3. Grupos Libres y Productos Libres de Gru- pos

3.
Grupos Libres y Productos Libres de Grupos
Esta sección del trabajo está basado el los libros [4] y [2].
3.1.
Producto Débil de Grupos Abelianos
Definición 3.1. Sean G1 , G2 grupos. Definimos
G1 × G2 = {(g1 , g2 ) : g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 }
y definimos el operador en el mismo por la regla
(g1 , g2 ) (g10 , g20 ) = (g1 g10 , g2 g20 )
Observación 3.2. G1 × G2 es un grupo.
Demostración.
Cerradura Sean (g1 , g2 ), (g10 , g20 ) ∈ G1 ×G2 , entonces por definición tenemos
que g1 , g10 ∈ G1 y g2 , g20 ∈ G2 entonces g1 g10 ∈ G1 y g2 g20 ∈ G2 asi que
(g1 g10 , g2 g20 ) ∈ G1 × G2 .
Asociatividad Sean (g1 , g2 ), (g10 , g20 ), (g1 , g2 ) ∈ G1 ×G2 , entonces (g1 g10 ) g1 =
g1 (g10 g1 ) y analogamente (g2 g20 ) g2 = g2 (g20 g2 ) ası́ que
((g1 , g2 ) (g10 , g20 )) (g1 , g2 ) =
=
=
=
(g1 g10 , g2 g20 ) (g1 , g2 )
((g1 g10 ) g1 , (g2 g20 ) g2 )
(g1 (g10 g1 ) , g2 (g20 g2 ))
(g1 , g2 ) ((g10 g1 ) , (g20 g2 )) .
Neutro Sean 11 y 12 los elementos neutros de los grupos G1 y G2 respectivamente, entonces (11 , 12 ) ∈ G1 × G2 y además es su elemento neutro
pues si (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 entonces
(11 , 12 ) (g1 , g2 ) = (11 g1 , 12 , g2 ) = (g1 , g2 )
(g1 , g2 ) (11 , 12 ) = (g1 11 , g2 12 ) = (g1 , g2 )
45
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
Inverso Sea (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 , entonces también g1−1 , g2−1 ∈ G1 × G2 ,
veamos que g1−1 , g2−1 = (g1 , g2 )−1
g1−1 , g2−1 (g1 , g2) = g1−1 g1 , g2−1 g2 = (11 , 12 )
(g1 , g2 ) g1−1 , g2−1 = g1 g1−1 , g2 g2−1 = (11 , 12 )
De manera análoga podemos definir el producto de los grupos {Gi }ni=1 den
Q
notado por
Gi o por G1 ×G2 ×...×Gn . También el producto de una familia
i=1
numerable de grupos {Gi }∞
i=1 éste denotado por
∞
Q
Gi en ambos casos defin-
i=1
imos el producto componente a componente. Ahora definimos el producto de
familas arbitrarias de grupos.
Notación 3.3. En futuras ocaciones denotaremos 1 al elemento identidad
del grupo G, en cado de haber una familia {Gi }i∈I de grupos denotaremos 1i
al elemento identidad en el grupo Gi .
Q
Definición 3.4. Sea {Gi }i∈I una familia arbitraria de grupos. Sea
Gi su
i∈I
producto cartesiano, es decir,
)
(
[
Y
Gi : ∀i ∈ I, f (i) ∈ Gi
Gi = f : I →
i∈I
i∈I
Y definimos el producto componente a componente,(f · g) (i) = f (i) g (i) para
Q
cada i ∈ I. A
Gi , · se le llama producto directo o producto cartesiano
i∈I
de la familia {Gi }i∈I .
Observación
3.5. Si {Gi }i∈I es una familia de grupos abelianos entonces
Q
Gi también lo es.
i∈I
Demostración. Sean f, g ∈
Q
Gi entonces veamos que f g = gf . Sea i ∈ I,
i∈I
entonces f g (i) = f (i) g (i) = g (i) f (i) = gf (i).
Dada una familia arbitraria de grupos {G
Q i }i∈I , su producto débil se define
como el subgrupo de su producto directo
Gi formado por los elementos g
i∈I
tales que g (i) es el neutro en Gi excepto para una cantidad finita de elementos
de I. Formalmente lo definimos ası́
46
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
Definición 3.6. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea
(
)
Y
G= f ∈
Gi : f (i) = 1i excepto para una cantidad finita de elementos de I .
i∈I
Entonces llamaremos a G el producto débil de {Gi }i∈I .
Observación 3.7. El producto débil es un subgrupo del producto directo.
Demostración. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea G su producto
débil, entonces sólo tendremos que probar que para cualquiera dos elementos
f, g ∈ G, se tiene que f g −1 ∈ G.
Sean f, g ∈ G entonces digamos que Ff , Fg son los conjuntos finitos de I
tales que para cualquier i 6∈ Ff , f (i) = 1i y para cualquier i 6∈ Fg , g (i) = 1i ,
ası́ el conjunto de elementos i donde g −1 (i) 6= 1i es Fg también. Por otro
lado hay que notar que Ff ∪ Fg es finito, y además si i 6∈ Ff ∪ Fg entonces
como i 6∈ Ff se tiene que f (i) = 1i y i 6∈ Fg tenemos g −1 (i) = 1i con esto
probamos que para cualquier i 6∈ Ff ∪ Fg f g −1 (i) = 1i entonces f g −1 ∈ G.
Observación 3.8. Si los Gi son abelianos y la operación de los grupos es
aditiva, al producto débil suele llamársele suma directa y se denota por ⊕.
Observación 3.9. Si {Gi }i∈I es una familia finita de grupos entonces su
producto débil y su producto directo coinciden.
Proposición 3.10. Sea {Gi }i∈I una familia de grupos y sea G su producto
débil, o producto directo, entonces para cualquier i ∈ I, la función ϕi : Gi →
G definido de la siguiente forma, para cada j ∈ I, y x ∈ Gi
x si j = i
(ϕi (x)) (j) =
1 si j 6= i
es un monomorfismo.
Demostración. Tenemos que probar que ϕi es homomorfismo y que es uno
a uno.
ϕi es un homomorfismo. Veamos ambos casos si j = i tenemos que
(ϕi (xy)) (j) = xy = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j)
Si j 6= i tenemos
(ϕi (xy)) (j) = 1 = 1 · 1 = (ϕi (x)) (j) · (ϕi (y)) (j)
47
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
ϕi es inyectiva. Como ϕi es un homomorfismo, es suficiente con mostrar
−1
que ϕ−1
i (1) = {1i }. Sea x ∈ ϕi (1), entonces ϕi (x) = 1 o bien
(ϕi (x)) (j) = 1j para cualquier j ∈ I. Si tomamos en particular j = i
tenemos que x = (ϕi (x)) (i) = 1i .
Definición 3.11. A los ϕi como en la proposición anterior se le llaman
monomorfismos naturales.
En el caso de que cada Gi sea abeliano el teorema siguiente da una caracterización importante de su producto débil y de sus monomorfismos naturales.
Teorema 3.12. Si {Gi }i∈I es una colección de grupos abelianos y G es su
producto débil entonces dado un grupo abeliano A y dada una colección de
homomorfismos {ψi : Gi → A}i∈I existe un único homomorfismo ψ : G → A
tal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta
ϕi
/G
~
~
~~
ψi
~~ ψ
~
~~
Gi
A
Demostración. Si f ∈ G, sea {ij }nj=i ⊂ I el conjunto finito donde se cumple
que f (ij ) 6= 1 que existe por definición de producto débil, entonces definimos
ψ : G → A de la siguiente manera
ψ (f ) =
n
Y
ψij (f (ij ))
j=1
ψ está bien definida ya que el producto es finito y A es un grupo abeliano
ası́ que no depende el orden en el que se tomen los {ij }.
m
Q
n
entonces
ψ
(f
)
=
ψim (f (km ))
Podemos observar que si {kj }m
⊃
{i
}
j
j=i
j=i
j=1
{ij }nj=i
pues para los elementos kj 6∈
se tiene que f (kj ) = 1 y ası́ tambien,
por ser ψin un homomorfismo, ψij (f (ij )) = 1 y entonces no afectará en el
producto.
Ahora probamos que ψ es un homomorfismo. Sean f1 , f2 ∈ G y sea {ij }nj=i
los ı́ndices para los cuales f1 (ij ) 6= 1 o f2 (ij ) 6= 1.
48
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
Por la observación anterior tenemos
ψ (f1 ) =
n
Y
ψij (f1 (ij ))
j=1
ψ (f2 ) =
n
Y
ψij (f2 (ij ))
j=1
Ahora calculemos ψ (f1 f2 )
ψ (f1 f2 ) =
=
=
=
n
Y
j=1
n
Y
j=1
n
Y
j=1
n
Y
ψij (f1 f2 (ij ))
ψij (f1 (ij ) f2 (ij ))
ψij (f1 (ij )) ψij (f2 (ij ))
ψij (f1 (ij ))
j=1
n
Y
ψij (f2 (ij ))
j=1
= ψ (f1 ) ψ (f2 )
Ahora veamos que el diagrama conmuta, tenemos que probar que para cualquier
i ∈ I se tiene que ψϕi = ψi . Tomemos x ∈ G entonces por definición tenemos
x si i = j
ϕi (x) (j) =
1 si i 6= j
entonces aplicando ψ tenemos que
ψϕi (x) = ψi (x)
ası́ que el diagrama conmuta.
Ahora la unicidad, sea ψ 0 : G → A un homomorfismo que hace conmutar
el diagrama.
Sea f ∈ G probaremos la siguiente igualdad
Y
f=
(ϕi (f (i)))
(1)
i∈I
49
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
para ello tomemos j ∈ I arbitraria, notemos que
f (j) si i = j
ϕi (f (i)) (j) =
1 si i 6= j
luego
!
