II.1 Definiciones y teoría básicas Matriz columna Una matriz

II.1 Definiciones y teoría básicas
Si una matriz tiene m renglones y n columnas, su tamaño es de m por n (se escribe m x n).
Una matriz de n x n se llama matriz cuadrada de orden n.
El término aij representa el elemento del i-ésimo renglón y la j-ésima columna de una
matriz A de m x n; con ello, una matriz A de m x n se escribe en la forma A = (UU), x n, o
simplemente A = (a& Una matriz de 1 x 1 es sólo una constante o función.
h
x= ilbjzl =(b )
Matriz columna
Una matriz columna X es cualquier matiz can n rcq$mtix3 y una columna:
.il nxi-
i lL
AP-4
Apéndice II Introducción a las matrices
AP..5
Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector.
Al respecto es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak;
por ejemplo,
En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos
correspondientes.
Suma de matrices
La suma de
Ap-6
APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
Matriz expresada en forma de suma de matrices columna
La matriz única
se puede expresar como la suma de tres vectores columna:
/
La diferencia de dos matrices de m x n se define en la forma acostumbrada: A - B = A +
(-B), en donde -B = (-l)B.
Obsérvese con detenimiento la definici6n 11.6, en donde sc510 se define el producto AB =
C cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. El
tamaño del producto se puede determinar con
Amxn Bnxp = C lllxp.
t
4
El lector también reconocerá que los elementos de, por ejemplo, el i-ésimo renglón de la matriz
producto AB se forman aplicando la definición en componentes del producto interior, o
producto punto, del i-ésimo renglón de A por cada una de las columnas de B.
Apéndice II Introducción a las matrices
AP-7
Multiplicación de matrices
a)Si*=(:
z)yB=(S
-i),
4.(-2)+7.8
3.(-2)+5.8
3.9+5.6
)(
= 78 48
57 34
1 .(-3)+0.0 = -4
2.(-3)+7.0
6
5.(-3)+8.0 lí-4
5.(++8,2
-3 .
-6
-15 1
n
En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa; esto es, AB #BA. En la parte
30 53
a) del ejemplo 4 obsérvese que BA = 48
82 , mientras que en la parte b) el producto BA no
t
1
está definido porque en la definición II.6 se pide que la primera matriz, en este caso B, tenga
el mismo numero de columnas que renglones tenga la segunda.
Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna.
Multiplicación de matrices
Identidad multiplicativa
Para un entero positivo n, la matriz de n x n
1=
I: ;1
s0 1 0 0 1
000
“. 0 0i
...
.”
es la matriz identidad multiplicativa. Según la Definición 11.6, para toda matriz A de n x n,
AI=IA=A.
También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna de n x 1, entonces IX = X.
AP-8
APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
Matriz cero Una matriz formada sólo por elementos cero se llama matriz cero y se
representa con 0; por ejemplo,
y así sucesivamente. Si A y 0 son matrices de m x n, entonces
A+O=O+A=A.
Propiedad
asociativa Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial es
asociativa. Si A es una matriz de m xp, B una matriz dep x r y C una matriz de r x n, entonces
A(BC) = (AB)C
es una matriz de m x n.
Propiedad
distributiva Si todos los productos están definidos, la multiplicación es
distributiva respecto a la suma:
A(B+C)=AB+AC
y
(B+C)A=BA+CA.
Determinante de una matriz Con toda matriz cuadrada A de constantes, hay un
número asociado llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A.
Determinante de una matriz cuadrada
, se desarrolla det A por cofactores del primer renglón:
det A =
3 6 2
2 5 1
-1 2 4
=3(20-2)-6(8+
1)+2(4+5)= 18
Es posible demostrar que un determinante, det A, se puede desarrollar por cofactores usando cualquier renglón o columna. Si det A tiene un renglón (o columna) con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemos desarrollar ese determinante por ese renglón (o
columna).
Apéndice II Introducción a
las matrices
AP-9
Transpuesta de una matriz
b) Si X =
05
3
0 , entonces XT= ( 5
0
3).
