Distribución de Probabilidad Normal - Web del Profesor

Distribución de Probabilidad Normal
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Departamento de Estadı́stica-FACES-ULA
22 de Diciembre de 2013
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Introducción
La distribución normal es quizás la distribución de probabilidad
para variables aleatorias continuas mas estudiada en la teorı́a
estadı́stica debido a su gran aplicabilidad en fenómenos de toda
naturaleza. Llamada también distribución gaussiana en honor al
trabajo que el matemático alemán del siglo XVIII Karl Gauss
realizó con ella, fue propuesta inicialmente por Abraham de Moivre
en 1738.
Hoy en dı́a, la distribución normal, tiene aplicación prácticamente
en todas las áreas donde la estadı́stica opera, y en una infinidad de
métodos que esta emplea. Existe un sin número de variables
aleatorias que pueden ser explicadas como un modelo de
distribución normal por lo que su estudio es casi obligatorio para
cualquier curso de estadı́stica básica.
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Introducción
Algunos ejemplos incluyen:
Ingresos mensuales de los empleados de una planta, que ganan
en promedio 17000 Bs. con desviación estándar de 1000 Bs.
Peso de los paquetes de arroz producidos por cierta marca, los
cuales tienen un peso promedio de 900 gr. con desviación
estándar de 1 gr.
Contaminación del aire en una comunidad medida en
particulas por millón, con un promedio de 2500 y una
desviación estándar de 750 particulas por millón.
Ingreso per cápita de un paı́s en desarrollo, con un ingreso
promedio de 1400 $ con desviación estándar de 300 $.
Número de delitos violentos por año en una ciudad. Con un
promedio de 8000 y una desviación estándar de 900.
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Estadı́stica I
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Sea X una v.a. continua. Diremos que X sigue una Distribución
Normal con parámetros µ y σ 2 si y solo si su función de densidad
de probabilidad viene dada por:
−(x−µ)2
2σ 2
e
f (x) = √
2πσ 2
∀x ∈ (−∞, ∞)
En este caso diremos que X ∼ normal µ, σ 2 donde µ ∈ (−∞, ∞)
y σ > 0.
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Estadı́stica I
Caracterı́sticas de la Distribución Normal
Gráfica de la distribución normal. También llamada curva
de Gauss o campana de Gauss, la forma de la gráfica de esta
distribución es la siguiente:
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Estadı́stica I
Caracterı́sticas de la Distribución Normal
Parámetros de la Distribución Normal.
Valor Esperado y Varianza de una Variable Aleatoria con
Distribución Normal
Sea X ∼ Normal µ, σ 2 entonces se sigue que:
E [X ] = µ µ ∈ (−∞, ∞)
V [X ] = σ 2 σ > 0
DE [X ] = σ σ > 0
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Estadı́stica I
Caracterı́sticas de la Distribución Normal
Parámetros de la Distribución Normal.
Los valores de µ y σ 2 representan caracterı́sticas especı́ficas para la
distribución normal. Supongamos que X ∼ Normal(µ, σ 2 = 1).
Veamos el efecto que tiene µ sobre la curva normal.
Observe que µ es tanto la media como la mediana y la moda de la
distribución.
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Estadı́stica I
Caracterı́sticas de la Distribución Normal
Parámetros de la Distribución Normal.
Supongamos que X ∼ Normal(µ = 0, σ 2 ). Veamos el efecto que
tiene σ sobre la curva normal.
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Estadı́stica I
Caracterı́sticas de la Distribución Normal
Regla Empı́rica.
Supongamos que X ∼ Normal(µ, σ 2 ). Entonces se sigue que los
valores de la variable estan distribuidos aproximadamente de la
siguiente manera en función de µ y σ
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Estadı́stica I
Ejemplo
Consideremos una variable aleatoria X :Ingreso mensual de los
empleados de una planta. Decir que esta variable aleatoria sigue
una distribución normal, significa en la práctica que su verdadera
distribución de frecuencias puede ser aproximada por la curva de la
distribución normal con media µ y desviación estándar σ
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Estadı́stica I
Ejemplo
Consideremos que X :Ingreso mensual de los empleados de una
planta sigue una distribución normal con media µ = 17000 Bs y
desviación estándar de σ = 1000 Bs.
Esto lo escribimos como X ∼ Normal (µ = 17000, σ = 1000).
Supongamos que queremos calcular las siguientes probabilidades:
1
P (17000 < X < 18000)
2
P (X > 16800)
3
P (X < 19000)
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Estadı́stica I
Ejemplo
P (17000 < X < 18000)
Por la regla empı́rica vista antes podemos calcular esta
probabilidad como:
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Distribución Normal Estándar y Proceso de Estandarización
Distribución Normal Estandar
Sea X una v.a. tal que X ∼ Normal (µ, σ). La nueva variable
aleatoria Z definida como:
Z=
(X − µ)
σ
se conoce como Variable Aleatoria Estandarizada. La variable Z
también tiene distribución normal, de modo que:
Z ∼ Normal (µ = 0, σ = 1)
La distribución Normal (µ = 0, σ = 1) se conoce como
Distribución Normal Estándar.
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Estadı́stica I
Distribución Normal Estándar
Gráfico de la Distribución normal estándar.
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Estadı́stica I
Función de Distribución de Probabilidad Acumulada
Normal
Sea Z ∼ Normal (µ = 0, σ = 1) entonces:
La F.D.P.A. normal estándar viene dada por:
FZ (z) = P (Z ≤ z) = φ (z)
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Estadı́stica I
Ejemplo
Consideremos que X :Ingreso mensual de los empleados de una
planta, donde X ∼ Normal (µ = 17000, σ = 1000).
Si hacemos
(X − 17000)
(X − µ)
=
Z=
σ
1000
De esta manera
Z ∼ Normal (µ = 0, σ = 1)
.
(16800−17000)
P (X > 16800) = P (X −17000)
>
=
1000
1000
P (Z > −0,2) = 1 − P (Z ≤ −0,2) = 1 − φ (−0,2)
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Estadı́stica I
(16800−17000)
>
=
P (X > 16800) = P (X −17000)
1000
1000
P (Z > −0,2) = 1 − P (Z ≤ −0,2) = 1 − φ (−0,2)
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Ejemplo
Consideremos que X :Ingreso mensual de los empleados de una
planta, donde X ∼ Normal (µ = 17000, σ = 1000).
Si hacemos
(X − 17000)
(X − µ)
=
Z=
σ
1000
De esta manera
Z ∼ Normal (µ = 0, σ = 1)
.
P (X < 19000) = P (X −17000)
<
1000
P (Z < 2) = P (Z < 2) = φ (2)
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(19000−17000)
1000
Estadı́stica I
=
<
P (X < 19000) = P (X −17000)
1000
P (Z < 2) = P (Z < 2) = φ (2)
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(19000−17000)
1000
Estadı́stica I
=