Geometría Analítica - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Forma pendiente-ordenada al origen
Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0, b), entonces decimos que la
ordenada al origen de la recta es b.
Conociendo este punto es muy sencillo encontrar la ecuación de la recta, que es lo que vamos a
estudiar en esta sección.
Ejemplo 1
Calcula la ecuación de la recta con pendiente m = 3 que corta al eje y en el punto B(0, 5).
• Sabemos que en el eje y los valores de x son iguales a cero, independientemente de la
posición.
• A la izquierda del eje y los valores de x son negativos y que a la derecha son positivos.
• Precisamente sobre el eje x no son ni negativos ni positivos: es la frontera entre los positivos
y negativos, esto es, la coordenada de x vale cero para cada punto.
• Entonces, la recta pasa por el punto B(0, 5), y tiene pendiente m = 3.
• De nuevo sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto pendiente.
y − y1
= m ( x − x1 )
y − 5 = 3 ( x − 0)
y = 3x+5
• Con lo que la ecuación de la recta es: y = 3 x + 5.
Calcula la ecuación de la recta con pendiente m = −3 que corta al eje y en B(0, 7).
Ejemplo 2
• De nuevo, en este caso, por intersectar al eje y en y = 2, la recta pasa por el punto B(0, 7) y
tiene pendiente m = −3.
• Utilizamos la ecuación en su forma punto - pendiente.
y − y1
= m ( x − x1 )
y − 7 = −3 ( x − 0)
y = −3 x + 7
• Con lo que la ecuación buscada es: y = −3 x + 7.
A partir de los dos ejemplos anteriores podemos darnos cuenta que en la ecuación y = m x + b, m
es la pendiente de la recta y b es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje y.
Debido a esto a esta forma también se le conoce con el nombre de ecuación en su forma pendienteordendada al origen.
Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen
La ecuación de la recta que tiene pendiente m y corta al eje y en el punto (0, b) es:
Definición
1
y = mx+b
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Observa que en la ecuación y = m x + b, cuando x = 0 tenemos que y = b. Esto nos dice que la
recta pasa por el punto B(0, b).
y
y=
m
x+
b
b
x
O
A partir de esta interpretación geométrica del valor de b de la ecuación de la recta en su forma
pendiente ordenada al origen, fácilmente podemos graficar la recta: y = m x + b.
Para este fin, empezamos dibujando un punto en (0, b). A partir de ese punto y con la interpretación geométrica de la pendiente:
m=
∆y
Incremento en y
=
∆x
Incremento en x
podemos avanzar m unidades verticalmente por cada unidad que avancemos hacia la derecha.
Si m es positivo la recta subirá, si m es negativo la recta bajará y si m = 0 tendremos una recta
horizontal.
Otra forma de explicar el mismo procedimiento es: «Avanzamos ∆y unidades en el sentido del eje y y
∆x unidades en el sentido del eje x», así graficamos varios puntos y podremos fácilmente graficar la
recta a partir de su ecuación.
Ejemplo 3
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3/2 y que intersecta al eje y en B(0, 2). Grafica
la recta a partir de su ecuación.
• Empezamos notando que en este caso la pendiente no es un número entero, sino una fracción.
• Para empezar, ya conocemos el valor de b, en este caso b = 2, porque la recta corta al eje de
las ordenadas en (0, 2).
• Para encontrar la ecuación de la recta sustituimos los valores en la ecuación:
= mx+b
3
y =
x+2
2
y
• Ahora vamos a interpretar la pendiente para graficar la recta de una manera sencilla.
• Sabemos que: m = ∆y/∆x = 3/2, esto indica que ∆y = 3 y que ∆x = 2.
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• Y eso sugiere que por cada 2 unidades que nos movamos hacia la derecha (sentido positivo
del eje x) debemos subir 3 unidades (sentido positivo del eje y).
• Así podemos ubicar varios puntos del plano por donde pasa la recta y a partir de ellos
graficarla:
y
y=
5
3
x+2
2
∆y
4
3
2
∆x
1
−3
−2
x
−1
O
1
2
3
4
5
−1
Luis fue a comprar refrescos. Cada refresco costaba $5.00 pesos y además, había quedado a
deber $12.00 pesos al tendero. Encuentra la ecuación de la recta que modela esta situación.
Ejemplo 4
• En este caso, si Luis compra cero refrescos, entonces debe pagar al tendero lo que había
quedado a deber, esto es, $12.00 pesos.
• Este valor representa la ordenada al origen, es decir, b = 12.
• Por cada refresco que Luis compre, el importe aumenta en $5.00
• Este valor representa la pendiente de la recta.
