Ecuaciones a derivadas parciales: - U

Ecuaciones a derivadas parciales:
Ecuación de Laplace:
∇2 Ψ = 0
Ecuación de Poisson:
∇2 Ψ = −4πρ(~x)
Ecuaciones de ondas y de Helmholtz:
∇2 Ψ −
1 ∂2Ψ
c2 ∂t2
=0
∇2 Ψ + k 2 Ψ = 0
Ecuación de difusión:
∂Ψ
= D∇2 Ψ
∂t
Ecuaciones para potenciales electromagnéticos:
φ = −4πρ
R. Arias
~ = − 4π ~j
A
c
Métodos Matemáticos
Ecuaciones a derivadas parciales:
EDP’s, propiedades:
HΨ = f
Consideramos ecuaciones lineales, orden no superior al
segundo.
Solución general:
Ψ=
X
an Ψhn + Ψp
n
Métodos de solución de EDP’s:
Fórmulas integrales, funciones de Green.
Separación de variables
R. Arias
Métodos Matemáticos
Coordenadas separables:
Superficies en los bordes:
Superf icies → {
Abiertas
Cerradas
Tipos de condiciones de borde:
Dirichlet
Neumann
Cauchy
Soluciones separables:
Ψ = F1 (ξ1 )Φ(ξ2 , ξ3 )
Ψ = F1 (ξ1 )F2 (ξ2 )F3 (ξ3 )
”Las soluciones de EDP’s son c.l. de soluciones separables”
R. Arias
Métodos Matemáticos
Coordenadas separables, Ecuación de Helmholtz:
Coordenadas cartesianas:
∂2Ψ ∂2Ψ
+
+ k2 Ψ = 0
∂x2
∂y 2
Z ∞
√
2
2
Ψ(x, y) =
dqf (q)eiqx ey q −k
−∞
2D, variables complejas: (z = x + iy, z̄ = x − iy,
w = w(z) = ξ1 + iξ2 )
∇2 Ψ + k 2 Ψ = 4
∇2 Ψ = 4|
∂2Ψ
∂2Ψ
+ k2 Ψ = 0
∂z∂ z̄
dw 2 ∂ 2 Ψ
|
dz ∂w∂ w̄
∂2Ψ
dz 2
+R. Arias = Métodos
−k 2 | Matemáticos
| Ψ
Coordenadas separables, Ecuación de Helmholtz 2D:
Transformaciones conformes ⇒ coordenadas ortogonales:
w(z) = ξ1 + iξ2
∇ξ1 · ∇ξ2 = 0
Soluciones separables de la ecuación de Laplace:
Ψ = Ae±iαξ1 e±αξ2
o Ψ = aeβw + beγ w̄
Factor de escala:
h2m = (
∂x 2
∂y 2
) +(
)
∂ξm
∂ξm
h1 = h2 = |
R. Arias
dz
|
dw
Métodos Matemáticos
Separación de la Ecuación de Helmholtz, 2D:
Condición de separabilidad:
k2 |
dz 2
| = f (ξ1 ) + g(ξ2 )
dw
o
∂2
∂ξ1 ∂ξ2
dz
| |2 = 0
dw
Ecuaciones para separabilidad:
d2
dw2
dz
dw
=λ
dz
dw
R. Arias
;
d2
dw̄2
dz̄
dw̄
=λ
Métodos Matemáticos
dz̄
dw̄
Coordenadas rectangulares y parabólicas:
Caso λ = 0:
dz
= β + γw
dw
Sub-caso γ = 0:
z = α + βw
Sub-caso γ = 1, coordenadas parabólicas:
z = w2 /2
(ξ20 )2
1 y 2
2 ( ξ 0 ) = x − (− 2 )
2
x = (ξ12 − ξ22 )
(ξ 0 )2
− 12 ( ξy0 )2 = x − (− 12 )
1
∂2Ψ ∂2Ψ
+ 2 + k 2 (ξ12 + ξ22 )Ψ = 0
∂ξ12
∂2
R. Arias
Métodos Matemáticos
y = ξ1 ξ2
Coordenadas polares y elı́pticas: (λ = 1)
z = aew + be−w
Caso b = 0, a = 1, coordenadas polares:
eξ1
z =p
ew
= r = x2 + y 2
x = eξ1 cos ξ2
ξ2 = φ = tan−1 (y/x)
∂2Ψ ∂2Ψ
+ 2 + k 2 e2ξ1 Ψ = 0
∂ξ12
∂2
R. Arias
Métodos Matemáticos
y = eξ1 sin ξ2
dz
| dw
| = eξ1 = r
Coordenadas polares y elı́pticas: (λ = 1)
Caso b = 0, a = 1, coordenadas elı́pticas:
z = aew + be−w
z = d cosh(w − β)
a = de−β /2
x = d cosh(ξ1 − β) cos(ξ2 )
b = de
y = d sinh(ξ1
Elipses e hipérbolas: (ξ1 = ξ10 , ξ2 = ξ20 )
∂2Ψ ∂2Ψ
+ 2 + d2 k 2 (cosh2 (ξ1 − β) − cos2 ξ2 )Ψ = 0
∂ξ12
∂2
R. Arias
Métodos Matemáticos