Principios de álgebra multilineal

Principios de álgebra multilineal∗
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2013-03-11 19:27:49
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ÁLGEBRA MULTILINEAL
DE ESPACIOS VECTORIALES REALES
CON PRODUCTO INTERIOR
Juan M. Márquez B. Sea V un espacio vectorial sobre los reales R de dimensión
n. Si los objetos b1 , b2 , ..., bn es una base entonces usamos la notación
V = h{bi }i = h{b1 , b2 , ..., bn }i
para indicar que cada X vector en V se escribe como combinación lineal de los bi .
Espacio dual
El espacio dual de V se define como el conjunto V ∗ de los funcionales lineales V → R.
Resulta que V ∗ también es una espacio vectorial.
¿ Cuál es una base y la dimensión de este espacio?
Considere las transformaciones (una para cada i)
βi : V → R
definida por
X 7→ β i (X) = X i ,
donde X = X s bs (convención de la suma de Einstein).
Ası́ β i es una función lineal. En otras palabras, el funcional β i ”extrae” el i-esimo
componente de X y cumple linealidad:
β i (aX) = aβ i (X)
β i (X + Y ) = β i (X) + β i (Y )
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para cualesquiera escalar a y vectores X, Y .
Los elementos de V ∗ también se llaman covectores.
Todo elemento f ∈ V ∗ se escribe ası́ ;
f = fs β s
donde los componentes satisfacen fs = f (bs )
Producto tensorial
Sean V, W dos espacios vectoriales sobre los reales R. Indicamos con
V = h{b1 , ..., bn }i
que el espacio V está generado por los vectores básicos bi . En otras palabras; si X ∈ V
entonces
X = X s bs
es la combinación lineal X = X 1 b1 + X 2 b2 + · · · + X n bn .
Si W = h{d1 , ..., dm }i es otro espacio vectorial, entonces definimos
V ⊗ W = h{b1 ⊗ d1 , b1 ⊗ d2 , ..., bn ⊗ dm , }i,
esto implica que si B ∈ V ⊗ W entonces
B = B st bs ⊗ dt
lo cual es la combinación lineal bi-indexada:
B = B 11 b1 ⊗ d1 + B 12 b1 ⊗ d2 + · · · + B nm bn ⊗ dm
Los objetos en V ⊗ V se llaman tensor contravariante de rango 2 en V o bien un
2-contratensor.
Los objetos en V ∗ ⊗ V ∗ se llaman tensor covariante de rango 2 en V o bien un
2-cotensor.
Los objetos en V ∗ ⊗ V se llaman tensor mixto de rango 2 en V .
Multilinealidad
Los elementos básicos de V ∗ ⊗ V ∗ pueden ser visualizados como transformaciones
bilineales
βi ⊗ βj : V × V → R
mediante la asignación dada por
(X, Y ) 7→ β i ⊗ β j (X, Y ) = β i (X)β j (Y ) = X i Y j
Similarmente los elementos básicos de V ⊗ V pueden ser considerados como mapas
bilineales
bi ⊗ bj : V ∗ ⊗ V ∗ → R
mediante la asignación
(f, g) 7→ bi ⊗ bj (f, g) = f (bi )g(bj ) = fi gj
Un elemento básico de V ∗ ⊗ V se puede ver como un mapa bilineal
V ×V∗ →R
2
mediante la fórmula
(X, f ) 7→ β i ⊗ bj (X, f ) = β i (X)f (bj ) = X i fj
Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquiera escalares
a, c ∈ R y vectores X, Y, Z ∈ V tenemos
β i ⊗ β j (aX + cY, Z) = aβ i ⊗ β j (X, Z) + cβ i ⊗ β j (Y, Z)
β i ⊗ β j (X, aY + cZ) = aβ i ⊗ β j (X, Y ) + cβ i ⊗ β j (X, Z)
que son respectivamente
(aX i + cY i )z j = aX i Z j + cY i Z j
X i (aY j + cZ j ) = aX i Y j + cX i Z j
Toda transformación bilineal V × V → R está generada por los β i ⊗ β j pues si
B : V × V → R es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como
B = Bst β s ⊗ β t
y denotaremos con T (2,0) V el espacio vectorial generado por los β i ⊗ β j , en otras palabras
T (2,0) V = h{β i ⊗ β j }i
Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales
T (3,0) V = h{β i ⊗ β j ⊗ β k }i
donde β i ⊗β j ⊗β k (X, Y, Z) = X i Y j Z k es una construcción tri-lineal básica. Ası́ cualquier
otro mapa trilineal T : V × V × V → R se escribe conforme a
T = Tstu β s ⊗ β t ⊗ β u
No es difı́cil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial T (k,0) V y cuál es una base
para él. ¿puede ud. decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales?
