Razón de cambio. E: Sea l la longitud de la diagonal de un

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Razón de cambio.
E: Sea l la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitud x, y respectivamente.
Si x aumenta con una rapidez de 12 m/s y si y disminuye con una rapidez de 14 m/s,
(a) ¿A qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m?
(b) ¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante?
D: H
(a) Ver lo que sigue.
(b) Usamos la figura
l(t)
y(t)
x(t)
De la figura, tenemos que:
l2 (t) = x2 (t) + y 2 (t); entonces,
derivando con respecto a t:
2l(t)l 0 (t) = 2x(t)x 0 (t) + 2y(t)y 0 (t)
l 0 (t) =
x(t)x 0 (t) + y(t)y 0 (t)
2x(t)x 0 (t) + 2y(t)y 0 (t)
=
.
2l(t)
l(t)
Por lo tanto en el momento, digamos t0 , en el que x(t0 ) = 3 & y(t0 ) = 4, se tiene
√
√
l(t0 ) = 32 + 42 = 25 = 5.
Por datos proporcionados, se tiene que x 0 (t0 ) =
1
2
& y 0 (t0 ) = − 14 .
Sustituyendo estos datos obtenemos
3
1
3( 12 ) − 4( 14 )
−1
1
= 2
= 2 =
> 0.
5
5
5
10
La longitud de la diagonal crece en ese momento.
l 0 (t0 ) =
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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