Y
ϕi (f (i)) (j) =
i∈I
Y
(ϕi (f (i))) (j) = f (j)
i∈I
para cada j ∈ I por lo tanto probamos (1). Entonces
!
Y
ψ 0 (f ) = ψ 0
ϕi (f (i))
i∈I
=
Y
=
Y
ψ 0 (ϕi (f (i)))
i∈I
ψi (f (i))
i∈I
= ψ (f )
Se sigue que ψ 0 = ψ y el teorema queda demostrado.
Al teorema anterior se le suele llamar propiedad universal del producto
débil de grupos abelianos.
La siguiente proposición establece que el teorema 3.12 caracteriza el producto débil de grupos abelianos.
Proposición 3.13. Sea {Gi }i∈I una colección de grupos abelianos y G su
producto débil. Sea G0 un grupo abeliano arbitrario y ϕ0i : Gi → G0 una
colección de homomorfismos tal que el teorema 3.12 sea válido al sustituir
G y ϕi respectivamente por G0 y ϕ0i , entonces existe un único isomorfismo
h : G → G0 tal que para cualquier i ∈ I el siguiente diagrama conmuta
ϕi
/G
~
~
~~
ϕ0i
~~
~~~ h
Gi
(2)
G0
Demostración. Por el teorema 3.12 tenemos que existe un homomorfismo
h que hace conmutar el diagrama 2. Por otra parte, el teorema 3.12 también
50
3.1
Producto Débil de Grupos Abelianos
se aplica a G0 y ϕ0i por las hipótesis de la proposición 3.13 ası́ que tenemos
el siguiente diagrama conmutativo
ϕ0i
/ G0
}
}
}}
ϕi
}} k
}
}~
Gi
(3)
G
Si unimos los diagramas 2 y 3 tenemos
0
G
}>
ϕi }}
}
h
}}
}}
Gi A ϕ0 / G0
AA i
AA
ϕi AAA k
>G
}}
}
}
k
}}
}}
Gi A ϕi / G
AA
AA
h
A
ϕ0i AA ϕ0i
G0
G
y por lo tanto los siguientes diagramas conmutan
ϕi
ϕ0i
/ G0
}
}}
ϕ0i
}}
}
h◦k
}~ }
/G
~
~~
ϕi
~~
~
k◦h
~~ ~
Gi
Gi
G0
G
Por otro lado, es claro que
ϕi
/G
~
~
~~
ϕi
~~ IdG
~
~~
Gi
G
conmuta. Y por la unicidad del teorema 3.12 tenemos que
kh = IdG
hk = IdG0
Con esto h posee una función inversa ası́ que h es un isomorfismo.
Observación 3.14. Puesto que cada ϕi es un monomorfismo, podemos identificar Gi con su imagen en G por ϕi , y considerar ϕi como una inclusión
cuando sea conveniente. Ası́ que en este caso diremos que G es el producto
débil de los grupos Gi entendiendose que ϕi es una inclusión.
51
3.2
3.2.
Grupos Abelianos Libres
Grupos Abelianos Libres
Definición 3.15. Sea G un grupo. Sea S ⊂ G. Se dice que S genera a G si
todo elemento de G puede escribirse como producto de potencias de elementos
de S. Además si S es finito diremos que G es finitamente generado.
Observación 3.16. Si G es un grupo, y S ⊂ G entonces S genera a G si y
sólo si S no está contenido en algún subgrupo propio de G.
mk
1 m2
Demostración. Sea hSi = {sm
1 s2 · · · sk : mi ∈ Z, si ∈ S, k ∈ N}
Supongamos que existe un subgrupo propio H de G tal que S ⊂ H. Por
las propiedades de ceradura bajo producto e inversos de H tenemos que
hSi ⊂ H
como H es propio de G tenemos que existe g ∈ G tal que g 6∈ hSi ası́ que g no
se puede escribir como producto de potencias de elementos de S y entonces
S no genera a G.
Ahora supongamos que S no genera a G entonces hSi =
6 G y es claro que
S ⊂ hSi y además que hSi es un subgrupo de G ası́ que ya acabamos.
Ejemplo 3.17. Si G es un grupo cı́clico de orden n, a saber
G = xi : i ∈ Z, xn = 1
entonces {x} genera a G.
Si el conjunto S genera a un grupo G, cierto producto de elementos de S
pueden dar el neutro de G, por ejemplo
a) si x ∈ S entonces xx−1 = 1.
b) si G es un grupo cı́clico de orden n generado por {x} entonces xn = 1.
a un producto de elementos de S que sea igual al neutro se le llama
una relación entre elementos del conjunto generador S. Podemos distinguir
entre dos tipos de relaciones, triviales y no triviales, las primeras que son
consecuencias de los axiomas de grupo como en a), y las no triviales que son
las que dependen de la estructura del grupo G como en b).
Estas observaciones nos llevan a la ”definición”siguiente, si S es un conjunto generador de G decimos que G está libremente generado por S si todas
las relaciones entre los elementos de S son triviales.
52
3.2
Grupos Abelianos Libres
También estas nociones nos llevan a la idea de que podemos determinar
completamente un grupo por los elementos de un conjunto generador y las
relaciones no triviales entre ellos.
Para poder dar una definición precisa de la idea anterior, nos basaremos
en las siguientes observaciones
Observación 3.18.
1. Sea S un conjunto de generadores de G y f : G →
G0 un epimorfismo, entonces el conjunto f (S) es un conjunto generador
de G0 , además cualquier relación de G entre los elementos de S es
tambien una relación en G0 entre los elementos de f (S), ası́ que G0
satisface al menos tantas relaciones como G.
2. Sea S un conjunto generador de G y f : G → G0 un homomorfismo. entonces f está completamente determinado por su restricción al
conjunto S, sin embargo, es falso que toda aplicación g : S → G0 pueda extenderse a un homomorfismo f : G → G0 , ya que puede que g
no “mande” la identidad en la identidad (suponiendo que la identidad
fuese un elemento de S).
Ahora daremos la definición de grupo abeliano libre.
Definición 3.19. Sea S un conjunto arbitrario. Uno grupo abeliano libre
sobre un conjunto S es un grupo abeliano F junto con una función ϕ : S → F
tal que para cualquier grupo abeliano A y para cualquier función ψ : S → A
existe un único homomorfismo f : F → A que hace conmutar el siguiente
diagrama
ϕ
/F
~
~
~
ψ
~~
~~ f
S
A
Demostraremos que esta definición caracteriza efectivamente a los grupos
abelianos libres sobre un conjunto S dado.
Proposición 3.20. Sean F y F 0 grupos abelianos libres sobre un conjunto
S respecto a las funciones ϕ : S → F y ϕ0 : S → F 0 respectivamente.
Entonces existe un único isomorfismo h : F → F 0 que además hace conmutar
el diagrama siguiente
53
3.2
Grupos Abelianos Libres
ϕ
/F
}
}}
ϕ0
}}h
}
~}
S
F0
Demostración. De las definiciónes de que F, F 0 son grupos abelianos libre
sobre S respecto a ϕ y ϕ0 respectivamente, tenemos que
ϕ
ϕ0
/ F0
~
~~
ϕ
~~
~
~~ ~ k
/F
~
~~
ϕ0
~~
~
h
~~ ~
S
S
F0
F
para algunas funciones h, k.
A partir de estos diagramas tenemos que los diagramas siguientes conmutan
ϕ
/F


ϕ


  k◦h
S
ϕ0
/ F0
}
}}
ϕ0
}}
}
k◦h
}~ }
S
F0
F
Pero la funcion identidad en F y F 0 respectivamtente tambien hacen
conmutar dichos diagramas y por la unicidad se sigue que k ◦h = IdF , h◦k =
IdF 0 asi que en particular h es el isomorfismo buscado.
Hasta ahora simplemente hemos dado una definición; dado un conjunto
S no sabemos si existe algún grupo abeliano libre sobre S además no sabemos si la función ϕ es inyectiva ni que F está generada por ϕ (S). Ası́ que
mostraremos primero que ϕ (S) genera a F .
Proposición 3.21. Si F es un grupo abeliano libre sobre S con respecto a
ϕ entonces F está generado por ϕ (S).
Demostración. Es claro que el diagrama siguiente conmuta
ϕ
/ hϕ (S)i
x
xx
ϕ
xx
x
x{ xx i
S
(4)
F
54
3.2
Grupos Abelianos Libres
donde i : hϕ (S)i → F es la función inclusión. Por otro lado, F es un
grupo abeliano libre, ası́ que existe un homomorfismo f : F → hϕ (S)i tal
que el siguiente diagrama conmuta
ϕ
/
xF
x
x
xx
xxf
x
{x
S
ϕ
(5)
hϕ (S)i
Por los diagramas 4 y 5 tenemos
x< F
xx
x
f
xx
xx
xx
hϕ (S)i
FF
FF
FF
i
ϕ FFF
F# ϕ
S
F
además la función identidad IdF también hace conmutar este diagrama
ası́ que if = IdF ası́ que i es sobreyectiva y entonces i = IdF y luego
F = hϕ (S)i.
Consideremos la siguiente situación, si {Si }i∈I es una familia no vacı́a
de subconjuntos de S ajenos dos a dos, cuya unión es S mismo, además,
para cada i ∈ I, Fi es un grupo abeliano libre sobre Si respecto a la función
ϕi : Si → Fi . Sea F el producto débil de los grupos Fi denotemos por ηi
al monomorfismo natural de Fi a F . Como {Si }i∈I son ajenos por pares,
podemos definir ϕ : S → F de la siguiente manera,
ϕ|Si = ηi ϕi
Proposición 3.22. Bajo las hipótesis anteriores, F es un grupo abeliano
libre sobre S respecto a ϕ.
