´Algebra Multilineal sobre R
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Álgebra Multilineal sobre R
Lección uno
álgebra multilineal abstracta
por J.M. Márquez-Bobadilla
CUCEI
Universidad de Guadalajara
Álgebra multilineal
-vector o 1-contra-tensor
-covector o 1-forma o proyector o co-tensor de rango uno o 1-co-tensor
-construcción pullback
-dualidad de espacios vectoriales
-transformaciones multilineales
-transformaciones bilineales y formas cuadráticas
-transformaciones trilineales
-producto tensorial de transformaciones multilineales
-producto tensorial de espacios vectoriales
-tensores contravariantes, covariantes, mixtos
-álgebra tensorial
-producto exterior de tensores
-pfafianas, bi-vector, tri-vector
-k-formas
-álgebra exterior (álgebra de Grassmann)
-énfasis cambios de bases y cambios de componentes
§ Espacio dual de un Rn
El espacio dual de Rn se define como el conjunto Rn ∗ de los funcionales lineales
R → R. Resulta que Rn ∗ también es una espacio vectorial.
n
El espacio dual se define como Rn ∗ = Hom(Rn , R) es decir como el conjunto
de las transformaciones lineales de Rn en su campo (cuerpo) de escalares R.
En el caso de que Rn esté generado por la base {b1, b2, ..., bn} tendremos que
cada función lineal Rn → R está determinada por una matriz renglón
[a1, a2, ... , an] : Rn → R
que mapea vı́a
1
v
v2
.. 7→ [a1, a2, ..., an]
.
vn
es decir
v1
v2
..
.
v1
v2
..
.
vn
= a1 v1 + a2v2 + · · · + an vn
va, bajo el mapeo [a1, a2, ..., an], al escalar as vs (convención de
vn
Einstein-Penrose)
§ El pullback de un covector
Si tenemos una transformación lineal L : Rn → Rm y tenemos un covector f :
R → R entonces es posible inducir un covector Rn → R mediante la composición
f ◦L
L
/ Rm
Rn OO
OOO
OOO
OOO
f
OOO
∗
OO' L f
R
m
donde L∗ f = f ◦ L.
Es decir L∗ : Rm ∗ → Rn∗ que también es lineal.
k
k
Si L tiene matriz Lbk = Ls k bs, entonces L∗ β k = [L∗ ]s β s y [L∗ ]s = Lk s
¿Qué sucede si tenemos varias transformaciones lineales con respecto al pullback?
Dejemos que los diagramas lo expliquen en si mismos:
T
S
/ Rl
/ Rm
Rn TTTT
JJ
TTTT
J
JJ f · S
TTTT
JJ
TTTT
JJ
TTTT
f
TTTT JJJJ
TTTT JJ
f ·S ·T
TTTTJJ T$*
R
S ·T
/ Rl
Rn TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
f
TTTT
TTTT
TTTT f ·S ·T
T*
R
Si S ∗ f = f · S entonces T ∗ · S ∗ f = T ∗ (f · S) = f · S · T y (S · T )∗ f = f · S · T
para cada f entonces:
(S · T )∗ = T ∗ · S ∗
Esto indica que el operador de dualidad de transformaciones lineales es contravariante.
§§ ¿Cómo cambian de componentes de un covector cuando cambiamos de bases en V ?
Si C : V → V es un cambio de bases en V dado por bi 7→ ci = Cbi = C si bs
entonces bi = (C −1)s i ci
De la construcción pullback deducimos que si las bases covarian con C las
correspondientes bases duales
β i (bj ) = δ i j
en V ∗ descrito en la base β i y
γ i (cj ) = δ i j
en V ∗ descrito en la base γ i .
C : Vb → Vc entonces C ∗ : Vγ∗ → Vβ∗
Vamos a demostrar que
i
β i = (C > )s γ s ,
Demostración:
Supongamos que β i = As iγ s entonces
δij
= β i (bj )
= As i γ s (bj )
= As i γ s ((C −1)t j ct )
= As i (C −1)t j γ s (ct )
= As i (C −1)t j δ st
= As i (C −1)s j
δij
= (A> )i s(C −1 )s j
(ΓB1)
esta última lı́nea indica que [A]> = [C] por lo tanto [A] = [C]> y
i
β i = (C > )s γ s
i
Si β i = (C > )s γ s entonces también
i
γ i = (C −> )s β s ,
(ΓB2)
Las relaciones (ΓB1), (ΓB2) serán utilizadas cuando consideremos el efecto del
cambio de bases en un espacio vectorial y con respecto a otras construcciones vectoriales llamadas producto tensorial de transformaciones lineales y producto tensorial
de espcios vectoriales... en objetos
§§Espacio dual de un espacio vectorial abstracto
El espacio dual de V se define como el conjunto V ∗ de los funcionales lineales
V → R. Resulta que V ∗ también es una espacio vectorial.
