Tarea 2

Teoría algebraica de números
Nombre/Código:
Agosto 12 2015
Guillermo Mantilla
Tarea 2
1. Sea K un cuerpo de números de grado n sobre Q.
(a) Sean B y B 0 dos bases integrales de K/Q. Muestre que disc(B) = disc(B 0 ). (Acá la igualdad es igualdad
en Z y no igualdad módulo (Q∗ )2 .)
(b) El entero definido por el punto anterior se le llama el discriminante de K y se le denota por disc(OK ),
o por dK . Pruebe el criterio de Stickelberger:
dK ≡ 0, 1 mod 4.
Sugerencia: Si α1 , ..., αn es una base integral, y σ1 , ..., σn es el conjunto de Q inmersiones de K en Q,
escriba el determinante de la matriz σi (αj ) como A − B donde A es la suma de términos de permutaciones pares y B es la a suma de términos de permutaciones impares. Muestre que dK = (A+B)2 −4AB,
y que A + B y AB son invariantes bajo Gal(L̃/Q) donde L̃ es la clausura de Galois de L/Q.
√
(c) sea d ∈ Z \ {1} un entero libre de cuadrados y suponga que K = Q( d). Muestre que dK = d si
d ≡ 1 mod 4 o dK = 4d si d 6≡ 1 mod 4
(d) Sea α ∈ OK tal que K = Q(α). Defina disc(Z[α]) := disc(1, α, ..., αn−1 ). Muestre que
disc(Z[α]) = [OK : Z[α]]2 disc(OK ).
(e) Sea α ∈ C una raíz de x3 − 5x2 + 2 y sea K = Q(α). Muestre que OK = Z[α].
2. K denota un cuerpo de números.
(a) De un ejemplo de un dominio Noetheriano, integralmente cerrado pero no de Dedekind.
(b) Muestre que un dominio de Dedekind es un D.F.U si y sólo si es un D.I.P
(c) Sea R un dominio de Dedekind y sea I un ideal no trivial de R. Muestre que en R/I todo ideal es
principal y concluya que en un Dominio de Dedekind todo ideal puede ser generado por dos elementos.
(Sugerencia para la primera parte: hágalo primero para ideales potencias de primos.)
(d) (Ver Tarea 1(2.d) para notación.) Suponga que K/Q es de Galois con grupo de Galois G. Sea p un
primo racional y sean Σp := {M1 , ..., Mg } el conjunto de ideales maximales de OK que contienen a
p. Suponga que la acción de G en Σp es transitiva y que para algún M ∈ Σp el homomorfismo ρ es
sobreyectivo. Muestre que
pOK = (M1 · ... · Mg )(#IM1 ) .
(e) Para cada ideal I de OK defina su norma ||I|| := #(OK /I). Muestre que la función, función zeta de
Dedekind1 de K,
Y
−1
ζK (s) :=
1 − ||P ||−s
P ∈Max(OK )
1 En
el caso de K = Q la función ζQ (s) se le conoce como la función zeta de Riemann.
converge2 para todo s > 1.(Suregrencia: recuerde que si {xn } es una sucesión de reales en (0, 1) el
X 1
Q
P
converge para todo
producto (1 − xn ) converge sii
xn converge.) Asumiendo que la serie
||I||s
I6=0
X 1
s > 1, muestre que ζK (s) :=
.
||I||s
I6=0
(Bono) Sea φ4 := (Z/4Z)∗ → {±1} el único isomorfismo entre estos dos grupos. Extienda φ4 a una función
χ4 : Z → {±1, 0} extendiendo primero φ4 a Z/4Z como 0 en Z/4Z \ (Z/4Z)∗ y luego a Z utilizando la
proyección natural Z → Z/4Z.
(i) Muestre que χ4 es completamente multiplicativa i.e., para todos m, n enteros χ4 (mn) = χ4 (m)χ4 (n).
(ii) Muestre que si p es un primo racional impar entonces χ4 (p) = −1
p . Deduzca que para todo primo
racional p se tiene que p es inerte en Z[i] sii χ4 (p) = −1, p se descompone completamente en Z[i]
sii χ4 (p) = 1 y finalmente p se ramifica en Z[i] sii χ4 (p) = 0.
(iii) Muestre que
ζQ(i) (s) = (ζQ (s))
X χ4 (n)
.
ns
n>0
(iv) Deduzca que
lim
s→1+
2 Max(O
K)
denota el conjunto de ideales maximales de OK
ζQ(i) (s)
π
= .
ζQ (s)
4