Sea A Una matriz de n x n. Si det A ñe 0, $e dice que A es IBO sUrgulw,
A es singdw.
n
Si det A = 0, entcmces
El siguiente teorema especifica una condición necesaria y suficiente para que una matriz
cuadrada tenga inversa multiplicativa.
Ap-10
APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
El teorema que sigue describe un método para hallar la inversa multiplicativa de una matriz
no singular.
Cada Cu en el teorema II.2 es tan sólo el cofactor (o menor con signo), del elemento aij
correspondiente en A. Obsérvese que en la fórmula (2) se utiliza la transpuesta.
En lo que sigue, obsérvese que en el caso de una matriz no singular de 2 x 2
Para una matriz no singular de 3 x 3,
C13=
l
a21
&2
a31
a32
l
’
etcétera. Trasponemos y llegamos a
Cl1
C21 C 3 1
Cl2
C22
Cl3
C23 C 3 3
C32
Inverso de una matriz de 2 x 2
Determine la inversa multiplicativa de A =
SOLUCIÓN
Como det A = 10 - 8 = 2 # 0, A es no singular.; por el teorema II. 1, A-’ existe.
De acuerdo con (3),
A-l=+ ;)=(-; -;).
(4)
Aphdice II
Intraduccibn a las matrices
2
No toda matriz cuadrada tiene inversa multinlicativa. La matriz A = f ,
porque det A = 0; por consiguiente, A-’ no existe:
m
AP-11
2
2 I es singular
Inversa de una matriz de 3 x 3
.
Puesto que det A = 12 # 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores coSOLUCIÓN
rrespondientes a los elementos de cada renglón de det A son
De acuerdo con (4),
Pedimos al lector que compruebe que A-IA = AA-’ = 1.
n
La fórmula (2) presenta dificultades obvias cuando las matrices no singulares son mayores de 3 x 3; por ejemplo, para aplicarla auna matriz de 4 x 4, necesitaríamos calcular dieciséis
determinantes de 3 x 3.* Cuando una matriz es grande, hay métodos mas eficientes para hallar
A-‘. El interesado puede consultar cualquier libro de álgebra lineal.
Como nuestra meta es aplicar el concepto de una .matriz a sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden, necesitaremos estas definiciones:
*Hablan& con propiedad, un determinante es un número, pero a veces conviene manejarlo como si fuera un arreglo.
/ll’-12
APÉNDICE II INTRODUCCIbN A LAS MATRICES
: p ,(,2:s2;,:
Intqral de una matríz de hrnciones
!, r&:l
3 ‘S1S,:!‘i( (,i‘r ‘, S/I :
> i.“~.:>:
r;,:‘,
/ :,‘,’
Si A(f) = (u&))~ x n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un intervale~~
que contiene a t y a te, entonces
Para derivar o integrar una matriz de funciones, tan solo se deriva o integra cada uno de
sus elementos. La derivada de una matriz también se representa con A’(t). Derivada o integral de una matriz
Si
d
; sen 2t
sen2t
x(t) =i 2 j ,
1
I 8t- J
Y
entonces
d 3t
dte
$8*-1)
t X(s) ds =
I0
X’(t) =
,ó
sen 2s ds
I,’ e3’ ds
:,‘(%- 1)ds
II.2 Eliminaciones de Gauss y de Gauss-Jordan
Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de n ecuaciones
lineales con n incógnitas
UllXl + ap$c2 + . . . + alfin = bl
u2lxl + a22x2 + +. . + az,,x,, = b2
(5)
u,,lxl + a,,2x2 + . . . + a,,,,x,, = b,.
Si A representa la matriz de los coeficientes en (5), sabemos que se puede usar la regla de
Cramer para resolver el sistema, siempre que det A # 0. Sin embargo, para seguir esta regla se
necesita un trabajo hercúleo si A es mayor de 3 x 3. El procedimiento que describiremos tiene
la ventaja de no solo ser un método eficiente para manejar sistemas grandes, sino tambien
un método para resolver sistemas consistentes como las ecuaciones (5) en que det A = 0 y un
método para resolver m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Apéndice II Introducción a las matrices
LU’-13
Si B es la matriz columna de las bi, i = 1,2, . . ., n, La matriz aumentada de (5) se expresa
como (A 1B).
