ⊂ Rn que no es abierto tal que πi (A) es
abierto para cada i.
5. Muestre que f : U ⊂ Rn → Rm es continua si y solamente si para cada
1≤i≤m
fi := f ◦ πi : U → R
es continua.
6. Sea f : [a, b] → R continua. Muestre que la gráfica de f , es decir el
conjunto
Graf f := {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, y = f (x)}
es un subconjunto cerrado de R2 . Muestre que su interior es vacı́o.
7. Sea T : Rn → Rm lineal. Muestre que existe MT ∈ R+ tal que
kT xk ≤ MT kxk
para todo x ∈ Rn . Concluya que toda transformación lineal de Rn con
valores en Rm es continua.
8. Muestre que las funciones k k1 , k k2 : Rn → R de la lista de ejercicios
sobre topologı́a son continuas.