Demostración. Sea A un grupo abeliano arbitrario y ψ : S → A una función
cualquiera. Para cada ı́ndice i ∈ I definimos
ψi = ψ|Si
55
3.2
Grupos Abelianos Libres
ahora como por la hipótesis Fi es un grupo abeliano libre sobre Si existe un
único homomorfismo fi : Fi → A tal que el diagrama siguiente conmuta para
cada i ∈ I
ϕi
/ Fi
(6)
Si
~
~~
~
~
~~~ fi
ψi
A
por el teorema 3.12 existe un único homomorfismo f : F → A tal que
para cualquier i ∈ I se tiene que el diagrama siguiente conmuta
ηi
/F
~
~
~~
fi
~~ f
~
~
Fi
(7)
A
de los diagramas 6 y 7 y del hecho de que ϕ|Si = ηi ◦ ϕi y ψi = ψ|Si
obtenemos el siguiente diagrama conmutativo
ψ|S
i
ϕ|S
/F
~
~
~~
~~ f
~
~
Si
i
A
Dado que S =
S
Si tenemos que el diagrama siguiente conmuta
i∈I
ϕ
/F
~
~
~
ψ
~~
~ ~ f
S
A
Sólo nos falta probar la unicidad de esta f . Sea f 0 : F → A tal que el
diagrama conmuta
ϕ
/F
~
~~
ψ
~~f 0
~
~
S
A
56
3.2
Grupos Abelianos Libres
Definimos fi0 : Fi → A por fi0 = f 0 ◦ ηi , luego tenemos que el diagrama
siguiente conmuta
ϕi
/ Fi
Si
ψi
~
~~
~
~ 0
~~~ fi
A
ya que
fi0 ϕi =
=
=
=
=
f 0 ηi ϕi
f 0 ϕ|Si
f 0 ϕ|Si
ψ|Si
ψi
Ahora dado que Fi es un grupo abeliano libre sobre Si respecto a ϕi , tenemos
que fi0 es único tal que el diagrama anterior conmuta y por (6) tenemos que
fi = fi0 para cada i ∈ I y además el diagrama siguiente conmuta
ηi
/F
~
~
~~
fi =fi0
~~ f 0
~
~
Fi
A
0
fi0
luego obtenemos que f = f por la unicidad en (7) pues habı́amos definido
= f 0 ◦ ηi .
La proposición anterior significa que el producto débil de una colección
de grupos abelianos libres es un grupo abeliano libre. Vamos a utilizar este
teorema para demostrar la existencia de un grupo abeliano libre sobre S.
Supongamos que
S = {xi }i∈I
y definimos Si el subconjunto de S con un sólo elemento
Si = {xi }
sea Fi el grupo cı́lico infinito formado por todas las potencias de xi
Fi = {xni : n ∈ Z}
denotemos por ϕi : Si → Fi a la inclusión, esto es, ϕi (xi ) = x1i .
57
3.2
Grupos Abelianos Libres
Proposición 3.23. Fi es un grupo abeliano libre sobre Si .
Demostración. Sean i ∈ I fijo, A un grupo abeliano y ψi : Si → A una
función. Definimos fi : Fi → A de la siguiente manera
m
fi (xm
i ) = ψi (xi )
fi es un homomorfismo pues
m+n
n
fi (xm
i xi ) = f i xi
= ψi (xi )m+n
= ψi (xi )m ψi (xi )n
n
= fi (xm
i ) fi (xi )
Veamos que fi hace conmutar el diagrama
ϕi
/ Fi
~
~~
ψi
~~fi
~
~~
Si
A
fi ◦ ϕi (xi ) = fi x1i
= ψi (xi )
Probamos ahora la unicidad de fi . Sea fi0 : Fi → A un homomorfismo que
haga conmutar el diagrama. Entonces
fi0 ◦ ϕi = ψi
⇒ fi0 (xi ) = ψi (xi )
m
m
0
m
⇒ fi0 (xm
i ) = fi (xi ) = ψi (xi ) = fi (xi )
para cada xm
i ∈ Fi con lo que probamos la unicidad.
Corolario 3.24.
S El producto débil F de los grupos Fi es un grupo abeliano
libre sobre S =
Si respecto a ϕ.
i∈I
Demostración. Es un resultado directo de la proposición 3.22 y la proposición 3.23.
58
3.2
Grupos Abelianos Libres
Observese que el cardinal de I es el mismo que el cardinal de S, esto
significa que F es el producto débil de tantas copias de Z como elementos
tenga S.
Ahora probaremos que ϕ es inyectiva. Tenemos que ϕ|Si = ηi ◦ ϕi .
Sea xi ∈ S, luego
ϕ (xi ) = ηi ◦ ϕi (xi ) = ηi (xi )
entonces
ϕ (xi )j = ηi (xi )j =
x1i si i = j
x0j si i 6= j
Ahora sean xi , xj ∈ S tales que xi 6= xj entonces
ϕ (xi )j = x0j 6= x1j = ϕ (xj )j
asi que ϕ (xi ) 6= ϕ (xj ) entonces ϕ es uno a uno.
Como ϕ es inyectiva, podemos identificar a cada xi ∈ S con ϕ (xi ) ∈ F ,
entonces S se vuelve un subconjunto de F . Además es claro que podemos
expresar a cada elemento g 6= 1 de F de manera única, salvo el orden de los
factores de la forma
g = xnii1 xni22 · · · xnikk
donde los ı́1 , i2 , . . . , ik son distintos y n1 , n2 , ..., nk son todos enteros distintos
de cero.
Observamos que si F 0 es otro grupo abeliano libre sobre S respecto a
la función ϕ0 : S → F 0 , entonces ésta es también inyectiva ya que por la
proposición 3.20 tenemos que existe un isomorfismo h tal que el siguiente
diagrama conmuta
ϕ
/F
}
}}
ϕ0
}}h
}
~}
S
F0
de aquı́ ϕ0 = ϕ ◦ h entonces ϕ0 es inyectiva.
Recapitulando lo anterior tenemos el siguiente teorema.
Teorema 3.25. Dado un grupo abeliano libre F sobre un conjunto S respecto
a una función ϕ : S → F , entonces F es isomorfo a un producto débil de
grupos cı́clicos infinitos, ϕ es inyectiva y además ϕ (S) genera a F .
59
3.2
Grupos Abelianos Libres
Observación 3.26. Otra manera de abordar el tema de los grupos abelianos
libres serı́a decir que un grupo abeliano F es libre sobre el conjunto S =
{si }i∈I ⊂ F si todo elemento g 6= 1 de F admite una expresión de la forma
g = xnii1 xni22 · · · xnikk
única salvo el orden de los factores. Aunque es más fácil de enunciar nos
conviene más la otra.
Una razón para la importancia de los grupos abelianos libres es la siguiente
Proposición 3.27. Todo grupo abeliano es imagen homomorfa de un grupo
abeliano libre; es decir, dado un grupo abeliano A existe un grupo abeliano
libre F y un epimorfismo f : F → A.
Demostración. Sea S un conjunto generador de A (podrı́amos tomar por
ejemplo S = A) y sea F un grupo abeliano libre sobre S respecto a la función
ϕ : S → F entonces existe un homomorfismo f que hace conutar el siguiente
diagrama
ϕ
/F
~
~
~
i
~~f
~
~
S
A
donde i es la función inclusión, probamos que f es sobreyectiva.
Sea a ∈ A entonces existen x1 , x2 , ..., xk ∈ S y m1 , m2 , ..., mk ∈ Z tales
mk
1 m2
que a = xm
sea g = ϕ (x1 )m1 ϕ (x2 )m2 · · · ϕ (xk )mk ∈ F luego
1 x 2 · · · xk
f (g) =
=
=
=
=
f (ϕ (x1 )m1 ϕ (x2 )m2 · · · ϕ (xk )mk )
f (ϕ (x1 ))m1 f (ϕ (x2 ))m2 · · · f (ϕ (xk ))mk
i (x1 )m1 i (x2 )m2 · · · i (xk )mk
mk
1 m2
xm
1 x2 · · · x k
a
entonces f es un epimorfismo.
Gracias a la proposición anterior podemos dar la siguiente
60
3.2
Grupos Abelianos Libres
Definición 3.28. Sean A un grupo abeliano, S un conjunto generador de A,
F un grupo abeliano libre sobre S y f : F → A un epimorfismo, entonces
a los elementos de ker f − {1} se le llaman relaciones no triviales entre S.
Si {ri }i∈I es una colección de relaciones no triviales entre S y si r ∈ hri ii∈I
entonces se dice que la relación r es consecuencua de las relaciones ri .
Observación 3.29. Si la colección {ri }i∈I genera a ker f entonces el grupo
A está completamente determinado, salvo isomorfismos, por el conjunto generador S y el conjunto de relaciones {ri }i∈I pues A es isomorfo al grupo
cociente F hri ii∈I .
Si S, S 0 son conjuntos con el mismo cardinal y F, F 0 son grupos abelianos
libres sobre S y S 0 respectivamente, entonces F y F 0 son isomormos, esto se
debe a que cada uno de ellos es isomorfo al producto débil de tantas copias
de Z como elementos tenga S o de igual manera, S 0 . Veamos que, en el caso
finito, el recı́proco es tambien cierto, para ello primero pasaremos por la
siguiente
Definición 3.30. Si G es un grupo y n ∈ N, definimos Gn como el conjunto
generado por {g n : g ∈ G}, en otras palabras
Gn = h{g n : g ∈ G}i
Observación 3.31. En la definición anterior, si G es abeliano, entonces es
claro que {g n : g ∈ G} es un subgrupo y por lo tanto Gn = {g n : g ∈ G}.
Lema 3.32. Sea F un grupo abeliano libre sobre un conjunto de k elementos
entonces F F n es un grupo finito de orden nk .
