Integral Definida - Ozono Centro de Estudios

1º Ejercicios para practicar:
1) Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:
Sol:
2
2) Calcula A – 3A – I, siendo A =
e I la matriz identidad de orden 2.Sol:
3) Realiza la operación B ⋅ A + C ⋅ A, sacando previamente factor común a la matriz A.
Sol:
4) Realiza esta operación con matrices:
Sol:
5) Dadas las matrices A y B comprueba que
Sol: las dos operaciones dan
6) Estudia si la matriz A + B es simétrica
Sol No lo es
k
7) Dada la matriz A calcula A :
86
8) Sea la matriz: A S calcula A
Sol:
9) Halla la matriz inversa de las siguientes matrices
Sol:
Sol:
luego se cumple.
10) Halla los determinantes de las siguientes matrices:
Sol : |A|=255 |B|=0
11) Halla los determinantes de las siguientes matrices
t
Sol :|A|=-265 |B|=867
12) Comprueba la identidad |A| = |A | siendo:
t
Sol :| A| = |A |=-180
13) Dadas las matrices A y B comprueba que |A · B| = |A| · |B|
Sol |A · B| =–1 071 y |A| · |B|=–1 071
14) Dada la siguiente matriz A halla a) el menor complementario del elemento a21 b) el menor
complementario del elemento a13:
Sol: M21=24 M13=46
15) Dada la matriz A calcula a) el adjunto del elemento a12 b) el adjunto del elemento a31
Sol: A12= 35 A12=-63
16) Halla el rango de las siguientes matrices:
Sol r(A) =3 pq |A| ≠0; rg(B) =2
17) Sea la matriz A Determina si es invertible y, en su caso, calcula la matriz inversa.
Sol:
18) Calcular el rango de A
Sol: Los determinantes de los 4 menores de orden 3 son cero y como existe un menor de
orden 2 distinto de cero r(A)=2
2º Ejercicios de selectividad:
1) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = -2.
Halla:
3
(a) [0'5 puntos] |A |.Sol: 1/8
-1
(b) [0'5 puntos] |A |.Sol:2
(c) [0'5 puntos] |-2A|.Sol:-4
t
(d) [0'5 puntos] |AB |, siendo Bt la matriz traspuesta de B.Sol:-1
(e) [0'5 puntos] El rango de B.Sol: rg(B)=3
2) De la matriz A =
se sabe que det(A) = 4. Se pide:
. Indica las propiedades que utilizas.
(a) [1’25 puntos] Halla det(−3A ) y det
t
(A es la matriz traspuesta de A).Sol: 36, 24
-1 t
(b) [0’75 puntos] Calcula det(A .A ).Sol:1
3
(c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B = I, siendo I la matriz identidad, halla
det(B). Sol:1
t
3) Sean F1, F2 , F3 , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de
orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
-1
(a) [0'5 puntos] El determinante de B .Sol: -1/2
t 4
t
(b) [0'5 puntos] El determinante de (B ) (B es la matriz traspuesta de B. Sol: 16
(c) [0'5 puntos] El determinante de 2B. Sol: -16
(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera
son, respectivamente, 5F1 - F3, 3F3, F2.Sol:30
4) Sabiendo que
determinantes:
-1
(a) [1 punto] | - 3A| y |A |
(b) [0'75 puntos]
, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes
(c) [0'75 puntos]
(e)
(f)
Sol:a)1/2, b)-4, c)-2 e)30 f)-2
5) Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificandolos
pasos, el determinante:
Sol:0
6). Sean C1,C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz
cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular, indicando las propiedades
utilizadas:
3.
a) El determinante de A
−1
b) El determinante de A .
c) El determinante de 2A.
d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,
respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.
Sol:
7) Sea la matriz
(a) [1 punto] ¿ Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A?
t
Justifica la respuesta. (b) [1’5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X + I).A = A ,
t
donde I de nota la matriz identidad y A la matriz traspuesta de A.