Álgebra de Grassmann
Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es decir
transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos)
dos de sus argumentos. Por ejemplo un mapa bilineal B : V × V → R es antisimétrico (o
alternante) si satisface
B(X, Y ) = −B(Y, X)
un trilineal alternante cumple
T (X, Y, Z)
=
−T (Y, X, Z)
=
T (Y, Z, X)
=
−T (Z, Y, X)
La construcción
βi ∧ βj = β ⊗ βj − βj ⊗ βi
define un operador bilineal antisimétrico básico y satisface
β i ∧ β j (X, Y ) = X i Y j − X j Y i
Otra notación es
β i ∧ β j = β [i ⊗ β j]
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Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –también llamados bivectores
o 2-formas– y los simbolizamos con
Λ2 V = h{β i ∧ β j }i
esto implica que si B ∈ Λ2 V entonces B = Bst β s ∧ β t
Observe que β i ∧ β i = 0 para cada i.
Ahora, si dim V = n entonces
β 1 ∧ β 2 , β 1 ∧ β 3 , ..., β 1 ∧ β n , β 2 ∧ β 3 , ..., β n−1 ∧ β n
son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ2 V =
n
2
El espacio vectorial Λk V generado por los productos exteriores de k covectores básicos
β i1 ∧ β i2 ∧ · · · ∧ β ik
donde los indices cumplen i1 < i2 < · · · < ik , tiene dimensión
dim(Λk V ) =
dim V
k
n
k
i.e.
El espacio Λn V está generado por la única n-forma β 1 ∧ β 2 ∧ · · · ∧ β n por lo que
dim(Λn V ) = 1.
El espacio vectorial
ΛV = Λ0 V ⊕ Λ1 V ⊕ · · · ⊕ Λn−1 V ⊕ Λn V
junto con el producto exterior ∧ constituyen un álgebra que recibe el nombre de álgebra
de Grassmann (o álgebra exterior) de V
Espacios vectoriales con producto interior.
Sea V un espacio vectorial sobre los reales R generado por los objetos {b1 , b2 , ..., bn }.
Suponga que existe un producto interior en V i.e. hay un mapa
h
,
i:V ×V →R
el cual es bilineal, simétrico y positivo definido no degenerado: repectivamente
1. haX + cY, Zi = ahX, Zi + chY, Zi
2. hX, aY + cZi = ahX, Y i + chX, Zi
3. hX, Y i = hY, Zi
4. hX, Xi ≥ 0
5. hX, Xi = 0 si y sólo si X = 0
donde a, c son escalares reales y X, Y, Z vectores arbitarios en V .
El tensor métrico es la matriz
g11
 g21
G=
 ...
gn1

g12
g22
···
···
..
.
g1n
g2n 
.. 

.
gnn

donde gij = hbi , bj i.
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La matriz inversa G−1 se llama cotensor métrico y sus entradas se indexan G−1 =
[g ], por lo que al multiplicar G y G−1 se obtienen las relaciones
ij
δi j = gis g sj = gi1 g 1j + gi2 g 2j + · · · gin g nj
Lema de Representación de Riesz Sea f : V → R un covector en V con producto interior h , i. Entonces existe un único vector a ∈ V el cual determina a f ,
esto es:
f ( ) = ha, i
Para los covectores básicos β i resulta que el vector bi = g is bs (suma sobre s) satisface
βi(
) = hbi ,
i
pues si β i se aplica a el básico bt tenemos
β i (bt )
=
hbi , bt i
=
hg is bs , bt i
=
g is hbs , bt i
=
g is gst
=
δi t
por lo que aplicado a un vector X = X µ bµ arbitario tenemos
β i (X)
=
hbi , X µ bµ i
=
X µ hbi , bµ i
=
X µ δi µ
=
Xi
Los vectores b1 , b2 , ..., bn son linealmente independientes, forman también una base para
V y se llaman básicos reciprocos.
