Guía integrales de superficie

Ejercicios MAT-024
Integrales de Superficie
1. Calcule el área de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y
z = 1.
2. Calcule el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada por encima del plano z = 0 y
limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax.
3. Calcular el área de la porción de la superficie z = x2 + (y − 1)2 comprendida entre los planos z = 1 y
z = 4.
4. Determine el área que es recortada de la superficie en forma de silla de montar z = xy por el cilindro
x2 + y 2 = 1
5. Determine el área de la elipse cortada del plano z = cx (c constante) por cilindro el cilindro x2 + y 2 = 1.
6. Determine el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada entre los planos z = 0 y
x + 2z = 3.
ZZ
f (x, y, z) dS, en cada uno de los casos siguientes:
7. Hallar
S
a) f (x, y, z) = x2 y S es el trozo del plano x = z contenido dentro del cilindro x2 + y 2 = 1.
p
b) f (x, y, z) = x y S es el trozo del cilindro x2 + y 2 = 2x con 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 .
c) f (x, y, z) = x y S es la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 situada en el primer octante.
d ) f (x, y, z) = r−n , donde S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 y r es la distancia que hay desde el punto
de la esfera a al punto fijo P = (0, 0, c) con c > R.
e) f (x, y, z) = xy + 1 y S es la parte del paraboloide z = x2 + y 2 que está en el interior del cilindro
x2 + y 2 = 4.
f ) f (x, y, z) = x + y + z y S es la superficie del cubo cortado del primer octante por los planos x = a,
y = a y z = a.
g) f (x, y, z) = z y S es la parte de z 2 = x2 + y 2 que se encuentra encima de 4z = x2 + y 2 + 3
h) f (x, y, z) = z y S es la parte del cono z 2 = x2 + y 2 situada entre los planos z = 1 y z = 3.
i) f (x, y, z) = xy y S es la intersección de z = x2 + y 2 con el conjunto {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≤ 0 }
z
j ) f (x, y, z) = p
y S es la parte de la superficie z = 1 − x2 − y 2 que se encuentra dentro
1 + 4x2 + 4y 2
del cilindro x2 + y 2 ≤ 2y.
ZZ
F · n dS donde n es el vector normal que apunta hacia arriba de la superficie.
8. Calcule
S
a) F(x, y, z) = (0, 2y, 2z) y S es la parte del plano z = 3x + 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 4.
b) F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) y S es la superficie acotada determinada por el paraboloide z = 4 − y 2 y los
planos x = 0 y x = 1 y z = 0.
RR
9. Calcule s F · n dS donde F(x, y, z) = (x3 − 3x, y 3 + xy, z 3 − xz) y S es la región determinada por
x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 y y ≤ x
10. Calcule el flujo del campo F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) hacia afuera, a través de la superficie cortada en el
cilindro parabólico z = 4 − y 2 por los planos x = 0, x = 1 y z = 0.
rgeraldop
11. Calcular las integrales de superficie que se indican:
ZZ
a)
(x, y, 0) · dS donde S es la superficie cerrada con normal hacia afuera dada por S = {(x, y, z) :
S
x2 + y 2 = z, z ≤ 1 } ∪ {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, z = 1}
ZZ
(x2 , y 2 , 2z 2 ) · dS y S es el cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] con normal apuntando hacia afuera.
b)
Z ZS
(x, y, 0) · dS donde S es la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con z ≥ 0 y vector normal apuntando
c)
S
hacia afuera.
rgeraldop