Sol: a) La matriz A no tiene inversa si k = 1/2. B)
8) Dada la matriz
3
(a) [0’5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A = - I, siendo I la matriz identidad de
orden 3. (b) [1’25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [0’75 puntos)
100.
Calcula razonadamente A
Sol: b)
100.
A
=- A
9) Consideramos la matriz
10) Sean A , B , C y X matrices que verifican AXB = C
a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B
es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X Sol:-16
b) Calcula la matriz X
Sol:
11)a) [1 puntos] Dadas las matrices
Calcula, si existe, la matriz
inversa de A
b) [1’5 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A +
2B y AY = A + 2B
Sol: a)
b) X=
Y=
12) Dada la matriz
2
(a) [1’25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A + 3A no tiene inversa.
Sol: λ = -1 y λ = -4.
(b) [1’25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la
matriz identidad de orden 2.
Sol:
13) Sean las matrices
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es (1/12).A. Sol: α
= - 3.
t
t
(b) [1’25 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A .X = B, siendo A
la matriz traspuesta de A. Sol:
14) Considera ,
siendo a un número real.
2
Sol a=4
(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A – A =
t
t
(b) [ 1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes 2 A y A , siendo A la traspuesta de A.
2
2
Sol:- 4a , - a
(c) [0’5 puntos] ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la
respuesta. Sol:No
15)Sean las matrices A =
,B =
,yC=
(a) [1 punto] ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala
t
t
t
(b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A.X + C.B = B.B , siendo B la matriz
transpuesta de B.
Sol:a)
b)
16)Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =
.
2
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de b para el que A − 2A + I = O.
t
t
(b) [1’25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A ·X − 2A = O, donde A denota la
matriz transpuesta de A.
Sol: a) la única solución que verifica las cuatro ecuaciones es b = 2. b)
17) Sea la matriz A =
.
2
(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A = I.
-1
(b) [1’25 puntos] Calcula A . (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)). Sol:
18) Dadas las matrices A =
(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de α.
Sol: Si α ≠ 1 y α ≠ -2, rg(A) = 3.Si Si α = 1 rg(A) =1 Si α = -2, rg(A)=-2
(b) [0’75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuación matricial A.X = B. Sol:
19) [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y .
Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A − kI) es la matriz nula. Sol: k = 1
2
20) Considera la matriz
.
2
(a) [1 punto] Determina la matriz B = A – 2A
(b) [0’75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.
Sol: λ ≠ -1 y λ ≠ 3
21)a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de
.
-1
(b) [1’5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A
hallada en el apartado anterior.
Sol: a)
b) (x,y,z) =(3,-2,0)
22)Sea A la matriz
e I la matriz identidad de orden 3.
(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A− 2I es cero. Sol:λ
= 2, λ = 1 y λ = - 1
(b) [1’25 puntos] Calcula la matriz inversa de A − 2I para λ = −2. Sol:
23)Obtén un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan
simultáneamente rango 2. A =
24)Considera la matriz
B=
Sol: v =(c, c/2, c)
.
(a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
25)Dada la matriz
(a) [1’25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
(b) [1’25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.
a)Sol:Si
b)
rango(A) = 3 Si
,rango(A) = 2
Practicar
1)Discute los siguientes sistemas:
a)Sol:SCD b)SI
2)-Resuelve por Cramer:
Sol a)(1,3,5) b)(3,1-1)
3) Resuelve matricialmente los sistemas:
a)
b)
Sol: a)x = 2, y = –1, z = 1 b) x = –3, y = 2, z = 1
4) Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:
Sol: a)SCD x = 1, y = –2, z = 3; b)Sistema incompatible c) SCI Soluciones: x = –3 + 2t, y = t,
z = –2 + t
5) Estudia y resuelve por el método de Gauss:
a)SCD b) SCI
c)SCD Solución: (1, 1, –1) d)SCI
Selectividad
1. (3/B/m4/2012)(junio)Considera el sistema de ecuaciones:
x + y + z = λ+1
3y + 2z = 2λ+3
3x + (λ-1) y + z = λ
(a) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 1. Solución (x,y,z) = (1/3 –λ /3, 5/3 – 2λ /3, λ) con
a ∈ R.