• Entonces, la ecuación de la recta es:
y = 5 x + 12
• Si denotamos por I el importe que Luis debe pagar al tendero y n el número de refrescos
que comprará, la ecuación se puede escribir como:
I = 5 n + 12
Puede relacionar
este problema con
una sucesión arit-
• Por ejemplo, si compra 6 refrescos, deberá pagar:
mética.
I = 5 (6) + 12 = 30 + 12 = 42 pesos.
• Ahora grafica la recta en tu cuaderno.
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A partir del ejemplo anterior podemos dar una nueva interpretación (física) de la pendiente.
Profesor:
En este caso, ∆x representa la cantidad de refrescos que Luis va a comprar y ∆y el importe cuando
compre ∆x refrescos. Entonces, m = ∆y/∆x representa el precio de un refresco.
Consideren ejemplos
numéricos
para ∆y y ∆x
Nosotros podemos sustituir valores para ∆y y ∆x que satisfagan las condiciones del ejemplo
anterior, pero siempre va a ocurrir que al simplificar la fracción con la que calculamos el valor de
m se simplifique a 5, que es el precio de un refresco.
Verifica con algunos ejemplos numéricos que esto es verdad.
Ejemplo 5
Un inversionista desea comprar una parte de un terreno que tenga un metro más del doble de
largo que de ancho. Si a es el ancho, ¿cuál es la ecuación que modela esta situación?
• Si el ancho es a, el largo, será un metro mayor al doble del ancho.
• El doble del ancho lo obtenemos multiplicando el ancho por dos: 2 a
• Sabemos que el largo es un metro mayor a esa cantidad: L = 2 a + 1
• Esa es la ecuación que modela la situación:
L = 2a+1
• Si x representara el ancho del terreno y la variable y representara el largo, la ecuación sería:
y = 2x+1
• La cual es muy fácil de graficar.
• Explica con palabras cómo gráficar esta ecuación.
En este último ejemplo la pendiente representa la condición «el doble de largo que de ancho». La
ordenada al origen corresponde a la condición de que el largo debe ser un metro mayor al doble
del ancho.
Considera valores de a y calcula los valores del largo del terreno. Observa que primero multiplicas
por dos para obtener el doble. La pendiente tiene esa función en la ecuación.
Por otra parte, cuando sumas uno (la ordenada al origen) al doble del ancho, terminas con la
condición del problema: «el largo sea un metro mayor al doble del ancho».
Reto 1
Transforma la ecuación de la recta de su forma punto-pendiente a la forma pendiente-ordenada
al origen.
Ejemplo 6
Se sabe que 0◦ Centígrados equivalen a 32◦ Farenheit. Por otra parte, 100◦ Centígrados equivalen a 212◦ Farenheit. Encuentra la ecuación que sirve de conversión entre una escala de temperatura y otra.
• Podemos colocar sobre el eje x los grados Centígrados y sobre el eje y los grados Farenheit.
• En ese caso tenemos los dos puntos: A(0, 32) y B(100, 212).
• La primera coordenada indica la temperatura en grados Centígrados.
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y
calculen
el
valor de m que
corresponde.
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• La segunda coordenada indica la temperatura en grados Farenheit.
• Ahora debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.
• Empezamos calculando la pendiente de la recta:
m=
y2 − y1
212 − 32
180
9
=
=
=
x2 − x1
100 − 0
100
5
• Ahora que conocemos la pendiente de la recta, podemos sustituir este valor con uno de los
puntos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y encontrar la ecuación:
y − y1
= m ( x − x1 )
9
y − 32 =
( x − 0)
5
9
y =
x + 32
5
• Como en el eje x están los grados Centígrados, podemos cambiar el nombre de la literal x
por C para poder relacionar la variable con la escala centígrada.
• A su vez, en el eje y están los grados Farenheit, por eso es mejor escribir F en lugar de y:
F=
9
C + 32
5
• Esta ecuación nos ayuda a calcular el valor de F (grados Farenheit) equivalente(s) a C grados
Centígrados.
• Observa que si C = 0, se sigue que F = 32, concordando con los datos iniciales.
• También, si C = 100, entonces, F = 900/5 + 32 = 180 + 32 = 212.
• Si deseas calcular C a partir de F basta despejar F en términos de C:
F
=
F − 32
=
5 ( F − 32)
9
9
C + 32
5
9
C
5
= C
• Ahora, si F = 32, tenemos que C = 0.
• También puedes comprobar que si F = 212 se cumple que C = 100.
Como puedes ver, podemos aplicar las ecuaciones lineales en muchas situaciones distintas.
Es importante observar que las literales x, y en las aplicaciones tienen un significado físico. Trata
de recordar cómo definiste cada variable para no confundir sus significados cuando debas realizar
cálculos.
Por ejemplo, en el ejemplo anterior, si no cambiamos las literales por algunas que nos sugirieran
qué significan cada una, podemos confundir sus significados y realizar cálculos incorrectos.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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