Demostración. Si
F = {xp11 · · · xpkk : p1 , ..., pk ∈ Z}
entonces
F n = {(xp11 · · · xpkk )n : p1 , ..., pk ∈ Z}
Sea aF n ∈ F F n entonces aF n = (xp11 · · · xpkk ) F n ; por el algoritmo de la
división tenemos que pi = qi n + ri con 0 ≤ ri < n de aquı́
xp11 · · · xpkk = xq11 n+r1 · · · xqkk n+rk
= (xr11 · · · xrkk ) (xq11 n · · · xqkk n )
= (xr11 · · · xrkk ) (xq11 · · · xqr )n
61
3.2
Grupos Abelianos Libres
además (xq11 · · · xqr )n ∈ F n por lo que aF n = (xr11 · · · xrkk ) F n . Ahora si
probamos que los elementos de {(xr11 · · · xrkk ) F n : 0 ≤ ri < n} son distintos
entre sı́ habremos terminado.
Supongamos que (xr11 · · · xrkk ) F n = (xs11 · · · xskk ) F n con 0 ≤ ri , si < n para
toda i = 1, ..., k entonces
(xr11 · · · xrkk ) (xs11 · · · xskk )−1 ∈ F n
luego
(xr11 · · · xrkk ) (xs11 · · · xskk )−1 = xt11 · · · xtkk
n
∈ Fn
ntk
1
ası́ que xr11 −s1 · · · xrkk −sk = xnt
1 · · · xk . Como estamos suponiendo que los xi
son distintos, nti = ri − si . Se sigue de las restricciones de ri y de si que
|ri − si | < n pues 0 ≤ ri < n implica que −n < −ri ≤ 0 y también sabemos
que 0 ≤ si < n sumando estas desigualdades tenemos −n < si − ri < n lo
que implica que |ri − si | < n, además |ri − si | = |nti | entonces |nti | < n y
entonces ti = 0 y se concluye que ri = si .
Corolario 3.33. Sean S y S 0 conjuntos finitos de distinto cardinal, y F y
F 0 grupos abelianos libres sobre S y S 0 respectivamente, entonces F y F 0 no
son isomorfos.
Demostración. Supongamos que F y F 0 son isomorfos, luego veamos que
|F F n | = |F 0 F 0n |, pues si h : F → F 0 es un isomorfismo, consideremos la
composición π ◦ h : F → F 0 F 0n , donde π (f 0 ) = f 0 F 0n para cada f 0 ∈ F 0 .
Probaremos que ker π ◦ h = F n . Sea x ∈ ker π ◦ h entonces π ◦ h (x) =
F 0n entonces h (x) ∈ F 0n luego h (x) = x0n para algún x0 ∈ F 0 luego x =
h−1 (x0n ) = h−1 (x0 )n con h−1 (x0 ) ∈ F se sigue que x ∈ F n . Recı́procamente,
sea x ∈ F n entonces h (x) ∈ F 0n y luego π ◦h (x) = F 0n entonces x ∈ ker π ◦h;
entonces F F n F 0 F 0n son isomorfos, en particular, |F F n | = |F 0 F 0n | y
0
por el lema 3.32 n|S| = n|S | luego |S| = |S 0 | lo cual contradice la hipótesis.
Definición 3.34. Sea F un grupo abeliano libre sobre un conjunto S, definimos el rango de F como el cardinal de S.
Hemos probado que, en caso finito, dos grupos abelianos libres son ismorfos si y sólo si tienen el mismo rango.
Definición 3.35. Sea G un grupo abeliano, definimos su subgrupo de torsión
como
tG = {x ∈ G : ∃n ∈ Z \ {0} tal que nx = 0}
62
3.2
Grupos Abelianos Libres
además, si tG = G decimos que G es de torsión y si tG = {0} decimos que
G es libre de torsión.
Observación 3.36. el subgrupo de torsión tG sı́ es en realidad un subgrupo
de G.
Demostración. Sean x1 , x2 ∈ tG entonces existen n1 , n2 ∈ Z ambos distintos de cero, tales que
n1 x1 = 0
n2 x2 = 0
veamos que x1 − x2 ∈ tG. Sea n = n1 n2 6= 0 entonces
n (x1 − x2 ) =
=
=
=
nx1 − nx2
n2 (n1 x1 ) − n1 (n2 x2 )
n2 (0) − n1 (0)
0
Proposición 3.37. El grupo cociente GtG es libre de torsión
Demostración. Supongamos que n (g + tG) = ng + tG = tG para algún
n 6= 0 entonces ng ∈ tG luego por definición, existe m 6= 0 tal que mng = 0
y como mn 6= 0 se tiene que g ∈ tG luego g + tG = tG entonces t (GtG) =
{tG} ası́ que GtG es libre de torsión.
Observación 3.38. Sean G y G0 grupos abelianos isomorfos, entonces tG ∼
=
0
0
0
∼
tG y GtG = G tG .
Demostración. Supongamos que h : G → G0 es un isomorfismo, sea h0 :
tG → tG0 dada por h0 (g) = h (g) está bien definida ya que si ng = 0 entonces
nh0 (g) = 0, además es inyectiva pues ker h0 ⊂ ker h = {0} veamos que es
sobreyectiva, sea g 0 ∈ tG0 entonces, por un lado ng 0 = 0 para alguna n ∈ Z,
y por otro lado, existe g ∈ G tal que h (g) = g 0 veamos que g ∈ tG.
nh (g) = nh (g) = n (g 0 ) = 0
y de la inyectividad de h, ng = 0 en otras palabras, g ∈ tG.
63
3.2
Grupos Abelianos Libres
Ahora veamos que GtG ∼
= G0 tG0 . sea h : G → definida por h (g) =
h (g) + tG0 es sobreyectiva, pues es la composición de h y la proyección
canónica π : G0 → G0 tG0 , ambas son sobreyectivas, si probamos que ker h =
tG ya habremos terminado por el primer teorema del isomorfismo, para ello,
sea g ∈ ker h entonces h (g) = tG0 y por definición, h (g) = h (g) + tG0 ası́ que
h (g) ∈ tG0 y ya que h es biyectiva, g ∈ h−1 (tG0 ) = tG. Recı́procamente, si
g ∈ tG entonces h (g) ∈ tG y entonces h (g) = tG0 y luego g ∈ ker h.
El recı́proco de la observación anterior no es cierta en general, no podemos
afirmar que G es isomorfo a G0 si tG ∼
= tG0 y GtG ∼
= G0 tG0 . Sin embargo,
para grupos abelianos finitamente generados tenemos el siguiente teorema
que nos describe completamente su estructura.
Teorema 3.39. a) Sea A un grupo abeliano finitamente generado y T su
subgrupo de torsión. Entonces T y AT también son finitamente generados, además A es isomorfo al producto directo T × AT . Por lo
tanto, la estructora de A está completamente determinada por su subgrupo de torsión y de su grupo cociente libre de torsión.
b) Todo grupo abeliano finitamente generado libre de torsión es un grupo
abeliano libre de rango finito.
c) Todo grupo abeliano de torsión T finitamente generado es isomorfo a un
producto C1 ×C2 ×· · ·×Cn , donde Ci es un grupo cı́clico finito de orden
εi además para cada i, εi divide a εi+1 . Además los enteros εi están
unı́vocamente determinados por el grupo de torsión T y determinan
completamente su estructura.
Demostración. La prueba se puede encontrar en [2] pág. 88, 184.
A los enteros εi del teorema anterior se le llaman coeficientes de torsión
de T y más en general, si T es el grupo de torsión de A, se denominan
coeficientes de torsión de A. Análogamente, el rango del grupo libre AT se
le llama rango de A.
El teorema anterior también nos asegura que todo grupo abeliano finitamente generado es un producto directo de grupos cı́clicos, pero nos dice más,
Obsérvese que un grupo de torsión finitamente generado es de orden finito.
Teorema 3.40. Sea F un grupo abeliano libre sobre el conjunto S y F 0
un subgrupo de F . Entonces F 0 es un grupo abeliano libre sobre un cierto
conjunto S 0 y el cardinal de S 0 es menor o igual que el de S.
64
3.2
Grupos Abelianos Libres
Demostración. Se puede encontrar la prueba en [2] pág. 183.
Aun que las demostraciones de los teoremas 3.39 y 3.40 no son dificiles,
no las probaremos por que pertenecen propiamente al estudio del álgebra
lineal y módulos sobre un anillo de ideales principales.
65
3.3
3.3.
Producto Libre de Grupos
Producto Libre de Grupos
El producto libre de una colección grupos arbitrarios es lo análogo al
producto débil de una colección de grupos abelianos.
En esta sección todo grupo considerado puede o no ser abeliano, al menos
que se especifique lo contrario.
Definición 3.41. Sea {Gi }i∈I una colección de grupos y G un grupo y
supongamos que para cada ı́ndice i ∈ I tenemos un homomorfismo ϕi : Gi →
G entonces diremos que G es el producto libre de los grupos Gi con respecto
a los homomorfismos ϕi si para cualquier grupo H y cualquier colección de
homomorfismos {ψi : Gi → H}i∈I existe un único homomorfismo f : G → H
tal que para todo i ∈ I el siguiente diagrama es conmutativo
ϕi
/G
~
~~
ψi
~~
~
f
~~ ~
Gi
H
Proposición 3.42. Supongamos que G y G0 son productos libres de una
colección {Gi }i∈I de grupos respecto la los homomorfismos ϕi : Gi → G y
ϕ0i : Gi → G0 respectivamente. Entonces existe un único isomorfismo h : G →
G0 tal que hace conmutar el siguiente diagrama para cada i ∈ I
ϕi
/G
~
~
~~
ϕ0i
~~ h
~
~~
Gi
G0
Demostración. La demostración es análoga al teorema 3.13.
Aunque hemos definido el producto libre de grupos y demostrado su unicidad aún falta probar su existencia.
También probaremos que los homomorfismos ϕi dados en la definición
de producto libre son monomorfismos y además podemos saber más sobre el
producto G, éste está generado por la unión de las imágenes ϕi (Gi ).
Teorema 3.43. Dada una colección de grupos {Gi }i∈I siempre existe su
producto libre.
