TAREA 2, CURSO DE MEDIDA Y PROBABILIDAD (1) Si Ω = N y F

TAREA 2, CURSO DE MEDIDA Y PROBABILIDAD
(1) Si Ω = N y F es la familia de subconjuntos de N. Si E es finito defina µ(E) = 0; si E es infinito,
defina µ(E) = ∞. Es µ una medida en N?
(2) Sea P una medida de probabilidad en B(R), i.e. P (R) = 1. Para cualquier B ∈ B(R) y cualquier
ε > 0, existe una unión finita de intervalos A, tal que P (A4B) < ∞.
(3) Sea F una función creciente y continua por la derecha, y denotamos a µF su medida asociada.
Muestre que µF ({a}) = F (a)−F (a− ), µF ([a, b)) = F (b− )−F (a− ), µF ([a, b]) = F (b)−F (a− ),
µF ((a, b)) = F (b− ) − F (a).
(4) Defina el conjunto de Cantor, y muestre que es compacto, denso en ninguna parte y totalmente
disconexo.
(5) Muestre que el conjunto de Cantor tiene la misma cardinalidad que la de los números reales, y
que tiene medida de Lebesgue cero.
(6) Defina la funci[ón de Cantor y desciba sus propiedades más importantes (argumentando sus
respuestas).
(7) Sean A, B, C eventos disjuntos en un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), tales que
P (A) = .6, P (B) = .3, P (C) = .1
Calcule las probabilidades de todos los eventos en σ(A, B, C).
(8) Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida, y An una sucesión de elementos de la σ álgebra F. Muestre
que
lim inf µ(An ) ≥ µ(lim inf An ).
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