Solución detallada

1
El juego Craps
Solución detallada.
Queremos calcular P(G).
S∞
Nótese que G = n=1 G(n) pues el juego eventualmente terminará. Claramente G(k) ∩ G(j) = ∅
tenemos que
!
∞
∞
∞
[
X
X
P(G) = P
G(n) =
P(G(n)) = P(G(1)) +
P(G(n))
n=1
n=1
∀k 6= j por lo que
(1)
n=2
Claramente P(G(1)) = P(D(1, 7) ∪ D(1, 11)) pues en el primer lanzamiento, el jugador ganará si sale 7 u 11.
Para ganar en cualquier lanzamiento que no sea el primero, debemos obtener en el primer lanzamiento algún valor en
R = {4, 5, 6, 8, 9, 10} y obtener de nuevo ese valor antes de obtener un 7 en los lanzamientos sucesivos.
En consecuencia, si n > 1,
!
P(G(n)) = P
[
G(n, x)
=
x∈R
Finalmente tenemos que
"
P(G(n, x)) = P D(1, x) ∩
X
P(G(n, x)).
(2)
x∈R
n−1
\
!
(D(i, x) ∪ D(i, 7))
#
∩ D(n, x)
i=2
= P(D(1, x))
n−1
Y
!
P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) P(D(n, x))
i=2
(por independencia de los lanzamientos)
= P(D(1, x))
"n−1
Y
#
(1 − P(D(i, x)) − P(D(i, 7))) P(D
i=2
Dado que P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) = 1 − P(D(i, x) ∪ D(i, 7)) y D(i, x) ∩ D(i, 7) = ∅
∀x 6= 7.
Nótese que la probabilidad de obtener un valor particular en un lanzamiento no depende ni del número de lanzamientos
efectuados ni de los resultados previos (los lanzamientos son idénticamente distribuidos e independientes), por lo que
podemos decir que para n > 1
n−2
P(G(n, x)) = P(D(1, x))2 (1 − P(D(i, x)) − P(D(i, 7)))
(3)
Considerando Dz = D(1, z) ∀z ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} para simplificar la notación y sustituyendo (3) en (2)
obtenemos, para n > 1
X
n−2
P(G(n)) =
P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 ))
.
(4)
x∈R
2
Sustituyendo (4) en (1) nos queda
P(G) = P (G(1)) +
= P (G(1)) +
∞ X
X
n=2 x∈R
∞
XX
n−2
P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 ))
n−2
P(Dx )2 (1 − P(Dx ) − P(D7 ))
x∈R n=2
(intercambiando las dos sumatorias)
∞
X
X
n−2
= P (G(1)) +
P(Dx )2
(1 − P(Dx ) − P(D7 ))
n=2
x∈R
(P(Dx ) no depende de n)
∞
X
X
j
2
= P (G(1)) +
P(Dx )
(1 − P(Dx ) − P(D7 ))
j=0
x∈R
(cambio de variable j = n − 2)
X
1
= P (G(1)) +
P(Dx )2
1 − (1 − P(Dx ) − P(D7 ))
x∈R
(suma de la serie geométrica con razón (1 − P(Dx ) − P(D7 )) < 1)
X
P(Dx )2
= P (G(1)) +
P(Dx ) + P(D7 )
x∈R
(simplificando)
= P (D7 ) + P (D11 ) +
X
x∈R
P(Dx )2
P(Dx ) + P(D7 )
(sustituyendo P(G(1)))
Finalmente sabemos que
z P(Dz )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Por lo que la probabilidad de que el jugador gane en Craps es P(G) =
244
495
= 0.49292929 . . . ≈ 0.493.
Es interesante notar que ganar en Craps es apenas ligeramente mas difícil que acertar el resultado del lanzamiento de una
moneda justa.
P(Moneda justa sale sello) − P(G) =
7
990
Nótese que este análisis es respecto al punto de vista del jugador efectúa una de las apuestas mas sencillas (pass line
wager). Si desea más información visite http://en.wikipedia.org/wiki/Craps (en inglés).