¿Cuál es una base y la dimensión de este espacio?
Considere las transformaciones (una para cada i)
βi : V → R
definida por
X 7→ β i (X) = X i ,
donde X = X s bs (convención de la suma de Einstein).
Note que esta definición permite asignar
β i (bj ) = δ i j
para la correspondiente base {b1, b2, ..., bn}
Ası́ β i es una función lineal. En otras palabras, el funcional β i ”extrae” el
i-esimo componente de X y cumple linealidad:
β i (aX) = aβ i (X)
β i (X + Y ) = β i (X) + β i (Y )
para cualesquiera escalar a y vectores X, Y .
Los elementos de V ∗ también se llaman covectores.
Todo elemento f ∈ V ∗ se escribe ası́ ;
f = fs β s
donde los componentes satisfacen fs = f(bs )
Hemos visto que si f ∈ V ∗ entonces f : W → R, y si T : V → W podremos
T ◦f
construir V → R.
T∗
Lo que tenemos es una asignación W ∗ → V ∗ dada por f 7→ T ∗ (f) = T ◦ f.
Ahora que si la matriz de T es [T ] = [T ij entonces [T ∗ ] = [T ]>
§Multilinealidad
§§ Mapas bilineales
Una función bilineal queda especificada mediante una matriz: Si B : V ×V → R
es un mapeo bilineal entonces existe una matriz [B] de n×n dimensiones que tienen
componentes Bij y con los cuales se determina la forma cuadrática:
1
w
B11 B12 · · · B1n
B21 B22 · · · B2n w2
B(v, w) = v> [B]w = [v1, ..., vn] .
..
.
.
.
Bn1
Bn2
· · · Bnn
=
v1 w1 B11 + v1 w2 B12 + v1 w3 B13 + · · · + vn wnBnn
=
vs wt Bst
zn
Observemos que para una forma cuadrática B : Rn × Rn → R al evaluar en
básicos canónicos
B(ei , ej ) = ei > [B]ej = Bij
§§ Para un mapa trilineal T : V × V × V → R tenemos
T (u, v, w) = usvt wr Tstr
§§ Producto tensorial de transformaciones multilineales
Cuando tenemos un par de covectores f, g : V → R entonces es posible construir
un mapeo bilineal mediante el artificio llamado producto tensorial
f ⊗ g(v, w) = f(v)g(w)
donde la expresión a la derecha es el usual producto de números reales. Tal construcción es bilineal:
f ⊗ g(kv + lu, w) =
=
f(kv + lu)g(w)
(kf(v) + lf(u))g(w)
=
=
kf(v)g(w) + lf(u)g(w)
kf ⊗ g(v, w) + lf ⊗ g(u, w)
y similarmente para f ⊗ g(v, kw + lu) = kf ⊗ g(v, w) + lf ⊗ g(v, u)
Sea bil(V ) = {B : V × V → R} el conjunto de todos las funciones bilineales
de V . Este es un espacio vectorial con las operaciones
• (B + C)(v, w) = B(v, w) + C(v, w)
• k(B(v, w)) = kB(v, w)
donde B, C ∈ bil(V ) y k ∈ R
ArB
Con el producto tensorial de covectores duales básicos β i : V → R que satisfacen
β (bj ) = δ i j , podemos construir mapas bilineales básicos con el producto tensorial
i
βi ⊗ βj
y cumplen
β i ⊗ β j (bk , bl )
=
=
β i (bk )β j (bl )
δ ik δ j l
y que en argumentos arbitrarios
β i ⊗ β j (v, w)
=
=
=
=
β i (v)β j (v)
β i (vs bs )β j (wt bt)
vs wtβ i (bs)β j (bt)
vs wtδ i k δ j l
= vi wj
Es posible demostrar que una base para bil(V ) es
{β 1 ⊗ β 1 , β 1 ⊗ β 2 , β 1 ⊗ β 3 , ..., β i ⊗ β j , ..., β n ⊗ β n }
y entonces para un B arbitrario en bil(V ) tenemos
B = Bst β s ⊗ β t
y donde podemos ver que los componentes de esta combinación lineal bi-indexada
son
Bij = B(bi , bj )
Ası́ dim bil(V ) = n2
§§§ ¿Cómo cambian las componentes de una forma bilineal cuando variamos la
base de V ?