Operaciones elementales de renglón Se sabe que podemos transformar un sistema
algebraico de ecuaciones en un sistema equivalente (es decir, un sistema que tiene la misma
solución) multiplicando una ecuación por una constante distinta de cero, intercambiando el
orden de dos ecuaciones cualesquiera del sistema y sumando un múltiplo constante de una
ecuación a otra de las ecuaciones. A su vez, estas operaciones sobre un sistema de ecuaciones
son equivalentes a las operaciones elementales de renglón en una matriz aumentada:
i ) Multiplicación de un renglón por una constante distinta de cero
ii) Intercambio de dos renglones cualesquiera
iii) Suma de un múltiplo constante, distinto de cero, de un renglón a cualquier otro renglón
Métodos de eliminación Para resolver un sistema como el (5) con una matriz aumentada, se emplea la eliminación de Gauss o bien el método de eliminación de Gauss-Jordan.
Con el primero se efectúa una sucesión de operaciones elementales de renglón hasta llegar a
una matriz aumentada que tenga la forma de renglón-escalón:
i) El primer elemento distinto de cero en un renglón no cero es 1
ii) En los renglones consecutivos distintos de cero, el primer elemento 1 en el renglon
inferior aparece a la derecha del primer 1 en el renglón superior
iii) Los renglones formados únicamente por ceros están en la parte inferior de la matriz
En el método de Gauss-Jordan, se continúa con las operaciones de renglón hasta obtener una
matriz aumentada que esté en la forma reducida de renglón-escalón. Una matriz reducida de
renglón-escalón tiene las mismas tres propiedades de arriba, además de la siguiente:
iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos sus demás lugares
Forma de renglón-escalón y reducida de renghescah
a) Las matrices aumentadas
2
-1 1
0
Y
(001-62
0 0 0
0 1
112
4
M-14
APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
están en su forma renglón-escalón. El lector debe comprobar que se satisfacen los tres
criterios.
b) Las matrices aumentadas
están en su forma reducida de renglón-escalón. Obsérvese que los elementos restantes son
cero en las columnas que tienen un 1 como primer elemento.
n
En la eliminacion de Gauss nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en su
forma rengón-escalón. En otras palabras, al emplear operaciones de renglón en distintos
órdenes podemos llegar a formas distintas de renglón-escalón; por consiguiente, para este
metodo se requiere restituir. En la eliminación de Gauss-Jordan uno se detiene cuando ha
llegado ‘a la matriz aumentada en su forma reducida de renglón-escalón. Cualquier orden de
operaciones de renglón conduce a la misma matriz aumentada en su forma reducida de renglón-escalón. Para este método no se necesita restitución; la solución del sistema se conocerá
por inspección de la matriz final. En términos de las ecuaciones del sistema original, nuestra
meta en ambos metodos es igualar a 1 el coeficiente de XI en la primera ecuacion,* para luego
emplear múltiplos de esa ecuación y eliminar a xt de las demás. El proceso se repite con las
demás variables.
Para mantener el registro de las operaciones de renglón que realizaron a cabo en una matriz
aumentada, se utilizará la siguiente notación:
Simbolo
Significado
R1,
Intercambio de los renglones i yj
CRi
Multiplicación del i-6simo renglón por la wnstante
CRi + Rj
Multiplicación del i-6simo renglón por c y suma del resultado al j-6simo renglón
c, distinta de cero
Solución por eliminación
Resuelva
2~1+ 6x2 +
~3
= 7
x1 + 2x2 -
x3
= -1
5x1+7x2-4x3=9
empleando a) eliminación de Gauss y b) eliminaci&r de Gauss-Jordan
SOUJCl6N
a) Efectuamos operaciones de renglón en la matriz aumentada del sistema
para obtener
*Siempre se pueden intercambiar ecuaciones, de tal modo que la primera ecuación contenga a la variable xI.
Apéndice
II
Introducción a las matrices
AP-15
La última matriz está en su forma renglón-escalón y representa al sistema
Xl + 2x2 -
x3
= -1
3
9
x2 + - x3 = 2
2
x3
= 5.