66
3.3
Producto Libre de Grupos
Demostración. Definimos una palabra en la colección
{Gi }i∈I como una
S
sucesión finita (x1 , x2 , ..., xn ) donde cada xk ∈
Gi , (notemos que es una
i∈I
unión ajena), además dos terminos consecutivos de la sucesión pertenecen a
distintos grupos y no aparecen los términos neutros de algún Gi , a esta n le
llamaremos longitud de la palabra.
Consideremos también la palabra vacı́a, es decir, la de longitud cero y la
denotaremos ().
Denotamos W al conjunto de todas las palabras.
Para cada i ∈ I definiremos la siguiente acción ·i : Gi × W → W
Si x1 6∈ Gi entonces definimos
(g, x1 , x2 , ..., xn ) si g 6= 1i
g ·i (x1 , x2 , ..., xn ) =
(x1 , x2 , ..., xn )
si g = 1i
(g) si g 6= 1i
g ·i () =
() si g = 1i
ahora si x1 ∈ Gi entonces
(gx1 , x2 , ..., xn ) si g 6= 1i
(x2 , ..., xn )
si gx1 = 1i
g ·i (x1 ) = () si gx1 = 1i
g ·i (x1 , x2 , ..., xn ) =
veamos que ·i es efectivamente una acción, para ello haremos un exámen
exhaustivo de los distintos casos.
Primero veamos que
1i ·i w = w para cada w ∈ W
(8)
Si w = () entonces por definición 1i ·i w = w.
Ahora supongamos que w = (x1 , x2 , ..., xn ) entonces consideramos los
siguientes dos casos.
Si x1 6∈ Gi entonces
1i ·i (x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , x2 , ..., xn )
Ahora si x1 ∈ Gi entonces
1i ·i (x1 , x2 , ..., xn ) = (1i x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , x2 , ..., xn )
Ahora probemos que (gg 0 ) ·i w = g (g 0 ·i w)
67
3.3
Producto Libre de Grupos
Si g = g 0 = 1i tenemos
(gg 0 ) ·i w = 1i ·i w = 1i ·i (1i ·i w) = g ·i (g 0 ·i w)
la última igualdad se da por (8).
Si g = 1 y g 0 6= 1
(gg 0 ) ·i w = g 0 ·i w = 1i ·i (g 0 ·i w) = g ·i (g 0 ·i w)
la última igualdad se da por (8).
Si g 6= 1 y g 0 = 1
(gg 0 ) ·i w = g ·i w = g ·i (1i ·i w) = g ·i (g 0 ·i w)
la última igualdad se da por (8).
Si g 6= 1 y g 0 6= 1 analizaremos varios casos; primero consideremos la
palabra vacı́a, w = ()
(gg 0 ) si gg 0 6= 1i
0
(gg ) ·i w =
() si gg 0 = 1i
por otra parte,
0
0
g ·i (g ·i w) = g ·i (g ) =
(gg 0 ) si gg 0 6= 1i
() si gg 0 = 1i
ahora si w = (x1 ), si x1 6∈ Gi
0
(gg ) ·i w =
(gg 0 , x1 ) si gg 0 6= 1i
(x1 ) si gg 0 = 1i
por otra parte,
0
0
g ·i (g ·i w) = g ·i (g , x1 ) =
(gg 0 , x1 ) si gg 0 6= 1i
(x1 ) si gg 0 = 1i
si x1 ∈ Gi tenemos
0
(gg ) ·i w =
(gg 0 x1 ) si gg 0 x1 6= 1i
() si gg 0 x1 = 1i
68
3.3
Producto Libre de Grupos
por otra parte,
0
g ·i (g ·i w) = g ·i
(g 0 x1 ) si g 0 x1 6= 1i
() si g 0 x1 = 1i

 (gg 0 x1 ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 6= 1i
(g) si g 0 x1 = 1i
=

() si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 = 1i

(gg 0 x1 ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 6= 1i

(gg 0 x1 ) si g 0 x1 = 1i y g ·i (g 0 ·i x1 ) 6= 1i
=

() si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 = 1i
(gg 0 x1 ) si gg 0 x1 6= 1i
=
() si gg 0 x1 = 1i y g 0 x1 6= 1i
Ahora consideremos una palabra de longitud n > 1, sea w = (x1 , x2 , ..., xn )
y supongamos que x1 6∈ Gi
(gg 0 , x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 6= 1i
0
(gg ) ·i w =
(x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 = 1i
por otra parte,
(gg 0 , x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 6= 1i
0
0
g ·i (g ·i w) = g ·i (g , x1 , x2 , ..., xn ) =
(x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 = 1i
De nuevo, si x1 ∈ Gi
0
(gg 0 x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 x1 6= 1i
(x2 , ..., xn ) si gg 0 x1 = 1i
(g 0 x1 , x2 , ..., xn ) si g 0 x1 6= 1i
(x2 , ..., xn ) si g 0 x1 = 1i
(gg ) ·i w =
por otra parte,
0
g ·i (g ·i w) = g ·i

 (gg 0 x1 , x2 , ..., xn ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 6= 1i
(g, x2 , ..., xn ) si g 0 x1 = 1i
=

(x2 , ..., xn ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 = 1i

 (gg 0 x1 , x2 , ..., xn ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 6= 1i
(gg 0 x1 , x2 , ..., xn ) si g 0 x1 = 1i y g 0 x1 = 1i
=

(x2 , ..., xn ) si g 0 x1 6= 1i , gg 0 x1 = 1i
(gg 0 x1 , x2 , ..., xn ) si gg 0 x1 6= 1i
=
(x2 , ..., xn ) si gg 0 x1 = 1i
69
3.3
Producto Libre de Grupos
Ası́ que ·i es una acción.
Además esta acción es libre para cada i ∈ I pues si g ∈ Gi es tal que
g ·i w = w para cada w ∈ W podemos tomar w = () y tenemos g ·i () = () y
entonces de la definición de la acción ·i tenemos que g = 1i , lo que significa
que efectivamente, la acción ·i es libre.
Ahora cada g ∈ Gi puede pensarse como una permutación en W y Gi
como un subconjunto del grupo de permutaciones de W que es lo que dice
la siguiente afirmación:
Sea Biy (W) = {θ : W → W : θ es biyectiva} el grupo de permutaciones
de W y consideremos las siguientes permutaciones
θg (w) = g ·i w
θg ∈ Biy (W) ya que
θg θg−1 (w) = θg g −1 ·i w = g ·i g −1 ·i w = gg −1 ·i w = w
θg−1 θg (w) = θg−1 (g ·i w) = g −1 ·i (g ·i w) = g −1 g ·i w = w
Ahora para cada i ∈ I sea ϕi : Gi → Biy (W) dado por
ϕi (g) = θg
estas funciones son monomorfismos:
ϕi es homomorfismo Sean g1 , g2 ∈ Gi y w ∈ W entonces
θg1 g2 (w) = (g1 g2 ) ·i w = g1 ·i (g2 ·i w) = g1 ·i θg2 (w) = θg1 ◦ θg2 (w)
ϕi es inyectiva Sea g ∈ Gi tal que ϕi (g) = θg = IdW ası́ que
θg (w) = g ·i w = w ∀w ∈ W
y como la acción es libre se tiene que g = 1i .
S
Sea G =
ϕi (Gi ) es claro que G es un subgrupo de Biy (W) y todo
i∈I
S
elemento de G es producto de potencias de elementos de
ϕi (Gi ); además
i∈I
si dos elementos consecutivos están en el mismo grupo podemos reemplazarlo
70
3.3
Producto Libre de Grupos
por un sólo factor, ası́ todo elemento no neutro puede ser expresado en forma
reducida, es decir, no hay dos factores en el mismo grupo y no aparece ningun
elemento neutro de ellos. Además afirmamos que tal expresiónes única:
Supongamos que θ = θg1 · · · θgm = θh1 · · · θhn donde ambas expresiones
son reducidas, entonces
θ () = (g1 , . . . , gm ) = (h1 , ..., hn )
ası́ que m = n y además gi = hi en otras palabras, la expresión es única.
Afirmamos que G es el producto libre de los {Gi }i∈I con respecto a los
monomorfismos {ϕi }i∈I
Sea H un grupo arbitrario y {ψi : Gi → H}i∈I . Definimos f : G → H de
la siguiente manera. Si θ = θg1 · · · θgm ∈ G, donde θ 6= 1, θgk ∈ ϕgk (Gik ) ∀
k = 1, ..., m está en forma reducida definimos
f (θ) = (ψi1 (g1 )) · · · (ψim (gm ))
f (1) = 1
f está bien definida pues la forma reducida es única ∀θ ∈ G, θ 6= 1.
Veamos que f es un homomorfismo. Sean θ1 y θ2 ∈ G donde
θ1 = θg1 · · · θgm , gk ∈ Gik ∀ k = 1, ..., m
θ2 = θgm+1 · · · θgn , gk ∈ Gik ∀ k = m + 1, ..., n
son sus formas reducidas entonces
f (θ1 ) f (θ2 ) = (ψi1 (g1 )) · · · (ψim (gm )) ψim+1 (gm+1 ) · · · (ψin (gn ))
Consideremos 2 casos, primero si im 6= im+1 entonces
f (θ1 ) f (θ2 ) = f θg1 · · · θgm θgm+1 · · · θgn = f (θ1 θ2 )
ahora si im = im+1
f (θ1 ) f (θ2 ) = (ψi1 (g1 )) · · · (ψim (gm )) ψim+1 (gm+1 ) · · · (ψin (gn ))
= (ψi1 (g1 )) · · · (ψim (gm )) ψim+1 (gm+1 ) · · · (ψin (gn ))
= (ψi1 (g1 )) · · · (ψim (gm gm+1 )) ψim+2 (gm+2 ) · · · (ψin (gn ))
71
3.3
Producto Libre de Grupos
si im 6= im+2 obtenemos
f (θ1 ) f (θ2 ) = f θg1 · · · θgm gm+1 θgm+2 · · · θgn
= f (θ1 θ2 )
en caso contrario repetimos el proceso como anteriormente.