C
Supongamos que V → V es un a cambio de base bi 7→ ci = Cbi = C si bs
§§ ¿Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando
cambiamos de base en V ?
Sabemos que si C : V → V es un cambio de base
bi 7→ ci = Cbi = C si bs
entonces entre los componentes de un vector v = vs bs = ṽt ct de estas dos bases
se tiene
C −1vb = vc
donde
v1
vb = ...
vn
ṽ1
vc = ...
ṽn
y
Ahora
vb> [B]wb = ([C][C −1]vb )> [B][C][C −1]wb = ([C −1]vb)> [C]>[B][C][C −1]wb
entonces
vb> [B]wb = ([C −1]vb)> [C]>[B][C][C −1]wb = vc> [C >BC]wc
por lo que la matriz de la misma forma cuadrática -determinada por [B]- en la nueva
base es
[C > BC]
En términos biindexados una tenemos
v> [B]w = vs wtBst ,
(F C)
pero ct = C s tbs entonces
vµ bµ = ṽt ct = ṽt C st bs
que después de reindexar s → µ implica
vµ bµ = ṽt C µ t bµ
entonces
→
(vµ − ṽt C µt )bµ = 0
pero si los bµ son linealmente independientes entonces
vµ = ṽt C µ t
que sustituyendo en (F C) arriba tenemos
vb> [B]wb
=
vs wtBst
=
=
=
=
ṽu C su w̃r C tr Bst
ṽu w̃r C su C tr Bst
ṽu w̃r C su Bst C tr
s
ṽu w̃r (C > )u Bst C tr
=
=
ṽu w̃r [C >BC]ur
vc> [C >BC]wc
§§ Las transformaciones trilineales son similarmente tratadas, por ejemplo
β i ⊗ β j ⊗ β k (v, w, u) =
=
β i (v)β j (v)β k (u)
β i (vs bs)β j (wt bt)β k (ur br )
=
=
=
vs wtur β i (bs )β j (bt )β k (br )
vs wtδ i k δ j l δ k r
v i w j ur
El conjunto tril(V ) = {B : V × V × V → R} también es un espacio vectorial,
generado por los β i ⊗ β j ⊗ β k con todas las combinaciones de i, j, k desde 1 hasta
dim V = n, por lo tanto dim tril(V ) = n3.
§ Producto tensorial de espacios vectoriales
Sean V, W dos espacios vectoriales sobre los reales R. Indicamos con
V = h{b1, ..., bn}i
que el espacio V está generado por los vectores básicos bi. En otras palabras; si
X ∈ V entonces
X = X s bs
es la combinación lineal X = X 1 b1 + X 2 b2 + · · · + X n bn .
Si W = h{d1, ..., dm}i es otro espacio vectorial, entonces definimos
V ⊗ W = h{b1 ⊗ d1 , b1 ⊗ d2, ..., bn ⊗ dm , }i,
esto implica que si B ∈ V ⊗ W entonces
B = B st bs ⊗ dt
lo cual es la combinación lineal bi-indexada:
B = B 11 b1 ⊗ d1 + B 12 b1 ⊗ d2 + · · · + B nm bn ⊗ dm
Ejemplo: R2 ⊗ R3 es generado por el producto de sus bases
1
0
e1 =
, e2 =
0
1
para R2 y
1
0
0
ε1 = 0 , ε2 = 1 , ε3 = 0
0
0
1
para R3
e1 ⊗ ε1 , e1 ⊗ ε2 , e1 ⊗ ε3
e2 ⊗ ε1 , e2 ⊗ ε2 , e2 ⊗ ε3
respectivamente son:
1
0
0
1
⊗
⊗
1
0
0
1
0
0
!
,
!
