Guía 13 - Universidad de Talca

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Física
Campus Talca
Álgebra
Carrera: Agronomía
o
Guía N 13: Mas sobre logaritmos.
Resolver los ejercicios de las sección 5.5 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a
edición.
Ejercicios a resolver:
376 1C Aal
P Í T36.
ULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
5.5
Ejercicios
Ejer. 1-8: Exprese en términos de logaritmos de x, y, z o w.
1 (a) log4 sxzd
2 (a) log3 sxyzd
log3 y
log3 x
2z
7 ln
1
2
x7
y 5z
3
z
x4 2
1
log y 2 4 log x 2 3 log z
%
3
log3 s5yd
(b) log3 s2zd 2 log3 x
log3 s5xyd
log3
2z
x
21 log x 2 log sx
log4 x
(b) log4 x 2 log4 s7yd
1
3
log4 w log4
23 ln s24 2 xd
3
loga sx 2 2d 2 5 loga s2x
x 2x 2 2
3d5
3d loga s2x
3
y 2 3 log
13 log sx 3y 2d 2 2 log x 2
15 ln y
3
y3
2 3 log y
x
1
3
1
2 23
6d 5 2 ln 9 23
25 log2 sx
7d
log2 x 5 3 1
26 log6 sx
5d
log6 x 5 2 4
27 log3 sx
3d
log3 sx
5d 5 1 22
210
log3 sx 2 4d 5 2 3
265
21
3d 5 1 2 log sx 2 2d
30 log s57xd 5 2
2
log sx 2 2d
200
43
2d 21
21
ln sx
!"
x
y
1d
log
y 13/3
x2
1
log x 4y 2 log y 4
2
3 6
ln sx y d 2 5 ln y ln x
16 2 ln x 2 4 ln s1 yd 2 3 ln sxyd ln s y xd
Ayuda:
Ejercicios 17 al 34: Recuerde verificar sus respuestas.
e
1d No solución
33 log3 sx 2 2d 5 log3 27 2 log3 sx 2 4d 2 5log5 1 3
34 log2 sx
1
12 5 loga x 2 2 loga s3x 2 4d 2 3 loga s5x
14 2 log
2
15
ln 3 5 ln s2 2 xd 27
ln sx
32 ln x 5 1
1
3
3
1d 5 3 log 4 No solución
31 ln x 5 1 2 ln sx
2w
2 3
11 2 loga x
29
log4 #x s7yd$
log4 s3xzd
(c)
13
3
log4 3
2d 2 log x 5 2 log 4
29 log sx
10 (a) log4 s3zd
2d 5 log4 5
28 log3 sx 2 2d
(c) 5 log3 y log3 y 5
7
2
19 2 log3 x 5 3 log3 5 5 25
24 ln x
y4
z5
Ejer. 9-16: Escriba la expresión como un logaritmo.
9 (a) log3 x
18 log4 s3x
22 log sx
2y
8 ln x
Ejer. 17-34: Resuelva la ecuación.
17 log6 s2x 2 3d 5 log6 12 2 log6 3
20 3 log2 x 5 2 log2 3
2 loga w 2 4 loga x 2 3 loga z
6 log
%
4
log3 y
y 5w 2
4 log a 4 3
xz
3
x 2y
1
5
log3 z 2 log3 y
5 loga y
log4 z
5
y
(c) log3 2
(b) log3 sxz yd
log3 x
log3 z
x 3w
3 loga 2 4
yz
5 log
1
3
log4 y 2 log4 x
log4 z
log4 x
3
(c) log 4 2z
(b) log4 s y xd
3d 5 log2 sx 2 3d
log3 9
log4 3
4
99
31
Ejer. 35-46: Trace la gráfica de f.
35 f sxd 5 log3 s3xd
36 f sxd 5 log4 s16xd
37 f sxd 5 3 log3 x
38 f sxd 5 13 log3 x
39 f sxd 5 log3 sx 2d
40 f sxd 5 log2 sx 2d
41 f sxd 5 log2 sx 3d
42 f sxd 5 log3 sx 3d
43 f sxd 5 log2 2x
3
44 f sxd 5 log2 2
x
45 f sxd 5 log3
!"
1
x
46 f sxd 5 log2
!"
1
x
210
Resolver los ejercicios de las sección 5.6 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a
edición.
Ejercicios a resolver: 1 al 42, 47, 59.
