Distribución de Poisson - Web del Profesor

Distribución de Probabilidad de Poisson
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Departamento de Estadı́stica-FACES-ULA
18 de Diciembre de 2013
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Introducción
La distribución de Poisson es el nombre que recibe la función de
masa de probabilidad de una variable aleatoria que puede surgir de
un experimento como el descrito a continuación:
En el experimento aleatorio interesa observar un evento dentro
de una unidad fı́sica definida como tiempo, longitud, área,
volumen, entre otras.
La probabilidad de observar la ocurrencia del evento de interés
mas de una vez en una unidad muy pequeña en prácticamente
cero.
La ocurrencia del evento en dos unidades fı́sicas no solapadas
en independiente una de otra.
El número de ocurrencias del evento por unidad de tiempo es
proporcional al tamaño de la unidad.
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Introducción
Una variable aleatoria definida como X : Número de veces que
ocurre el evento dentro de una unidad fı́sica sigue una
distribución de Poisson.
El único parámetro de la distribución distribución de Poisson es el
número promedio de veces que ocurre el evento dentro de
una unidad fı́sica, el cual se denotará como λ. Algunos ejemplos:
Número de clientes atendidos en un banco en 2 horas.
Número de usuarios que entran en una pagina web en una
hora.
Número de particulas de impureza en un metro cúbico de
agua.
Número de defectos en un metro cuadrado de tela.
Número de vehı́culos que cruzan un semáforo en 30 segundos.
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Distribución de Poisson
Definición
Diremos que una variable aleatoria X sigue una distribución de
Poisson con parámetro λ, lo que denotaremos como
X ∼ Poisson(λ)
si y solo si su función de masa de probabilidad es la siguiente:
P(X = x) =
e −λ λx
x!
Donde λ > 0 y x = 0, 1, 2, · · ·
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Gráfico de la Distribución de Poisson
A continuación se muestran gráficos de la distribución de Poisson
para λ = 2, 4, 10
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Ejemplos
Ejemplo: Suponga que se sabe que en un hospital llegan pacientes
a la sala de emergencia a razón de 5 cada dos horas. Cuál es la
probabilidad de que:
1
Lleguen exactamente cuatro personas en 2 horas?
2
Lleguen por lo menos tres personas en 1 hora?
3
Lleguen menos de 8 pacienes en 4 horas?
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Ejemplos
Lleguen exactamente cuatro personas en 2 horas?
Sea X :número de pacientes que llegan a la sala de emergencias del
hospital en 2 horas.
X ∼ Poisson(λ = 5)
P(X = 4) =
e −λ λx
e −5 54
=
= 0,175467
x!
4!
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Ejemplos
Lleguen por lo menos tres personas en 1 hora?
Sea Y :número de pacientes que llegan a la sala de emergencias del
hospital en 1 horas.
Y ∼ Poisson(λ = 2,5)
P(Y > 3) = 1 − P(Y < 3) =
1 − [P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)] =
1 − [0,082085 + 0,205212 + 0,256515] = 0,456186
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Ejemplos
Lleguen menos de 8 pacienes en 4 horas?
Sea Z :número de pacientes que llegan a la sala de emergencias del
hospital en 4 horas.
Z ∼ Poisson(λ = 10)
P(Z < 8) = P(Z = 0) + · · · + P(Z = 7) = 0,220220
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Valor Esperado y Varianza
Valor Esperado y Varianza de una variable aleatoria con
Distribución de Poisson
Sea X ∼ Poisson(λ) entonces:
E [X ] = λ
V [X ] = λ
√
DE [X ] = λ
Donde λ > 0
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I