Al sustituir xg = 5 en la segunda ecuación se obtiene x2 = -3. Al sustituir ambos valores en
la primera ecuación se obtiene XI = 10.
b) Comenzamos con la última de las matrices anteriores. Puesto que los primeros elementos
en el segundo y tercer renglón son 1, debemos hacer que los elementos restantes en las
columnas dos y tres sean cero:
La última matriz ya se encuentra en su forma reducida de renglón-escalón. Por el significado
de esta matriz en términos de las ecuaciones que representa, se ve que la solución del sistema
es XI = 10, x2 = - 3 y x3 = 5.
’ 0
m
Resuelva
Eliminación de Gauss-Jordan 9
x+3y-2z=-7
4x+
y+32=5
2x - 5y + 72
SOLUCIÓN
I
= 19.
Resolveremos este sistema con la eliminación de Gauss-Jordan:
AP-16
APÉNDICE II INTRODUCCIdN
A LAS MATRICES
En este caso, la ultima matriz en su forma reducida de renglón-escalón implica que el sistema
original de tres ecuaciones con tres incógnitas equivale a uno de dos ecuaciones con tres
incógnitas. Dado que sólo z es común a ambas ecuaciones (los renglones no cero), podremos
asignarle valores arbitrarios. Si hacemos que z = t, donde r representa cualquier mímero real,
vemos que el sistema tiene una cantidad inñnita de soluciones: x = 2 - t, y = -3 + t, z = t.
Geom&ricamente, éstas son las ecuaciones param&ricas de la línea de intersección de los
planosx+Oy+z=2yOx+y-z=-3.
n
II.3 El problema de los valores propios
La eliminación de Gauss-Jordan sirve para hallar los vectores propios (eigenvectores) de una
matriz cuadrada.
vabres propios y veccilr8;r
prapios
Sea A una matriz de n x n. Se dice que un número X es un vaior propio de A si existe un,
vector solución K, no cero, del sistema lineal
El termino híbrido eigenvulor se usa como traduccion de la palabra alemana eigenwerf
que significa ‘Lvalor propio.” A los valores propios y vectores propios se les llama también
valores característicos y vectores característicos, respectivamente.
Vector propio de una matriz
Compruebe que K =
SOLUCIÓN
es un vector propio de la matriz
Al multiplicar AK
valor propio
A K = [-; -; -;)[-i)= F]= (-2) [-i)= (-2jK.
De acuerdo con la definición II.3 y lo que acabamos de decir, X = -2 es un valor propio
de A.
n
Apéndice
II
Introducción a las matrices
AP-17
Si aplicamos las propiedades del álgebra de matrices, podemos expresar la ecuación (6)
en la forma alternativa
(A - XI)K = 0,
(7)
en que 1 es la identidad multiplicativa. Si definimos
la ecuación (7) equivale a
q2kz + . . . +
alnk,, = 0
azlk, + (~22 - X)k2 +. . . +
u2,,k,, = 0
(~1 - WI +
(8)
anlh +
u,,2k2 + . . + (un,, - X)k, = 0.
Aunque una solución obvia de (8) es kl = 0, k2 = 0, . . ., k, = 0, solo nos interesan las soluciones
no-triviales. Se sabe que un sistema homogeneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas [esto
es,bi=O, i= 1,2,. . ., n en (5)] tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de la
matriz de coeficientes es igual a cero. Así, para hallar una solución K distinta de cero de
la ecuación (7) se debe cumplir
det(A - XI) = 0.
(9)
Al examinar (8) se ve que el desarrollo del det(A - XI) por cofactores da un polinomio de grado
n en X. La ecuación (9) se llama ecuación característica de A. Así, los valores propios de A
son las raíces de la ecuación característica. Para hallar un vector propio que corresponda al
valor propio X, se resuelve el sistema de ecuaciones (A - XI) K = 0, aplicando la eliminación
de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (A - XI ] 0).
Valores propios y vectores propios
Determine los valores y vectores propios de A =
1 1
1 2 1
6 -1
0 .
-1 -2 -1
SOLUCIÓN
Para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usamos
los cofactores del segundo renglón:
det(A - XI) =
l-X
6
-1
2
-l-X
-2
1
0
-1 -x
=-x3--x2+
12x=o.