388
CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
5.6 Ec
5.6
Ejercicios
48 Aproxime la concentración del ión hidrógeno [H ] de cada
sustancia.
Ejer. 1-4: Encuentre la solución exacta y una aproximación
a dos lugares decimales para ella usando (a) el método del
ejemplo 1 y (b) el método del ejemplo 2.
log 8
1 5x 5 8 log 5
log 3
1.29
2 4x 5 3 log 4
log 5
2.54
3 342x 5 5 4 2 log 3
4
log5 16
2
log5 4
10
5 2123x
log7 243
5
log7 3
12 42x
13 22x23 5 5x22
3
2x 2
16 2
1d 5 2
5
264
1.54
23 4x 2 3s42xd 5 8
22 3s3xd
21, 2
2.78
Ejer. 25-32: Resuelva la ecuación sin usar calculadora.
25 log sx 2d 5 slog xd2 1 or 100 26 log 2x 5 2log x
1 or 10,000
27 log slog xd 5 2 10100
28 log 2x3 2 9 5 2
2 10,009
3
1d
1
x 5 log
2
1
ln
2
$ %
42 y 5
$ %
y 1
y21
x5
e x 2 e2x
e x e2x
$ %
1 y
1
ln
12y
2
43 f sxd 5 log2 sx
3d
44 f sxd 5 log3 sx
5d
y-intercept 5 log2 3
1.5850
y-intercept 5 log3 5
1.4650
46 f sxd 5 3x 2 6
x-intercept 5 log3 6
1.6309
Ejer. 47-50: Los químicos emplean un número denotado por
pH para describir cuantitativamente la acidez o basicidad
de soluciones. Por definición, pH 5 2log[H ], donde [H ] es
la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro.
47 Aproxime el pH de cada sustancia.
(a) vinagre: "H #
23
6.3 ! 10
(b) zanahorias: "H #
(c) agua de mar: "H #
6.6
(
51 Interés compuesto Use la fórmula del interés compuesto
para determinar cuánto tiempo tardará una suma de dinero
en duplicarse si se invierte a razón del 6% al año capitalizado mensualmente.
52 Interés compuesto De la fórmula de interés compuesto
Ejer. 43-44: Trace la gráfica de f y use la fórmula de cambio
de base para aproximar el punto de cruce con el eje y.
0.7925
4.2
50 Muchas soluciones tienen un pH entre 1 y 14. Encuentre la
imagen correspondiente de [H ].
y 1
y21
x 5 ln s y " 2y 2 2 1 d
1d
2y 2
e x e2x
e x 2 e2x
45 f sxd 5 4x 2 3
24 2x 2 6s22xd 5 6
1.53
y 5 ln s y
x-intercept 5 log4 3
9s32xd 5 28
log s 3
215 d
log 2
2y2
10x 102x
38 y 5 x
10 2 102x
Ejer. 45-46: Trace la gráfica de f y use la fórmula de cambio
de base para aproximar el punto de cruce con el eje x.
20 log sx 2 4d 2 log s3x 2 10d 5 log s1!xd 5
125s52xd 5 30 1, 2
x 5 log s y
Ejer. 39-42: Use logaritmos naturales para despejar x en
términos de y.
e x 2 e2x
e x e2x
39 y 5
40 y 5
2
2
x5
1
log sx 2 2d
2d 5 2
10x 2 102x
37 y 5 x
10
102x
3.0
49 Una solución es considerada como alcalina si [H ] ! 1027
o ácida si [H ] " 1027. Encuentre las correspondientes desigualdades que contengan el pH.
42) 5 0 7
log8 x 5 1
x 5 log s y " 2y2 2 1 d
41 y 5
5 5 No solución
301
195
log s2x 2 3d
4d 2 log sx
219 d
log s 4
log 4
34 log4 x
$ %
17 log x 5 1 2 log sx 2 3d 5
21 5x
4e2x 5 5 0, ln 4
(c) leche: pH
1
1 y
x 5 log
2
12y
5 5x22
14 3223x 5 42x
15 22x 5 8 23
19 log sx
1, 1023, 10223
Ejer. 35-38: Use logaritmos comunes para despejar x en términos de y.
10x 2 102x
10x 102x
35 y 5
36 y 5
2
2
Ejer. 11-24: Encuentre la solución exacta, usando logaritmos comunes y una aproximación a dos lugares decimales
de cada solución, cuando sea apropiado.
