regresion lineal

REGRESION LINEAL
REGRESIÓN LINEAL
Para obtener la mejor recta que se ajusta a los puntos
experimentales, se procede a realizar lo que se denomina
regresión lineal.
Se considera que existe una relación lineal entre la señal
analítica(y) y la concentración(x)
En un método analítico se confecciona una curva de
calibración que refleja la respuesta de (y) en función de
(x). Esto plantea varias cuestiones estadísticas
importantes:
1. ¿Es lineal la curva de calibrado?¿qué forma tiene dicha
curva?
2. Teniendo en cuenta que cada uno de los puntos de la
línea de calibración está sujeto a errores, ¿Cuál es la
Linealidad : dentro de este término se incluye la
proporcionalidad entre concentración de analito y
respuesta, así como el intervalo o rango de
concentraciones de analito para los cuáles el método es
satisfactorio.
Siempre que sea posible se buscará una respuesta de tipo
lineal que facilitará su trazado, interpolación e
interpretación
Cuando se realiza una experiencia y se observa la
variación de la variable dependiente con la dependiente,
se trazará una recta que se ajuste en la mejor forma a los
puntos experimentales
1
2
REGRESIÓN LINEAL
REGRESIÓN LINEAL
Mejor línea recta(o curva) que pasa por esos puntos
3. Suponiendo que el calibrado es realmente lineal, ¿Cuáles
son los errores y límites de confianza de la pendiente y la
ordenada en el origen de la recta
4. ¿Cuáles son los errores y límites de confianza de la
concentración determinada
5. ¿Cuál es el límite de detección del método ? Esto es ¿cuál
es la menor concentración de analito que puede
detectarse con un predeterminado nivel de confianza
Recta de calibrado : se supondrá que la recta de calibrado
toma la forma algebraica:
y = a + bx
Donde “b” corresponde a la pendiente y “a” su ordenada en
el origen.
Al buscar una función(modelo) que se ajuste o represente en
mejor forma la variación de y respecto a x, supondremos
que es una recta.
∧
∧
∧
Ecuación ∧de regresión: y = a+ b x
Donde y corresponde a un estimado de “y”
3
4
REGRESIÓN LINEAL
REGRESION LINEAL
Para determinar la recta de regresión de y sobre x, se
utiliza el método de los mínimos cuadrados, que consiste en
minimizar la suma de las diferencias de los cuadrados del
valor experimental y el valor estimado, que corresponde al
error de la suma de los cuadrados.
Suma de los cuadrados de las diferencias:
Error de la suma de los cuadrados:
∧
n
∧
∑ ( y − ( a + bx ))
i =1
n
∧
∑ ( y − y)
i =1
Para obtener los valores de a y b, debemos imponer la
condición de mínimo, para lo cual se deriva la diferencia de
la suma de los cuadrados respecto a ”b” y “a” igualando a
cero la expresión resultante:
∧
n
2
∂
i
2
∂ ∑ ( yi − y) 2
i (1 )
∂a
∧
n
=0
;
∂
∂ ∑ ( yi − y) 2
i (1)
∂b
=0
i
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6
1
REGRESION LINEAL

b=
∑ ( x
i
i
REGRESION LINEAL
−
−

− x)( yi − y ) 

∑ (x
−
−
i
− x)
−
a = y− b x
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
2
i
Para estimar la bondad con que los puntos experimentales se
ajustan a un alinea recta se calcula el coeficiente de
correlación:
−
−


∑ ( x − x)( y − y)
i
r=
El cuadrado del coeficiente de correlación (r 2) se denomina
coeficiente de determinación e indica la proporción de la
varianza total de “y” que es explicada por el modelo lineal
de regresión.
i
i
1
−

2
 ( (x − x) 2 ( ( y − y)−2 ) 
 ∑ i
∑ i

i
 i

7
COEFICIENTE DE CORRELACION
8
COEFICIENTE DE CORRELACION
9
COEFICIENTE DE CORRELACION
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ERROR DE LA REGRESION-ERROR TIPICO
11
12
2
ERROR TIPICO
1
1
∧ 2 2
− 2


2
 ∑ ( yi − y )   ∑ ( yi − y )

2 
i
s y/ x =  i
=
(
1
−
r
)
 

 n−2
  n−2


 

13
3