Puesto que -X3 - X2 + 12X = -X(X + 4)(X - 3) = 0, los valores propios son Xt = 0, XZ = -4
y Xs = 3. Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces (A - XI ( 0), lo cual
corresponde a los tres valores propios distintos.
m-18
APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
Para XI = 0,
<
4
Entonces, kl = - $3 y k2 = - $3. Si k3 es -13, obtenemos el vector propio*
Si X2 = 4,
(A+,,,,=[-;
2::: 1
I;
;
i]
-i
-i
$:
k
!]zl
;
;
J
;
-4R:::
-;
1
i]
;
Bi
0
0
0
esto es, kl = -k3 y k2 = 2k3. Con la opción k3 = 1 se obtiene el segundo vector propio
-1
K2= 2 .
1
(1
Por último, cuando XJ = 3, la eliminación de Gauss-Jordan da
(&3I,())f
I;
(j
~]“!?%!t!!.~
1
i
!]
y así k1 = -k3 y k2 = - ik3. La opción k3 = -2 conduce al tercer vector propio:
(1
2
K3= 3
-2
.
*Naturalmente, k3 pudo ser cualquier número distinto de cero; en otras palabras, un múltiplo constante distinto de cero
de un vector propio tambih es un vector propio.
Apéndice II Introducción a las matrices
AP-19
Cuando una matriz A de n x n tiene n valores propios distintos, Xr , Xz, . . . , &,, se demuestra
que se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes* Kl, K2, . . ., &;
sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallar
n vectores propios de A linealmente independientes.
Valores propios y vectores propios
Determine los valores y vectores propios de A = -1 7 .
“‘)l
I
SOLUCIÓN
Partimos de la ecuación característica
det(A-XI)= 131: 7!x 1 =(X-5)2=0
y vemos que Xr = Xz = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz
de 2 x 2, no se necesita la eliminación de Gauss-Jordan. Para determinar el o los vectores
propios que corresponden a Xt = 5, recurriremos al sistema (A - 5110), en su forma
equivalente
-2k, + 4k2 = 0
-k, + 2k2 = 0.
De aquí se deduce que kl = 2kz. Así, si escogemos k2 = 1, llegamos a un solo vector propio:
Valores propios y vectores propios
.
SOLUCIÓN
La ecuación característica
det(A - XI) =
9-x
-1
1
1
9-x
1
1
1
9-x
=( x-ll)(X-8)2=0
indica que Xt = ll y que X2 = Xs = 8 es un valor propio de multiplicidad dos.
Si XI = ll, la eliminación de Gauss-Jordan da
*La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones.
AP-20
APÉNDICE Il INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES
Por consiguiente, KI = k3 y kz = k3. Si k3 = 1,
Cuando X, = 8,
En la ecuación kl + k2 + k3 = 0 podemos dar valores arbitrarios a dos de las variables. Si por
una parte optamos por kz = 1 y k3 = 0 y, por otra k2 = 0 y k3 = 1, obtenemos dos vectores
propios linealmente independientes:
Las respuestas a los problemas de ntintero impar comienzan en la págiina R-24.
- Il.1
a)A+B
Z.SiA=l
a)A-B
LSiA=(-z
b)B-A
:]y~=[-i
b)B-A
b) BA
a) AB
b) BA
a) BC
:],determine
c) 2(A + B)
-i)yB=(-: 2),determine
a) AB
,.SiA=(-i
c)2A+3B
c)A’=AA
-i),B=(z
b) NBC)
d) B2 = BB
:)yC=l
cl WA)
i),determine
d) A(B + C)
Apéndice
6.SiA=(5
-
6
a) AB
b) BA
7),B=[-i)yC=b
c) (WC
II
Introducción a las matrices
AP-2 1
5 -i],determine
d) (WC
4
7. Si A =
í
8 y B = (2 4 5), determine
-10
a) ATA
8.SiA=(i
a)A+BT
!kSiA=(8
a) (AWT
,&SiA=(:
a)AT+BT
1
b) BTB
c)A+BT
i)yB=(-: :),determine
b) 2AT - BT
c) AT(A - B)
l)yB=(-i !:),determine
b) BTAT
i)yB=(I:
‘l),determine
b) (A + B)T
En los problemas ll a 14 exprese la suma en forma de una sola matriz columna.
