Razón de cambio. E: Sea l la longitud de la diagonal de un
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38 Razón de cambio. E: Sea l la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitud x, y respectivamente. Si x aumenta con una rapidez de 12 m/s y si y disminuye con una rapidez de 14 m/s, (a) ¿A qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m? (b) ¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante? D: H (a) Ver lo que sigue. (b) Usamos la figura l(t) y(t) x(t) De la figura, tenemos que: l2 (t) = x2 (t) + y 2 (t); entonces, derivando con respecto a t: 2l(t)l 0 (t) = 2x(t)x 0 (t) + 2y(t)y 0 (t) l 0 (t) = x(t)x 0 (t) + y(t)y 0 (t) 2x(t)x 0 (t) + 2y(t)y 0 (t) = . 2l(t) l(t) Por lo tanto en el momento, digamos t0 , en el que x(t0 ) = 3 & y(t0 ) = 4, se tiene √ √ l(t0 ) = 32 + 42 = 25 = 5. Por datos proporcionados, se tiene que x 0 (t0 ) = 1 2 & y 0 (t0 ) = − 14 . Sustituyendo estos datos obtenemos 3 1 3( 12 ) − 4( 14 ) −1 1 = 2 = 2 = > 0. 5 5 5 10 La longitud de la diagonal crece en ese momento. l 0 (t0 ) = 38 canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007 1