,
1
0
0
1
⊗
0
1
0
⊗
0
1
0
!
,
!
,
1
0
0
1
⊗
0
0
1
⊗
0
0
1
!
,
!
Ası́ el espacio vectorial R2 ⊗ R3 = gen{ei ⊗ εj } donde i = 1, 2 y j = 1, 2, 3,
por lo que si T ∈ R2 ⊗ R3 entonces
T = T µν eµ ⊗ εν
El espacio
R2 ⊗ R3
es de dimensión 6 y es naturalmente isomorfo a R6 generado por
1
0
0
0
0
E1 =
0
0
0
0
0
, E2 =
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
, E3 =
, E4 =
0
0
1
0
0
, E5 =
Y entonces un isomorfismo es:
e1 ⊗ ε1 7→ E1
e1 ⊗ ε2 7→ E2
e1 ⊗ ε3 7→ E3
e2 ⊗ ε1 7→ E4
e2 ⊗ ε2 7→ E5
e2 ⊗ ε3 7→ E6
que sin embargo no es el único. Por ejemplo otro pudiera ser
e1 ⊗ ε1
7→
E1
e1 ⊗ ε2
7→
−E1 + E2
e1 ⊗ ε3
7→
E3 − 8E4
e2 ⊗ ε1
7→
E4
e2 ⊗ ε2
7→
3E5 + E6
e2 ⊗ ε3
7→
E6
e1 ⊗ ε1
7→
E1 − 9E2 + 100E6
e1 ⊗ ε2
7→
E3 + 5E4 − E6
e1 ⊗ ε3
7→
E1 − E2 − E3 + 8E4 − E6
e2 ⊗ ε1
7→
E2 − E4 − E6
e2 ⊗ ε2
7→
E1 − 3E5 + E6
e2 ⊗ ε3
7→
E6
0
0
0
1
0
, E6 =
0
0
0
0
0
1
Los objetos en V ⊗ V se llaman tensor contravariante de rango 2 en V o bien
un 2-contratensor.
Los objetos en V ∗ ⊗ V ∗ se llaman tensor covariante de rango 2 en V o bien
un 2-cotensor.
Los objetos en V ∗ ⊗ V se llaman tensor mixto de rango 2 en V .
Los elementos básicos de V ∗ ⊗ V ∗ pueden ser visualizados como transformaciones bilineales
βi ⊗ βj : V × V → R
mediante la asignación dada por
(X, Y ) 7→ β i ⊗ β j (X, Y ) = β i (X)β j (Y ) = X i Y j
Similarmente los elementos básicos de V ⊗ V pueden ser considerados como
mapas bilineales
bi ⊗ bj : V ∗ ⊗ V ∗ → R
mediante la asignación
(f, g) 7→ bi ⊗ bj (f, g) = f(bi )g(bj ) = fi gj
Un elemento básico de V ∗ ⊗ V se puede ver como un mapa bilineal
V ×V∗ →R
mediante la fórmula
(X, f) 7→ β i ⊗ bj (X, f) = β i (X)f(bj ) = X i fj
Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquiera
escalares a, c ∈ R y vectores X, Y, Z ∈ V tenemos
β i ⊗ β j (aX + cY, Z) = aβ i ⊗ β j (X, Z) + cβ i ⊗ β j (Y, Z)
β i ⊗ β j (X, aY + cZ) = aβ i ⊗ β j (X, Y ) + cβ i ⊗ β j (X, Z)
que son respectivamente
(aX i + cY i )z j = aX i Z j + cY i Z j
X i (aY j + cZ j ) = aX i Y j + cX i Z j
Toda transformación bilineal V × V → R está generada por los β i ⊗ β j pues si
B : V × V → R es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como
B = Bst β s ⊗ β t
y denotaremos con T (2,0)V el espacio vectorial generado por los β i ⊗ β j , en otras
palabras
T (2,0)V = h{β i ⊗ β j }i
§§ ¿Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando
cambiamos de base en V ?