Ahora veamos que f hace conmutar el diagrama para cada i ∈ I
ϕi
/G
~
~
~~
ψi
~~ f
~
~~
Gi
H
si g ∈ Gi entonces f (ϕi (g)) = f (θg ) = ψi (g).
Ahora f es único pues si suponemos que f 0 tambien hace conmutar el
diagrama anterior. Bastará con probar la igualdad para los elementos del
conjunto generador de G por ser f, f 0 homomorfismos. Sea θg ∈ G entonces
para algún i ∈ I
f 0 (θg ) = f 0 (ϕi (g)) = ψi (g) = f (ϕi (g))
ası́ que f es único y ası́ G es el producto libre de los {Gi }i∈I con respecto a
los monomorfismos {ϕi }i∈I .
Notemos que al ser ϕi monomorfismos podemos identificar a cada grupo
Gi con si imagen ϕi (Gi ) y considerar Gi como un subgrupo del prodcuto
libre G; entonces ϕ será considerada como una inclusión.
Observación 3.44. Los puntos más importantes a recordar de la demostración
del teorema 3.43 son los siguientes
1. Todo elemento g 6= 1 puede expresarse de manera única como un producto en forma reducida de los elementos de los grupos Gi .
2. Las reglas para multiplicar de tales productos en forma reducida son
obvias y naturales.
Ejemplo 3.45. Sean G1 , G2 grupos cı́clicos de orden 2 generados por x1
y x2 respectivamente, entonces todo elemento de su producto libre puede ser
expresado de manera única como productos de x1 y x2 de manera alternada,
por ejemplo algunos elementos tı́picos del producto libre son
x1 , x1 x2 , x1 x2 x1
72
3.3
Producto Libre de Grupos
x2 , x2 x1 , x2 x1 x2
hay que observar que los elementos x1 x2 y x2 x1 son de orden infinito.
Podemos notar una gran diferencia entre su prodcuto directo y su producto
libre, ya que su producto directo es el 4-Grupo de Klain, que es abeliano y de
orden 4, mientras que el producto libre tiene orden infinito y no es abeliano.
Q? De ahora en adelante denotaremos al producto libre de {Gi }i∈I como
i∈I Gi , o bien G1 ? G2 ? G3 ? · · · Gn para una cantidad finita.
73
3.4
3.4.
Grupos Libres
Grupos Libres
Como es de suponer, la definición de grupo libre es análoga a la de grupo
abeliano libre.
Definición 3.46. Sea S un conjunto arbitrario. Un grupo libre sobre el conjunto S (o grupo libre generado por S) es un grupo F junto con una función
ϕ : S → F tal que para cualquier grupo H y cualquier función ψ : S → H
existe un único homomorfismo f : F → H que hace conmutativo el siguiente
diagrama
ϕ
/F
~
~
~
ψ
~~
~~~ f
S
H
Exactamente como en los casos anteriores, esta definición caracteriza completamente un grupo libre como lo enuncia el siguiente resultado cuya demostración es análoga a la de la proposición 3.20.
Proposición 3.47. Sean F y F 0 dos grupos libres sobre el conjunto S respecto a las funciones ϕ : S → F y ϕ0 : S → F 0 respectivamente. Entonces existe
un único isomorfismo h : F → F 0 que hace conmutar el siguiente diagrama
ϕ
/F
}
}
}
ϕ0
}}h
}
}~
S
F0
Falta probar la existencia de un grupo libre sobre un conjunto S arbitrario
y establecer sus propiedades principales. Usaremos el mismo método que en
el caso de grupos abelianos libres.
S
Proposición 3.48. Supongamos que S =
Si , que los conjuntos Si son
i∈I
ajenos por pares, no vacı́os y para cada i ∈ I, sea Fi un grupo libre sobre
Si con respecto a una función ϕi : Si → Fi . Si F es el producto libre de los
grupos Fi con respecto a los monomorfismos ηi : Fi → F , ηi (g) = θg y si
definimos ϕ : S → F como ϕ|Si = ηi ◦ ϕi . Entonces F es el grupo libre sobre
el conjunto S respecto a la función ϕ.
74
3.4
Grupos Libres
Demostración. La demostración de esta proposición es idéntica a la proposición 3.22.
De manera intuitiva, la proposición 3.48 significa que el producto libre de
grupos libres es un grupo libre.
Aplicaremos ahora esta proposición para demostrar la existencia de grupos libres tal como se hizo en el caso de grupos abelianos libres.
Proposición 3.49. Sea S = {xi }i∈I y para cada i ∈ I sea Si = {xi } el
conjunto que sólo contiene al elemento xi . Denotemos por Fi al grupo cı́clico
infinito generado por xi
Fi = {xni : n ∈ Z}
y sea ϕi : Si → Fi la inclusión. Entonces Fi es un grupo libre sobre el conjunto
Si respecto a ϕi .
Demostración. Es completemante análoga a la demostración del caso abeliano.
Corolario 3.50. Dado un conjunto S existe su grupo libre.
Demostración. Aplicando las proposiciones 3.48 y 3.49 obtenemos que F
es un grupo libre sobre S con respecto a la función ϕ.
De lo conocido de productos libres sabemos que todo elemento g no neutro
puede expresarse de manera única de la forma reducida
g = xn1 1 xn2 2 · · · xnk k
donde los xi ∈ S y dos elementos consecutivos son siempre distintos y los ni
son enteros no nulos. A esta expresión le llamamos palabra reducida, y para
no tener excepciones, el elemento neutro estará representado por la palabra
vacı́a. Las reglas para formar inversos y productos son obvias.
Veamos ahora que ϕ definida anteriormente por ϕ|Si = ni ◦ϕi es inyectiva.
Sean xi , xj ∈ S tales que ϕ (xi ) = ϕ (xj ) entonces ηi (ϕi (si )) = ηj (ϕj (sj ))
entonces ηi (xi ) = ηj (xj ) esto implica por definición de ηi que θxi = θxj
además ambas son palabras en forma reducida en F ası́ que tienen que ser
la misma, ası́ que xi = xj .
Ahora probamos que F está generado por ϕ (S). Sea θ ∈ F θ 6= 1 entonces
si su expresión reducida es
θ = θg1 θg2 · · · θgn
75
3.4
Grupos Libres
k
donde cada gk ∈ Fik = hxik i ∀ k = 1, ..., n; en otras palabras, gk = xm
ik con
mk 6= 0 entonces
θ = θxm
1 θxm2 · · · θxmn
in
i
i
1
2
= θϕi (xi )m1 θϕi (xi )m2 · · · θϕin (xin )mn
1
1
2
2
m1
= ηi1 (ϕi1 (xi1 ) ) ηi2 (ϕi2 (xi2 )m2 ) · · · ηin (ϕin (xin )mn )
= ηi1 (ϕi1 (xi1 ))m1 ηi2 (ϕi2 (xi2 ))m2 · · · ηin (ϕin (xin ))mn
= ϕ (xi1 )m1 ϕ (xi2 )m2 · · · ϕ (xin )mn
y entonces hϕ (S)i = F .
Hemos demostrado que existe un grupo libre F sobre un conjunto dado
S respecto a una función particular ϕ que es inyectiva y que manda a S
a un conjunto generador de F . Si dieramos otro grupo libre sobre el mismo conjunto S respecto a otra función ϕ0 entonces por la proposición 3.47
obtendrı́amos que ϕ0 es también inyectiva y además hϕ0 (S)i = F 0 .
Concluı́mos esta sección estudiando la relación entre grupos libres y grupos abelianos libres. Recordamos que si x, y son elementos arbitrarios de un
grupo G, entonces [x, y] denota el elemento xyx−1 y −1 y se llama conmutador
de x con y. [G, G] denota el subgrupo de G generado por todos sus conmutadores y se llama subgrupo conmutador, se comprueba fácilmente que es
un subgrupo normal y el grupo cociente G [G, G] es abeliano, y no sólo
eso, si N es un subgrupo normal de G tal que GN es abeliano, entonces
[G, G] ⊂ N ; la prueba de esta afirmación se puede encontrar en [2] pág. 122.
Proposición 3.51. Sea F un grupo libre sobre S respecto a la función ϕ :
S → F y denotemos por π : F → F [F, F ] la proyección natural de F
sobre su grupo cociente. Entonces F [F, F ] es un grupo abeliano libre sobre
el conjunto S con respecto a la función π ◦ ϕ : S → F [F, F ].
Demostración. Sea A un grupo abeliano y ψ : S → A una función. Dado
que F es un grupo libre sobre S respecto a la función ϕ : S → F se tiene
la existencia de un único homomorfismo f : F → A tal que el diagrama
siguiente conmuta
ϕ
/F
~
(I) ~~
ψ
~~
~~ f
S
A
76
3.4
Grupos Libres
ahora definamos f¯ : F [F, F ] → A tal que
f¯ (a [F, F ]) = f (a)
veamos primero que está bien definido, supongamos que a [F, F ] = a0 [F, F ],
luego a (a0 )−1 ∈ [F, F ], observemos que cualquier elemento de [F, F ] es enviado al 1 bajo f , basta probarlo para los generadores de [F, F ]
f xyx−1 y −1 = f (x) f (y) f (x)−1 f (y)−1 = 1
pues A es abeliano. Luego
−1
−1
1 = f a (a0 )
= f (a) f (a0 )
y entonces f (a) = f (a0 ), y por lo tanto
f¯ (a [F, F ]) = f¯ (a0 [F, F ])
Ası́ que f¯ está bien definida.