Siendo T (2,0) V el conjunto de los mapeos bilineales V × V → R y si B ∈ T (2,0) V
entonces B = Bµν β µ ⊗ β ν .
En el conjunto T (0,2) V está el mapeo bilineal B̄ = B µν bµ ⊗ bν .
¯ = B ν βµ ⊗ b .
Y en T (1,1) V está B̄
µ
ν
Ahora si construimos los básicos reciprocos duales
βi = gis β s
vamos a poder calcular que
¯ (b , β ) = B
B(bs , bt ) = B̄(βs , βt ) = B̄
s
t
st
donde los componentes se relacionan mediante el cotensor métrico ası́:
B i j = Bsj g si
con suma sobre s, y
B ij = B i s g sj = Bst g si g tj
con suma sobre t y s, t respectivamente. O bien Bi j = B sj gsi y Bij = Bi s gsj .
Todas estas relaciones entre los componentes con respecto al tensor y cotensor métricos
reciben el nombre de leyes de subir y bajar ı́ndices.
Las formas tiene un producto interior también
5
β
ik
Es posible inducir un producto interior en los espacios Λk V . Si A = Ai1 ...ik β i1 ∧ . . . ∧
y C = Cj1 ...jk β j1 ∧ . . . ∧ β jk entonces
hA, Ci = g i1 j1 · · · g ik jk Ai1 ...ik Cj1 ...jk
Por ejemplo para 1-formas tenemos
hA, Ci
=
g i1 j1 Ai1 Cj1
=
Ai1 C i1
que satisface los 5 axiomas de producto interior.
Pullback
Teniendo una transformación lineal L: V → W podemos construir por cada forma en
W otra forma en V . Pues si φ ∈ W ∗ = Λ1 V es decir φ: W → R es covector en W entonces
podemos construir otra transformación lineal φ ◦ L: V → R, es decir φ ◦ L ∈ V ∗ = Λ1 V .
Ası́ hemos definido una transformación lineal
L∗ : W ∗ → V ∗
vı́a
φ 7→ L∗ φ = φ ◦ L
∗
la regla de asignación L es el pullback de L.
Supongamos que V = h{b1 , ..., bn }i y W = h{c1 , ..., cm }i, ası́ tendremos que
Lbk = Ls k cs ,
(A)
es la forma en que las bases se relacionan.
¿Cómo se relacionan las base de covectores?
Sean V ∗ = h{β 1 , ..., β n }i y W = h{γ 1 , ..., γ m }i. Sean gij = hbi , bj i y hkl = hck , cl i
los componentes de los tensores métricos de V y W respectivamente.
Por lo que
L∗ γ i (bk )
=
γ i ◦ L(bk )
=
γ i (Lbk )
=
γ i (Ls k cs )
=
Ls k γ i (cs )
=
Ls k γ i (cs )
=
Ls k δ i s
=
Li k
Pero también
Li t β t (bk )
=
Li t δ t k
=
Li k
Es decir
L∗ γ i (bk ) = Li t β t (bk )
para todo básico bk , por lo que las transformaciones son iguales, i.e.
L∗ γ i = Li t β t ,
(B)
lo que nos indica como se relacionan las bases duales de W, V respectivamente (cf. (A)
arriba).
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Finalmente, si ϕ ∈ W ∗ este se expresa como ϕ = ϕµ γ µ y entonces
L∗ ϕ = ϕµ L∗ γ µ = ϕµ Lµ t β t
lo cual muestra que los componentes de L∗ ϕ son
ϕµ Lµ t
Ejercicios
L
M
1. Demuestre que si V → W → U es una composición de transformaciones lineales,
entonces el correspondiente diagrama de pullbacks es
M∗
L∗
U∗ → W ∗ → V ∗
2. Escriba todo el ejercicio 1 en términos de componentes.
3. Si el covector ϕ ∈ W ∗ tiene una representación ϕ( ) = hξ, i y covector L∗ ϕ ∈
V ∗ tiene L∗ ϕ( ) = hζ, i, con ξ ∈ W y ζ ∈ V , ¿Cuál es la relación entre los
componentes de L, ξ y ζ?
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