(b) [1 punto] Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución.SoL:El
sistema tiene solución única si λ ≠ 1.
(c) [0’5 puntos] ¿Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (1/2,0,1/2)?Sol:paraλ = -1
2. (3/A/m6/2012)(Septiembre)Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos
incógnitas:
kx + 2y = 2
2x + ky = k
x - y = -1
(a) [0’5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.
(b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles
indeterminado. Sol:Si k ≠ 2 y k ≠ -2. SCD en el caso k=2 SCD y si k=-2 SCI
(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso Solución (x,y) = (0,1),para determinado par
k = -2, (x,y) = (-1+λ,λ),
3. (3/A/m5/2012)Considera el sistema de ecuaciones:
x + ky + 2z = k + 1
x + 2y + kz = 3(k+1)
x+y+z=k+2
(a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.
Sol:Sik ≠ 0, k ≠ -3 y k ≠ 2 SCD;Si k = -3 SCI;K=2 SCI, K=0 SCI
(b) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? Sol:No
(c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0.Sol:(x,y,z) = (a, 3/2 – a, 1/2 – a ) con a ∈ R.
4. (3/junio/2011/A)Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
-λx + y + z = 1
x + λy + z = 2
λx + y + z = 1
(a) [1,75 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametroλ.Sol:λ ≠ 1 y λ ≠ 0 rg(A)=3
SCD, Si λ = 1 SI, si Siλ = 0 SCI
(b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.Sol:(x, y, z)= (2- λ, 1- λ, λ)
5. (3/m4/2011/A)Sea el sistema de ecuaciones
2x − 2y + 4z = 4
2x + z = a
−3x − 3y + 3z = −3
(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a.Si a = 3SCI, Si Si a ≠ 3 SI
(b) [0’75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.(x,y,z) = (3/2 - λ/2, -1/2+3λ/2, λ), con λ número
real.
6. (3B/M6/2009)Sea el sistema de ecuaciones
x+y=m+1
x+my+z=1
mx+y-z=m
a) [1,5 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible
Sol:m= 0m = -1
b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso m = -1 Sol:(-λ , λ ,1+2λ)
7. (Opción B, Modelo especifico2 de Junio de 2011)Dadas las matrices
a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.
(b) [0'75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = O tiene más de una
solución
Sol: a)Si t ≠ 1 y t ≠ 2, rango(A) = 3. Si t = 1, rango(A) = 2. Si t = 2 rango(A) = 2b)t=1,t=2
8. (m1/A3/2010)Considera el sistema
3x − 2y + z = 5
2x − 3y + z = −4
(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la
ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. Sol:Si λ ≠ 0 SCD Si λ = 1 SCI
(b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? Sol:No
9. (Ejercicio 3 de la Opción B de Junio de 2010 (Colisiones))
Considera el siguiente sistema de ecuaciones
(m + 2)x – y – z = 1
–x – y + z = –1
x + my – z = m
(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de m.Sol:para m ≠ 1 y m ≠ - 1 SCD m=1 SI m=-1
SCI
(b) [1 punto] Resuelve para el caso m = 1. Sol: (x,y,z) = (1/2+(1/2)t, 1/2+(1/2)t, t) con t nº real.
10. (2009/M5/B3)a) Resuelve el sistema de ecuaciones
b) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado
a.
Sol: a) (x,y,z) = (2 – m, 2 – 3m, m) con “m” nº real. B)(Apartado difícil) Hay que calcular
para λ ≠ 3.No existe ningún valor que sea común a los dos sistemas.