2
(b) cerveza: pH
33 log3 x 2 log9 (x
Ejer. 9-10: Evalúe usando la fórmula de cambio de base (sin
calculadora).
18 log s5x
32 e x
2e x 2 15 5 0 ln 3
Ejer. 33-34: Resuelva la ecuación.
s 13 dx 5 100
8 log6 12 20.3869
7 log9 0.2 20.7325
4
(a) manzanas: pH
31 e2x
6 log2 20 4.3219
5 log5 6 1.1133
11 3x
30 log sx 3d 5 slog xd3
0.79
Ejer. 5-8: Estime usando la fórmula de cambio de base.
9
29 x2log x 5 108 10,000
2.2
1.0 ! 1025 5
5.0 ! 1029 8.3
Ayuda:
Ejercicios 1 al 4: Solo despeje x usando logaritmos con la base apropiada.
Ejercicios 5 al 8: Cambie a base 10 y base e, y luego use la calculadora.
Ejercicios 11 al 24: logaritmo común = log10 .
Ejercicio 29: Aplique log a ambos lados y use las propiedades.
# $
i
n
A5C 1
390
Ejercicios 33 y 34: Haga un cambio de base.
Ejercicios 35 al 42: Este tipo de problemas se revisarán en el taller # 8 del día
(
57 M
e
S
d
d
F
(
(
it
CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y
despeje t usando logaritmos naturales.
59
de árboles
El el
crecimiento
de importante
árboles se
53 Altura
Zona fótica
Consulte
ejemplo 8. en
La altura
zona más
describe
frecuencia
con
unadeecuación
logística.
en el mar con
desde
el punto de
vista
la biología
marina esSula
ponga
que laenaltura
(en pies)
un árbol de La
edad
t (en
zona fótica,
la quehtiene
lugar de
la fotosíntesis.
zona
fóaños)
es
tica termina
a la profundidad a la que penetra alrededor del
1% de la luz de superficie. En aguas muy claras en el Ca120 alcanza una profundidad de
ribe, 50% de la luzhde5superficie
,
200e20.2t de la zona fótica.
unos 13 metros. Estime1 la profundidad
54 como
Zona fótica
En contraste
conde
la situación
se ilustra
en la gráfica
la figura. descrita en el ejercicio previo, en zonas del puerto de Nueva York, 50% de la
(a)
¿Cuál
es la altura
del aárbol
a los 10 añosdede10edad?
luz de
superficie
no llega
una profundidad
centímetros. Estime la profundidad de la zona fótica.
(b) ¿A qué edad tendrá 50 pies de altura?
55 Absorción de medicamentos Si una pastilla de 100 miligramos de un
Ejercicio
59 medicamento para el asma se toma oralmente y
si nada de esta droga está presente en el cuerpo cuando se
h
(pies)
toma primero la pastilla, la cantidad total A en el torrente
sanguíneo después de t minutos se pronostica que es
100 A 5 100!1 2 s0.9dt
"
para
58 P
dz
f
M
cp
e
m
b
E
l
c
62 Cn
p
e
(
Supo
creci
toma(
¿El v
res?
0 # t # 10.
(a) Trace la gráfica de la ecuación.
50
(b) Determine el número de minutos necesario para que 50
miligramos de la droga hayan entrado al torrente sanguíneo.
Ejer.(
tos d
cyk
sión
63 s
10
20
30
40
50
60
t (años)
60 Productividad de empleados En ocasiones, algunos fabricantes usan fórmulas basadas empíricamente para predecir
el tiempo necesario para producir el nésimo artículo en una
línea de ensamble para un entero n. Si T(n) denota el tiempo
necesario para ensamblar el nésimo artículo y T1 denota el
tiempo necesario para el primer artículo o prototipo, entonces típicamente T(n) 5 T1n2k para alguna constante positiva k.
64 s
s
Ejer
se en
cyk
cisió
65 (
(a) Para numerosos aviones, el tiempo necesario para ensamblar el segundo avión, T(2), es igual a (0.80)T1. Encuentre el valor de k.
66 (
(b) Exprese, en términos de T , el tiempo necesario para
Ejer
gare
1
Ejercicios 30: Use la propiedad de los exponentes y luego llame u = log x. Resuelva para ensamblar
u y luego
para
el cuarto
avión. x.
