Guía de Ejercicios MAT-024

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Guía de Ejercicios
MAT-024
1. Calcule el aŕea de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y
z = 1.
2. Calcule el ŕea de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada por encima del plano z = 0 y limitada
por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax.
3. Calcular el área de la porción de la superficie z = x2 + (y − 1)2 comprendida entre los planos z = 1 y
z = 4.
4. Determine el área que es recortada de la superficie en forma de silla de montar z = xy por el cilindro
x2 + y 2 = 1
5. Determine el área de la elipse cortada del plano z = cx (c constante) por cilindro el cilindro x2 + y 2 = 1.
6. Rotamos la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje y. Demostrar que el área de la superficie generada
de este modo (superficie de revolución) está dada por
ˆ
b
p
|x| 1 + [f 0 (x)]2 dx
A = 2π
a
Use lo anterior para calcular el área de la superficie obtenida haceiendo girar la curva y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1,
alrededor del eje y.
7. Determine el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada entre los planos z = 0 y
x + 2z = 3.
¨
8. Hallar
f (x, y, z) dS, en cada uno de los casos siguientes:
S
a) f (x, y, z) = x2 y S es el trozo del plano x = z contenido dentro del cilindro x2 + y 2 = 1.
p
b) f (x, y, z) = x y S es el trozo del cilindro x2 + y 2 = 2x con 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 .
c) f (x, y, z) = x y S es la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 situada en el primer octante.
d ) f (x, y, z) = r−n , donde S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 y r es la distancia que hay desde el punto
de la esfera a al punto fijo P = (0, 0, c) con c > R.
e) f (x, y, z) = xy + 1 y S es la parte del paraboloide z = x2 + y 2 que está en el interior del cilindro
x2 + y 2 = 4.
f ) f (x, y, z) = x + y + z y S es la superficie del cubo cortado del primer octante por los planos x = a,
y = a y z = a.
¨
9. Calcule
F · n dS donde n es el vector normal que apunta hacia arriba de la superficie.
S
a) F(x, y, z) = (0, 2y, 2z) y S es la parte del plano z = 3x + 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 4.
b) F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) y S es la superficie acotada determinada por el paraboloide z = 4 − y 2 y los
planos x = 0 y x = 1 y z = 0.
˜
10. Calcule s F · n dS donde F(x, y, z) = (x3 − 3x, y 3 + xy, z 3 − xz) y S es la región determinada por
x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 y y ≤ x
11. Calcule el flujo del campo F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) hacia afuera, a través de la superficie cortada en el
cilindro parabólico z = 4 − y 2 por los planos x = 0, x = 1 y z = 0.
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