11. (2008/Septiembre/A3) Discute según los valores de λel siguiente sistema:
b) [0’75 puntos] Resuélvelo para . λ=0
Sol: a)Si , λ=0SCI, Si , λ=6 SI Resto SCD . b)
12. (3A/2008/m1)Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x + λy = z
2x + λz = -y
x + 5y − λz = λ +1
Sol: Si λ ≠ -1 y λ ≠ 3 SCD Para Si λ= -1,SCI, Si l = 3,SI
13. (3A/2008/m2)Sabemos que el sistema de ecuaciones
Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7
(a) [1’25 puntos] Determina el valor de a..SOL: a = 8
(b) [1’25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la
suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.Sol: RecomendacionCramer: (x,y,z)
= (6/5,1/5,-2/5).
14. (3A/2008/m6) (a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para
los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:
2x + y + z = mx
x +2y + z = my
x +2y +4z = mz
(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.
a)Sol: Sistema homogéneo. Para m = 1,
una solución b) (x,y,z) = (λ , -2λ , λ ) con λ ∈ R
el sistema tiene más de
15. (3A/2007/septiembre)Considera el sistema de ecuaciones:
ax + y + z = 4
x – ay + z = 1
x+y+z=a+2
a) [1’5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = –2.
Sol:a)Sia ≠ 1 y a ≠ -1 SCD Para a=1 SI Para a=-1 SCI.Sol: (x, y, z)= ( -3/2, 5/2 - λ , λ ) con λ
∈R b) (x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.(Resuelvelo por Kramer y Gauss para practicar)
16. (3A/2007/m4)Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a,
x+y+z=0
(a + 1)y + 2z = y
x − 2y + (2 − a)z = 2z
Sol: Si a = 2 y a = - 3 el sistema es compatible e indeterminado.(Sistema homogéneo)
a=2Solución (x, y, z) = (0, -m, m) con m ∈ R, a=-3 (x, y, z) = ( (-5/3)m, (2/3)m, m) con m ∈ R
17. (3B/2007/m5)Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo
hacen compatible:
x+ my = m
mx+ y = m
mx+ my = 1
Sol:Si m = 1 SCI (x,y) = (1 - λ , λ ) con λ ∈ R , m = -1/2 (x,y) = (- 1,-1)
18. (2006/septiembre/A3)Considera el sistema de ecuaciones lineales
λx – y – z = - 1
x + λy + z = 4
x+y+z=λ+2
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ
Sol:Si λ ≠ 1 y λ ≠ -1 SC Si λ = 1,SI.siSi λ = -1 SCI
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. (Resuelvelo por kramer y gauus para
practicar)(x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.
19. (2005/m4/B3)Considera el sistema de ecuaciones
5x + 2y − z = 0
x + y + (m + 4)z = my
2x − 3y + z = 0
(a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única
soluciónSol: Sistema homogeneom  -7 el sistema tiene solución única..
(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la
que z = 19.Sol: (x, y, z) = (t/19 , 7t/19, t) con z = t ∈ R . Nos piden una solución con z = 19,
luego t = 19 y la solución es (x,y,z) = (1, 7, 19).
20. (2004/Septiembre/B3) [2'5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de
ecuaciones
x + 3y + z = 1
- x + y + 2z = - 1
ax + by + z = 4
tiene al menos dos soluciones distintas. Sol: a = -1 y b = -1/3
21. (3A/2009/m1)Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres
productos A ,B y C Sol:En el caso de m = 0, solo tiene la solución trivial (x,y,z) =
(0,0,0)
Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros
Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros
a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? Sol: n=3
b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de
cada producto SOL :(23,13,69)
22. (3B/2009/Junio)[2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500
cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros
respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto
ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha
comprado el 30 % de las cajas.Sol: (13500 euros, 15000 euros, 12000 euros)
23. (3A/2008/Junio)Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En
total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros
(a) [1’25 puntos] ¿ Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de
50?Sol:No SI
(b) [1’25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de
billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.SOL:Hay 80 billetes de 10 eurosHay 10
billetes de 20 eurosHay 40 billetes de 50 euros
24. (3A/2005/m5)[2’5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a
Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la
misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84
euros.SoluciónDinero de Álvaro = x = 35 euros Dinero de Marta = y = 21 euros
Dinero de Guillermo = z = 28 euros