Probemos que f¯ es un homomorfismo. Sean a [F, F ] , a0 [F, F ] ∈ F [F, F ]
entonces
f¯ (a [F, F ] a0 [F, F ]) =
=
=
=
f¯ (aa0 [F, F ])
f (aa0 )
f (a) f (a0 )
f¯ (a [F, F ]) f¯ (a0 [F, F ])
ası́ que f¯ es un homomorfismo; además hace conmutar el diagrama siguiente
por su misma definición
F
π
/
F [F, F ]
t
tt
f
tt
t
t ¯
tz tt f
(II)
A
y es el único con esa propiedad, pues supongamos que f 0 : F [F, F ] → A
también hace conmutar este diagrama luego para cada a ∈ F se tiene que
f 0 (a [F, F ]) = f (a) = f¯ (a [F, F ])
77
3.4
Grupos Libres
luego f 0 = f¯
Los dos diagramas anteriores inducen este diagrama conmutativo
π◦ϕ
S
ψ
/
F [F, F ]
t
tt
tt
t
t ¯
tz tt f
(III)
A
veamos que es f¯ es el único que hace conmutar el diagrama anterior (III),
supongamos que f˜ también lo hace conmutar, entonces para cada x ∈ S,
f˜ ◦ π (ϕ (x)) = ψ (x) = f (ϕ (x)), la segunda igualdad es por el diagrama (I)
y como ϕ (S) genera a F tenemos que f˜ ◦ π = f pero por el diagrama (II) f¯
es la única tal que f¯ ◦ π = f esto significa que f˜ = f¯ por lo tanto, F [F, F ]
es un grupo abeliano libre sobre S.
Corolario 3.52. Si F y F 0 son grupos libres sobre conjuntos finitos S y S 0
entonces F y F 0 son isomorfos si y sólo si tienen el mismo cardinal.
Demostración. Supongamos que F y F 0 son grupos libres isomorfos sobre los conjuntos S y S 0 respectivamente, digamos que h : F → F 0 es su
isomorfismo. Veamos que F [F, F ] y F 0 [F 0 , F 0 ] son isomorfos
F
h
/
F0
π
/ F 0 [F 0 , F 0 ]
Si probamos que ker (π ◦ h) = [F, F ] habremos terminado por el segundo teorema del isomorfismo; probemos la doble contención, sea xyx−1 y −1 ∈ [F, F ]
, entonces
h xyx−1 y −1 = h (x) h (y) h (x)−1 h (y)−1 ∈ [F 0 , F 0 ]
y entonces π ◦ h (xyx−1 y −1 ) = [F 0 , F 0 ] entonces xyx−1 y −1 ∈ ker (π ◦ h).
Recı́procamente, si a ∈ ker (π ◦ h) entonces π ◦ h (a) = [F 0 , F 0 ] ası́ que
h (a) ∈ [F 0 , F 0 ] = h{xyx−1 y −1 : x, y ∈ F 0 }i luego podemos expresar h (a) de
la siguiente forma
n
Y
−1
h (a) =
xi yi x−1
i yi
i=1
y luego
a=
n
Y
h−1 (xi ) h−1 (yi ) h−1 h−1 (xi )−1 h−1 (yi )−1 ∈ [F, F ]
i=1
78
3.4
Grupos Libres
y por la proposición 3.51 tenemos que F [F, F ] y F 0 [F 0 , F 0 ] son grupos
abelianos libres sobre S y S 0 respectivamente y luego por el corolario 3.33
tienen el mismo cardinal. La prueba recı́proca es idéntica a la de grupos
abelianos libres.
Definición 3.53. Si F es un grupo libre sobre S entonces definimos el rango
de F como el número cardinal de S.
El corolario 3.52 nos dice que el rango es un invariante de grupos, al
menos si el rango es finito, se puede mostrar también se cumple si el rango es
infinito, la prueba de esta afirmación es sólo aritmética, por lo que se omitirá.
79
3.5
3.5.
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
Empezamos con un resultado análogo a la proposición 3.27 para grupos
arbitrarios.
Proposición 3.54. Todo grupo es imagen homomórfica de un grupo libre.
Para ser precisos, si S es un conjunto arbitrario de generadores del grupo G
y F un grupo libre sobre S entonces la inclusión i : S → G determina un
epimorfismo de F a G.
Demostración. La prueba de esta proposición es análoga a la 3.27.
Esta proposición nos permite dar una definición de relación no trivial
entre generadores por un método análogo al de los grupos abelianos, la diferencia en es este caso general es que no cualquier subgrupo puede ser el núcleo
de un homomorfismo, sólo los grupos normales, ası́ que haremos una modificación en está definición.
Definición 3.55. Sea S un conjunto de generadores del grupo G y F un
grupo libre sobre S respecto a la función ϕ : S → F . Sea ψ : S → G la
inclusión y f : F → G el único homomorfismo tal que ψ = f ◦ ϕ, definimos
una relación entre los generadores de S para el grupo G como un elemento
no trivial r ∈ ker f .
ϕ
/F
~
~
~
ψ
~~
~~ f
S
G
Definición 3.56. Si tenemos {ri }i∈I una familia de relaciones entonces se
dice que una relación r es consecuencia de los {ri }i∈I si r pertenece al menor
subgrupo normal que contiene a los {ri }i∈I . Si cualquier relación es consecuencia de {ri }i∈I se dice que {ri }i∈I es un conjunto completo de relaciones.
En vista de la definición anterior es conveniente denotar por {ri }i∈I al
menor subgrupo normal que contiene a {ri }i∈I .
Si {ri }i∈I es un conjunto completo de relaciones, entonces ker f está completamente determinada por {ri }i∈I , ya que es la intersección de todos los
subgrupos normales que contienen a {ri }i∈I . Ası́ que G está completamente
determinado, salvo isomorfismos, por el conjunto generador S y el conjunto
{ri }i∈I pues G es isomorfo al cociente F {ri }i∈I .
80
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
Definición 3.57. Una presentación de un grupo G es un par S, {ri }i∈I
donde S es un conjunto generador de G y {ri }i∈I es un conjunto completo
de relaciones entre los generadores. La presentación se dice finita si tanto S
y I son finitos y el grupo G se llama de presentación finita si posee al menos
una presentación finita.
Nótese que culaquier grupo admite muchas presentaciones distintas, recı́procamente dadas dos presentaciones es, en general, difı́cil saber si los grupos
que definen son isomorfos.
Ejemplo 3.58. Un grupo cı́clico de orden n admite una presentación ({x} , xn ).
Demostración. Sea G un grupo cı́clico de orden n, digamos
G = x, x2 , x3 , . . . , xn = 1
entonces por lo sabido de grupos libres tenemos el siguiente diagrama conmutativo
ϕ
/ hϕ (x)i = F
S = {x}
ψ
o
f ooo
oo
o
o
o
ow ooo
G
donde ψ es la inclusión y f es un epimorfismo por laproposición
3.54. Como
k
F = hϕ (x)i es claro que F es el cı́clico infinito; y f ϕ (x) = xk Luego
ker f =
=
=
=
=
xk : f
n
ϕ (x)k
n
ϕ (x)k
n
ϕ (x)k
n
ϕ (x)k
xk = 1
o
: f ϕ (x)k = 1
: ∃m ∈ Z tal que f ϕ (x)
k
=x
nm
o
: ∃m ∈ Z tal que xk = xnm
o
: ∃m ∈ Z tal que k = mn
o
= hϕ (x)n i
ası́ una presentación para G es (x, ϕ (x)n ), o bien, abusando de la notación,
como lo haremos de ahora en adelante, aprovechando que ϕ es inyectiva
podemos escribir la presentación de G ası́ (x, xn ).
81
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
Proposición 3.59. Las presentaciones ({a, b} , baba−1 ) y ({a, c} , a2 c2 ) definen el mismo grupo.
Demostración. Sean F (a, b) y F (a, c) los grupos libres sobre los conjuntos
{a, b} y {a, c} respecto a ϕf y ϕg respectivamente. Definamos los homomorfismos f¯ : F (a, b) → F (a, c) y g : F (a, c) → F (a, b) de la siguiente forma.
Sean f : {a, b} → F (a, c) y g : {a, c} → F (a, b) por la siguiente regla
f (a)
f (b)
g (a)
g (c)
=
=
=
=
ϕg (a)
ϕg (c) ϕg (a)
ϕf (a)
ϕf (b) ϕf (a)−1
luego, por definición de F (a, b) y F (a, c) tenemos la existencia de únicos
f¯ : F (a, b) → F (a, c) y g : F (a, c) → F (a, b) que hacen conmutar el
siguiente diagrama
{a, b}
f
ϕf
/F
s
sss
s
s
s
ysss f¯
F (a, c)
(a, b)
{a, c}
g
ϕg
/F
s
sss
s
s
s
sy ss ḡ
(a, c)
F (a, b)
Afirmamos que f¯ y g son isomorfismos y uno es inverso del otro, vamos a
probarlo en los generadores
g f¯ (ϕf (a)) = g (f (a))
= g (ϕg (a))
= g (a)
= ϕf (a)
g f¯ (ϕf (b)) = g (f (b))
= g (ϕg (c) ϕg (a))
= g (ϕg (c)) g (ϕg (a))
= g (c) g (a)
= ϕf (b) ϕf (a)−1 ϕf (a)
= ϕf (b)
ası́ que g ◦ f¯ = Id
82
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
hagamos lo mismo para f¯ ◦ g
f¯ (g (ϕg (a))) =
=
=
=
f¯ (g (ϕg (c))) =
=
f¯ (g (a))
f¯ (ϕf (a))
f (a)
ϕg (a)
f¯ (g (c))
f¯ ϕf (b) ϕf (a)−1
= f¯ (ϕf (b)) f¯ ϕf (a)−1
= f (b) f (a)−1
= ϕg (c) ϕg (a) ϕg (a)−1
= ϕg (c)
luego f¯ ◦ g = Id con esto probamos que tanto f¯ como g son isomorfismos y
que son inversos uno del otro.