Si B = Bst β s ⊗ β t y C : V → V es un cambio de bases bi →
7 Cbi = C µ i bµ o
−1 µ
bien bi = (C ) i cµ entonces
B
=
Bst β s ⊗ β t
=
Bst (C >)σ (C > )ρ γ σ ⊗ γ ρ
=
(C > )σ Bst (C >)ρ γ σ ⊗ γ ρ
=
(C > )σ Bst C tρ γ σ ⊗ γ ρ
=
B̃σρ γ σ ⊗ γ ρ
µ
s
ν
t
s
donde B̃ = C >BC
Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales
T (3,0)V = h{β i ⊗ β j ⊗ β k }i
donde β i ⊗ β j ⊗ β k (X, Y, Z) = X i Y j Z k es una construcción tri-lineal básica. Ası́
cualquier otro mapa trilineal T : V × V × V → R se escribe conforme a
T = Tstuβ s ⊗ β t ⊗ β u
No es difı́cil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial T (k,0)V y cuál es una
base para él. ¿puede ud. decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios
vectoriales?
§§ Espacios de co-tensores
T (0,0)V
T (1,0)V
T (2,0)V
T (3,0)V
T (4,0)V
.
.
=R
=V∗
= V ∗ ⊗ V ∗ = bil(V )
= V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ = tril(V )
=V∗⊗V∗⊗V∗ ⊗V∗
§ Espacios de contra-tensores
T (0,1)V
T (0,2)V
T (0,3)V
T (0,4)V
.
.
=V
= V ⊗ V = bil(V ∗ )
= V ⊗ V ⊗ V = tril(V ∗ )
=V ⊗V ⊗V ⊗V
§§ Espacios de tensores mixtos
T (1,1)V = V ∗ ⊗ V = hom(V )
T (2,1)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V
T (1,2)V = V ∗ ⊗ V ⊗ V
T (2,2)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V
.
.
.
§§ El álgebra tensorial
El álgebra tensorial de un espacio V es un espacio vectorial de dimensión infinita
y está definido como
TV =
∞
M
T (k,l) V
k=l=0
TV = T
(0,0)
V ⊕T
(1,0)
V ⊕T
(0,1)
V ⊕T
(2,0)
V ⊕T (1,1)V ⊕T 0,2V ⊕T (3,0) V ⊕T (2,1)V · · ·
Álgebra de Grassmann
Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es
decir transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos
(transponemos) dos de sus argumentos. Por ejemplo un mapa bilineal B : V ×V →
R es antisimétrico (o alternante) si satisface
B(X, Y ) = −B(Y, X)
un trilineal alternante cumple
T (X, Y, Z)
=
=
=
−T (Y, X, Z)
T (Y, Z, X)
−T (Z, Y, X)
La construcción
βi ∧ βj = β ⊗ βj − βj ⊗ βi
define un operador bilineal antisimétrico básico y satisface
β i ∧ β j (X, Y ) = X i Y j − X j Y i
Otra notación es
β i ∧ β j = β [i ⊗ β j]
Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –también llamados
bivectores o 2-formas– y los simbolizamos con
Λ2 V = gen{β 1 ∧ β 2 , β 1 ∧ β 3 , ..., β n−1 ∧ β n }
esto implica que si B ∈ Λ2V entonces B = Bst β s ∧ β t
Observe que β i ∧ β i = 0 para cada i.
Observa que si dim V = 3 entonces
β1 ∧ β2 , β1 ∧ β3 , β2 ∧ β3
son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ2V =
3
2
=3
Ahora que si dim V = 4 entonces
β1 ∧ β2, β1 ∧ β3 , β2 ∧ β3 , β2 ∧ β4, β3 ∧ β4
son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ2V = 42 = 6
Generailzando cuando dim V = n entonces
β 1 ∧ β 2 , β 1 ∧ β 3 , β 2 ∧ β 3 , ..., β n−1 ∧ β n
son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ2V = n2
El espacio vectorial Λk V generado por los productos exteriores de k-covectores
básicos
β i1 ∧ β i2 ∧ · · · ∧ β ik
donde los indices cumplen i1 < i2 < · · · < ik , tiene dimensión nk i.e.
dim V
k
dim(Λ V ) =
k
El espacio ΛnV está generado por la única n-forma β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β n por lo
que dim(ΛnV ) = 1.
§§ El álgebra exterior
El espacio vectorial
ΛV = Λ0V ⊕ Λ1 V ⊕ · · · ⊕ Λn−1V ⊕ ΛnV
junto con el producto exterior ∧ constituyen un álgebra que recibe el nombre de
álgebra de Grassmann (o álgebra exterior) de V