Ejercicios 31 y 32: Defina u = ex . Resuelva para u y luego para x.
56 D
c
l
p
m
e
(c) Exprese, en términos de T(n), el tiempo T(2n) necesario para ensamblar el (2nésimo)avión.
61 Cortante vertical del viento Consulte los ejercicios 67-68
de la sección 3.3. Si v0 es la velocidad del viento a una almiércoles
tura h024
y si de
v1 es Septiembre.
la velocidad del viento a una altura h1, entonces la cortante vertical del viento puede ser descrita por
la ecuación
v0
h0
5
v1
h1
!
P
,
67 h
2
68 h
Ejer
ecua
69 x
70 2
22, 16! por 24, 8!
2
83 (a) 30%
!
101
19
% 2.02
Respuestas
impares
(b) 3.85 a ejercicios
3
11
21 1, 2
7
47 f sxd 5 log 2 x 2 100 49 f sxd 5
log s 4 # 219 d
23
25 1 o 100
27 10
% 1.53
log 4
b
1 (a) log 4 x ! log 4 z
(b) log 4 y 2 log 4 x
v
53 y 5 k
55
31 ln 3
33 7
29 10,000
x
1
log 4 z
(c)
35 x 5 log s y $ 2y2 2 1 d
3
1#y
1
5 a z log
39 x 5 ln s y # 2y2 # 1 d
2 4xlog
3 3 log a x ! log a w 2 2 log a y 37
2
12y
1
1
y#1
1
log z 2 log x 2 log y
5
ln
41 x 5
3
2
7
2
y21
5
1
7
45 Intersección con eje
ln x 2 ln y 2 ln z 43 Intersección con eje
7
4
4
4
y 5 log2 3 1.5850
x 5 log4 3 0.7925
C
y
y5
2z
9 (a) log 3 s5xyd
(b) log 3
(c) log 3 y
(b) Rs2xd 5 Rsxd !
57 (a) 0
x
61
3
x2 2
y13/3
7
x22
log
ln
x
11 log a
13
15
17
s2x ! 3d5
x2
2
23 27
25 1
19 5 25
21 No hay solución
x
x
21 ! 265
27 22
29
31 21 ! 21 ! e
R E S P U E S T A S A E J E R C I C I O S S E L E C C I2O N A D O S
33 3 ! 210
0, 6! por 21, 3!
EJERCICIOS 5.5
& '
& '
A36
35
EJERCICIOS 5.6
log 8
% 1.29
1
log 5
7 20.7325
13
!
15 23
101
% 2.02
11
y
63 1.41,
65 La sospecha es incorrecta.
676.59
20.5764
47 (a) 2.2
(b) 5
(c) 8.3
65
71 1.37, 9.94
7, ácido si pH " 7
49 Básico si pH
51 11.58 años
11 años 7 meses
53 86.4 m
log 5
% 2.54
3 42
5 1.1133
log 3
log s2$81d
9 2
11
% 21.16
log 24
x
log s8$25d
% 5.11
log s4$5d
2
19
3
37
y
55 (a)
17 5
(b) 6.58 min
A (mg en torrentex sanguíneo)
60
0.2, 16, 2! por 24.77, 5.77!
"21, 17# por
67 "21,
6.94 11# 69 115 m
21 1, 2
s2!, 20.32d
73
log s 4 # 219 d
23
25 1 o 100
27 10100
% 1.53
log 4
31 ln 3
33 7
29 10,000
2
35 x 5 log s y $ 2y 2 1 d
1#y
1
log
37 x 5
39 x 5 ln s y # 2y2 # 1 d
2
12y
y#1
1
ln
41 x 5
2
y21
45 Intersección con eje
43 Intersección con eje
y 5 log2 3 1.5850
x 5 log4 3 0.7925
1
t (minutos)
log sF$F0d
(b) Después de 13,863 generaciones
log s1 2 md
ln s25$6d
por "28,
2#
59 (a) 4.28"25,
pies 10# (b)
24.8 años
61
% 0.82
ln s200$35d
63 La sospecha
75 (4) es correcta.
57 (a) t 5
CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO
y
1 Sí
2
x
y
x
x
47 (a) 2.2
(b) 5
49 Básico si pH
(c) 8.3
7, ácido si pH " 7
s1.52, 6.8
10
& '
& '
y
69 Ningu