En los problemas 15 a 22 seflale si la matriz dada es singular o no singular. Si es no singular,
determine A-’ .
AP-22
APÉNDICE II INTRODUCCbN
A LAS MATRICES
En los problemas 23 y 24 demuestre que la matriz dada es no singular para todo valor real de
t. Encuentre A-‘(t).
24. A(t) = ‘;; cz ; “;: ;;;;
En los problemas 25 a 28 determine dWdt.
26. X =
27.X=2(m:)e2t+4(f)e-3t
29. Sea A(t) = (2:
dA
a)dt
sen 2t + 5 cos 25
28. x = (jzfij)
5-:). Determine
b) j2A(t) dt
0
e) AWW
c) I,’ A(s) ds
c) I,’ AO) dj
d) j12 B (0 dj
d
f) z NOW)
g) ,: A(s)B(s) ds
- Il.2
En los problemas 3 1 a 38 resuelva el sistema correspondiente
de Gauss o por eliminación de Gauss-Jordan.
de ecuaciones por elhina&n
31. x+ y-2z=14
2x - y + z = o
6x + 3y + 42 = 1
32.5x-2y+4z=lO
x + y + z=9
4.x - 3y + 32 = 1
33.
34.3x+ y + z=4
4x+2y- z=7
x+ y-3z=6
y+ z=-5
5x+4y-162=-10
x - y - 5z=7
35. 2x+ y + z = 4
lOx--2y+2z=-1
6x-2y+4z=8
36. x+
22 = 8
x+2y-2z=4
2x+5y-6z=6
Apéndice II
37.
x1+x2-
x1 +
x2
+
x3-x4=-1
x3
+ x4 = 3
XI-x2+ xg-x4=3
4x1 + x2 - 2x3 + x4 = 0
Introducción a las matrices
AP-23
38.2x1+ xq+ x 3 = 0
~1 + 3x2 + X3 = 0
7x1 + x2 + 3x3 = 0
En los problemas 39 y 40 aplique la eliminación de Gauss-Jordan para demostrar que el sistema
dado de ecuaciones no tiene solucidn.
39. x + 2y + 42 = 2
2x+4y+3z=l
x+2y- z=7
x3
+ 3x4 = 1
- 4x4 = 0
XI + 2x2 - 2x3 - x4 = 6
40. Xl + x2 -
x2 - x3
4x1 + 7x2 - 7x3
=9
En los problemas 41 a 48 determine los valores propios y los vectores propios de la matriz
respectiva.
En los problemas 49 y 50 demuestre que cada matriz tiene valores propios complejos.
Determine los vectores propios respectivos.
51. Si A(t) es una matriz de 2 x 2 de funciones diferenciables y X(r) es una matriz columna de
2 x 1 de funciones diferenciables, demuestre la regla de la derivada de un producto
2 [A(t)X(t)] = A(t)X’(t) + A’(t)X(t).
52. Demuestre la fórmula (3). [Sugerencia: determine una matriz B = hl h2 para la cual
(h h 1
AB = 1. Despeje bll, bl2, b21 y &. A continuación demuestre que BA = 1.1
53. Si A es no singular y AB = AC, demuestre que B = C.
54. Si A y B son no singulares, demuestre que (AB)-’ = Be1 A-l.
55. Sean A y B matrices de n x n. En general, Les (A + B)2 = A2 + 2AB + B2?
1
-$, n es un entero positivo
7. sen kí
8.wskt
9 . sen2kt
10. cos2kf
l l . e”’
12. senh kt
s4k2
s
s2+k2
2k2
s(s’ + 4k 2,
s2+2k2
s(s2 +4P)
1
s-a
k
S2-2
13. cosh kt
14. senh2kl
15. cosh2k
16. tea?
AP-24
s
s-k2
2k2
s(.? - 4k2)
s2-2k2
~(2 - 4k2)
1
(s - a)2