Ejemplo 1 O A B C D E F G x a P

Ejemplo 1
G
Sobre un cubo de lado a actúa una fuerza P según se indica
G
en la figura. Calcular el momento de P :
i.- respecto a O
ii.- respecto al eje OX.
iii.- respecto a la diagonal del cubo OB
iv.- empleando el resultado de iii.- calcular la distancia entre
OB y AC
C
D
P
A
a
B
x
O
E
G
F
Solución:
i.- Momento respecto a O. Eligiendo los ejes x, y, z que se indican en
G
G
la figura, descomponemos la fuerza P y el vector de posición r de su
punto de aplicación, que puede ser cualquier punto de la recta AC por
ejemplo el punto C, en sus componentes rectangulares.
G
r = a i + a j = a ( i + j )
G
P = − ( P2 ) i + ( P2 ) k = (
G
El momento de P respecto a O es:
G
G G
M O = r × P = a ( i + j ) × (
P
2
P
A
C
B
O
z
k
a
a
r
j
E
) ( − i + k )
aP
) ( − i + k ) = ( 2 ) ( i − j + k )
y
D
P
2
i
F
x
G
a
G
ii.- Momento respecto al eje x, MX. Proyectando M O sobre el eje es
G
hallar el valor absoluto del producto escalar de M O por un vector
unitario en la dirección del eje, en particular el vector i :
G
aP
M X = M O . i = ( 2 ) ( i − j + k ) . i =
aP
2
como ya es positivo conincide con el valor absoluto.
D
y
P
A
B
λ
E
z
C
x
O
G
F
G
P
iii.- Momento respecto a la diagonal OB, MOB. El momento
de
G
respecto a la diagonal OB se obtiene proyectando M O sobre OB, ya
que O es un punto de la diagonal OB. Si llamamos λ al vector unitario
sobre OB observamos que
G
a i + a j + a k
OB
λ =
=
=
OB
a 3
1
3
( i + j + k )
entonces MOB será
G
aP
M OB = M O . λ = ( 2 ) ( i − j + k ) . ( 13 ) ( i + j + k ) =
aP
6
G
iv.- Distancia entre OB y AC. Observemos primeramente que P es
perpendicular a la diagonal OB, esto se puede comprobar haciendo el
G
producto escalar de P y λ
G
P . λ =
P
2
( − i + k ) . ( 13 ) ( i + j + k ) =
P
6
( −1 + 0 + 1) = 0
Entonces el momento MOB se puede expresar como el producto de P
por la distancia d pedida entre AC y OB, como conocemos el valor del
momento del apartado iii.- podemos escribir
M OB =
aP
6
=Pd
⇒
d=
a
6
C
D
P
A
d
B
O
E
G
F
perpendicular
eje
O
φ
MOB
Q
d
θ
f
A'
A
recta
soporte