Ahora afirmamos que
ϕg (a) ϕg (c)2 = f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1
Note que
ϕg (a)2 ϕg (c)2 = ϕg (c)−1 f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 ϕg (c)
pues
ϕg (a)2 ϕg (c)2 = ϕg (c)−1 ϕg (c) ϕg (a) ϕg (a) ϕg (c) ϕg (a) ϕg (a)−1 ϕg (c)
= ϕg (c)−1 f (b) f (a) f (b) f (a)−1 ϕg (c)
= ϕg (c)−1 f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 ϕg (c)
luego ϕg (a)2 ϕg (c)2 ∈ f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 .
Ahora como ϕg (a)2 ϕg (c)2 es el mı̀nimo subgrupo normal que contiene
a ϕg (a)2 ϕg (c)2 entonces
ϕg (a)2 ϕg (c)2 ⊂ f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1
y como f¯ es un isomorfismo entonces
−1 −1 ¯
¯
f ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)
= f ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)
83
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
y con esto terminamos la primer contención, la otra es análoga,
f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 = ϕg (c)−1 ϕg (a)2 ϕg (c)2 ϕg (c)
ası́ que f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 ∈ ϕg (a)2 ϕg (c)2 y por la misma
razón anterior
f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 ⊂ ϕg (a)2 ϕg (c)2
y luego
f¯
ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1 ⊂ ϕg (a)2 ϕg (c)2
lo que prueba que
ϕg (a)2 ϕg (c)2 = f¯ ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1
lo que prueba nuestra afirmación. De manera análoga podemos probar que
−1 2
2
ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)
= g ϕg (a) ϕg (c)
por lo tanto, el subgrupo normal de F (a, b) generado por
ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1
; y el subgrupo normal de F (a, c) generado por
ϕg (a)2 ϕg (c)2
se corresponden por los isomorfismos f¯ y g. Entonces tenemos un isomorfismo
fˆ : F (a.b)
F (a, c)
→
ϕf (b) ϕf (a) ϕf (b) ϕf (a)−1
ϕg (a)2 ϕg (c)2
Note que la escencia del razonamiento anterior está contenido en dos
simples cálculos:
1. Si b = ca entonces baba−1 = ca2 c y a2 c2 = c−1 (baba−1 ) c.
−1
2. Si c = ba−1 entonces a2 c2 = a2 (ba−1 ) (ba−1 ) ⇒ a2 c2 (ba−1 )
−1
(ba−1 ) a2 c2 (ba−1 ) = baba−1 .
= a2 ⇒
84
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
En el siguiente capı́tulo veremos que estos grupos anteriores son el grupo
fundamental de la Botella de Klein.
Ahora encontraremos una presentación para G [G, G] en términos de la
presentación de G .
Observemos que si tenemos un conjunto S y una función ψ : S → G tal
que ψ (S) genera a G, si F es un grupo abeliano libre sobre S con respecto a
ϕ : S → F , entonces por definición existe un único homomorfismo que hace
conmutar el siguiente diagrama
ϕ
/F
~
~~
ψ
~~f
~
~
S
G
aún más, dado que ψ (S) genera a G, f es claramente un epimorfismo, ya
que si g ∈ G entonces podemos expresar a g como productos de potencias de
elementos en ψ (S)
n
Y
g=
ψ (si )hi
i=1
n
Q
luego
ϕ (si )hi ∈ F y además por la conmutatividad del diagrama tenemos
i=1
que
!
n
n
n
Y
Y
Y
hi
hi
ψ (si )hi = g
f
ϕ (si )
=
f (ϕ (si )) =
i=1
i=1
i=1
ası́ que efectivamente, f es epimorfismo.
Podemos extender el diagrama anterior al siguiente
ϕ
/ F πF / F [F, F ]
t
t
tt
(I) ttt
tt
t
ψ
t
t
t
t
t
zttt f (II) ttt
t
t
(III)
t
G
tt f¯
t
t
tt
πG
tt
t
zt
S
G [G, G]
Dado que por la proposición 3.51 se cumple que F [F, F ] es un grupo
abeliano libre sobre S con respecto a la función πF ◦ ϕ : S → F [F, F ]
85
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
lo que nos da la existencia de la única función f¯ que hace conmutar el diagrama grande (III) anterior, ahora con esto veremos que el trapecio (II) en
el diagrama también conmuta, para esto hay que probar que f¯◦ πF = πG ◦ f .
Primero sabemos, ya que (I) y (III) conmutan que f¯◦πF ◦ϕ (x) = πG ◦ψ (x) =
πG ◦ f ◦ ϕ (x) para cada x ∈ S, o bien, f¯ ◦ πF (ϕ (x)) = πG ◦ f (ϕ (x)) para
cada ϕ (x) ∈ ϕ (S) con F = hϕ (S)i ası́ que f¯ ◦ πF = πG ◦ f y por lo tanto el
trapecio (II) conmuta.
Ahora afirmamos que f¯ (a [F, F ]) = f (a) [G, G] en efecto, sea a ∈ F
entonces f¯ ◦ πF (a) = πG ◦ f (a) y ası́ f¯ (a [F, F ]) = f (a) [G, G] .
Veamos que f¯ es epimorfismo. Sea g [G, G] ∈ G [G, G], entonces g ∈ G y
lo podemos expresar como productos de potencias de elementos de S digamos
g=
n
Y
ψ (si )hi
i=1
luego
n
Y
ϕ (si )hi [F, F ] ∈ F [F, F ]
i=1
ası́ tenemos que
f¯
n
Y
!
hi
ϕ (si ) [F, F ]
= f
i=1
n
Y
!
hi
ϕ (si )
[G, G]
i=1
=
n
Y
f ◦ ϕ (si )hi [G, G]
i=1
=
n
Y
ψ (si )hi [G, G]
i=1
= g [G, G]
que es lo que querı́amos probar.
Veamos ahora que ker f¯ = {a [F, F ] : a ∈ ker f }. Sea a [F, F ] con a ∈ ker f
entonces f (a [F, F ]) = f (a) [G, G] = [G, G] pues f (a) = 1 ası́ que a [F, F ] ∈
ker f¯. Recı́procamente, sea a [F, F ] ∈ ker f¯ entonces f¯ (a [F, F ]) = [G, G],
pero por otro lado, f¯ (a [F, F ]) = f (a) [G, G] lo que implica que f (a) ∈ [G, G]
entonces
n
Y
−1 hi
f (a) =
xi yi x−1
i yi
i=1
86
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
con xi , yi ∈ G; por ser f un epimorfismo existen x0i , yi0 ∈ F tal que f (x0i ) = xi
y f (yi0 ) = yi y sustituyendo y usando el hecho de que f es homomorfismo
!
n hi
Y
−1
−1
f (a) = f
x0i yi0 (x0i ) (yi0 )
i=1
y ası́
1 = f (a) f
n Y
x0i yi0 (x0i )
−1
(yi0 )
−1
hi
!−1
i=1

n Y
= f a
x0i yi0 (x0i )
−1
(yi0 )
−1
hi
!−1 

i=1
n
Q
x0i yi0
(x0i )−1
hi
(yi0 )−1
−1
∈ ker f ası́ entonces,
lo que quiere decir que a
i=1
n
Q 0 0 0 −1 0 −1 hi −1
∈ [F, F ]
como
xi yi (xi ) (yi )
i=1
a [F, F ] = a
n Y
−1
−1
x0i yi0 (x0i )
(yi0 )
hi
!−1
[F, F ] ∈ ker f
i=1
esto prueba la otra contención y por lo tanto la igualdad
ker f¯ = {a [F, F ] : a ∈ ker f } .
(9)
Ahora con estas observaciones podemos encontrar la presentación para G [G, G]
Proposición 3.60. Sea S, {ri }i∈I una presentación para un grupo G, entonces una presentación respecto a un grupo abeliano libre F (S) para
G [G, G] es
πg (S) | {ri [G, G]}i∈I
Demostración. Sea F (S) un grupo libre sobre S con respecto a la inclusión,
entonces G ∼
= F (S) {ri }i∈I y además tenemos un diagrama conmutativo
S
π
ϕ
/F
xx
x
xx
xx
x| x
f
F N
87
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
donde π es la proyección natural, y por la conmutatividad del diagrama, tam
bién lo debe de ser f , y además es claro que π (S) genera a F (S) {ri }i∈I
por lo que podemos usar las observaciones anteriores.
Afirmamos ahora que
)
(m
Y
nk
{ri }i∈I =
x−1
k rik xk : xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N
k=1
dado que {ri }i∈I C F (S) entonces ker f debe contener a los productos
m
Q
nk
x−1
k rik xk y tenemos la contención
k=1
(
{ri }i∈I ⊃
m
Y
nk
x−1
k rik xk
: xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N
)
k=1
m
Q
: xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N C F (S) y además
este subgrupo contiene a los {ri }i∈I , entonces por ser {ri }i∈I el menor subgrupo normal con estas propiedades tenemos que
(m
)
Y
n
k
{ri }i∈I ⊂
x−1
k rik xk : xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N
ahora
k=1
nk
x−1
k r i k xk
k=1
y por lo tanto la igualdad, hay que notar que
{ri }i∈I = ker f
ya que f es la proyección natural y de (9) y de la igualdad recién obtenida
tenemos que
ker f¯ = {a [F, F ] : a ∈ ker f }
(m
)
Y
nk
=
x−1
k rik xk [F, F ] : xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N
=
(k=1
m
Y
x−1
k [F, F ]
rinkk [F, F ] (xk [F, F ]) : xk ∈ F, rik ∈ {ri }i∈I , nk ∈ Z, m ∈ N
k=1
=
{ri [F, F ]}i∈I
88
)
3.5
Presentación de Grupos por Generadores y Relaciones
entonces una presentación para G [G, G] es π (S) , {ri [F, F ]}i∈I .
Enfatizamos que la presentación dada para G [G, G] en la proposición
anterior es respecto a un grupo abeliano libre puede ser distinta a una presentación dada respecto a unhi grupo libre.
89