CONTINUIDAD La existencia de un límite

INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
CONTINUIDAD
Docente: Carlos Andres Vélez
Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no sufre interrupción en
c, que ni se rompe ni tiene saltos ni huecos.
La continuidad de una función en x = c se destruye por alguna de las siguientes causas:
➢
➢
➢
la función no esta definida en x = c.
El límite de f(x) en x = c no existe.
El límite de f(x) en x = c existe, pero no coincide con f(c).
Continuidad en un punto.
condiciones:
Una función f se dice continua en c si se verifican las
1. f(c) está definido.
2.
lim f  x 
existe
x c
3.
lim f  x = f c
x c
Continuidad en un intervalo abierto. Una función f se dice continua en un intervalo (a,b) si
lo es en todos los puntos de ese intervalo.
Se dice que f es discontinua en c si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c
(excepto quizás en c) y f no es continua en c. existen dos categorías de discontinuidad:
evitables y no evitables. Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede
hacerse continua redefiniéndola en x = c.
La existencia de un límite
Si f es una función y c, L números reales, entonces:
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lim f  x = L
sí y solo si
x c
lim f  x = f c
x c
−
y
lim f  x = f c

x c
Definición de continuidad en un intervalo
cerrado
Si f está definida en un intervalo cerrado [a,b], continua en (a,b) y
lim f  x = f a
y
x a

lim f  x = f b
x b
−
se dice que f es continua en [a,b].
Propiedades de las funciones continuas
Si b es un número real y f, g continuas en x = c, también son continuas en c las funciones:
1. Múltiplo escalar: bf
2. Producto: fg
3. Suma y diferencia: f ± g
4. Cociente:
f
g
si g(c) ≠ 0
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Tabla de funciones continuas
Las siguientes funciones son continuas en todo punto de su dominio:
1. Polinomios: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
2. Racionales: r(x) = p(x) / q(x),
3. Radicales :
q(x) ≠ 0
n
f  x =  x
4. Trigonométricas:
sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x
Continuidad de una función compuesta
Si g es continua en c y f lo es en g(c), la función compuesta dada por f○g(x) = f(g(x)) es
continua en c.
Teorema del valor intermedio
Si f es continua en [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un
número c entre a y b tal que f(c) = k.
Definición de límites infinitos
La afirmación
lim f  x =∞
x c
significa que para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) > M siempre que 0 < |x-c| < δ.
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lim f  x =−∞
La afirmación
x c
significa que para cada N <> 0 existe un δ > 0 tal que f(x) < N siempre que 0 < |x-c| < δ.
Asíntotas verticales
Definición: Si f(x) tiende a + ∞ (o - ∞) cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha,
diremos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f.
Sean f y g continuas en un intervalo abierto conteniendo a c. Si f(c) ≠ 0, g(c) = 0, y existe un
intervalo abierto conteniendo a c tal que g(x) ≠ 0 para todo x ≠ c en el intervalo, entonces la
gráfica de la función dada por
f  x
F  x=
g  x
tiene una asíntota vertical en x = c.
Propiedades de los límites infinitos
Si c, L son números reales y f, g son funciones tales que
lim f  x =∞
y
x c
lim g  x= L
x c
entonces las siguientes propiedades son válidas:
1. Suma o diferencia:
lim [ f  x±g  x]=∞
xc
2. producto:
lim [ f  x g  x]=∞ , L > 0
xc
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lim [ f  x g  x]=−∞ L < 0
xc
3. Cociente:
g  x
lim
=0
f  x
xc
propiedades similares aplican si
lim f  x =−∞
x c
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