Medidas - Apuntes y ejercicios de matemáticas, Egor Maximenko

Medidas
Objetivos. Definir la noción de medidas y estudiar sus propiedades básicas.
Requisitos. Sigma-álgebras de conjuntos, series de números, conjuntos numerables y no
numerables, sucesiones monótonas de conjuntos.
1. Definición (sucesión disjunta de conjuntos). Sea (Aj )j∈N una sucesión de conjuntos. Decimos que los elementos de la sucesión son disjuntos por pares o brevemente que
la sucesión es disjunta si
∀j, k ∈ N
(j 6= k)
=⇒
Aj ∩ Ak = ∅.
2. Definición (medida). Sea X un conjunto y sea F una σ-álgebra sobre X. Una función
µ : F → [0, +∞] se llama medida (o medida positiva) si µ(∅) = 0 y µ es σ-aditiva. Lo
último significa que para cualquier sucesión disjunta (Aj )j∈N ∈ FN se cumple la igualdad
!
[
X
µ
Aj =
µ(Aj ).
j∈N
j∈N
Notemos que el lado izquierdo de esta igualdad está bien definido pues
Ambos lados de esta igualdad pueden ser iguales a +∞.
S
j∈N
Aj ∈ F.
3. Definición (medida compleja o carga). La definición es similar, pero µ : F → C.
4. Sea µ : F → [0, +∞] una función σ-aditiva tal que µ(A) < +∞ para algún A ∈ F.
Entonces µ(∅) = 0.
Ejemplos triviales de medidas
En cada uno de los siguientes ejemplos hay que demostrar que µ es una medida.
5. Medida de conteo. Sea X un conjunto. Pongamos F = 2X y definamos la función
µ : F → [0, +∞] de la siguiente manera:
(
+∞, si A es infinito;
µ(A) :=
|A|, si A es finito.
Aquı́ |A| es el número de elementos del conjunto A, esto es, la cardinalidad de A.
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6. Sea X un conjunto, sea F = 2X y sea x0 ∈ X. Definamos µ : F → [0, +∞] de la
siguiente manera:
(
1, si x0 ∈ A;
µ(A) :=
0, si x0 ∈
/ A.
7. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subconjuntos finitos o numerables de X. Como ya hemos visto, la siguiente colección de conjuntos
es una σ-álgebra sobre X:
F := A ⊂ X : A ∈ N ∨ Ac ∈ N .
Definimos µ : F → [0, +∞] mediante la regla
(
0,
A ∈ N;
µ(A) :=
+∞, Ac ∈ N.
Propiedades elementales de las medidas
Suponemos que F es una σ-álgebra sobre X y que µ : F → [0, +∞] es una medida.
8. Propiedad aditiva. Sean A1 , . . . , Am ∈ F conjuntos disjuntos, es decir, Ai ∩ Aj = ∅
siempre que i 6= j. Entonces
!
m
m
X
[
µ
µ(Ai ).
Ai =
i=1
i=1
9. Sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B. Entonces
µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).
10. Propiedad monótona. Sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B. Entonces µ(A) ≤ µ(B).
11. Sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B y µ(A) < +∞. Entonces µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
12. Continuidad por abajo. Sea (Ai )∞
en F, esto es, Ai ⊂ Ai+1
i=1 una sucesión creciente S
para todo i. Denotemos por B a la unión de esta sucesión: B := ∞
i=1 Ai . Entonces
µ(B) = lim µ(Ai ).
i→∞
Idea:
∞
[
i=1
Ai =
∞
[
Dk , donde Dk = Ak \ Ak−1 y A0 = ∅.
k=1
∞
13. Continuidad por arriba.
T∞ Sea (Ai )i=1 una sucesión decreciente en F, esto es, Ai+1 ⊂
Ai para todo i. Sea B = i=1 Ai . Se supone que µ(A1 ) < +∞. Demuestre que
µ(B) = lim µ(Ai ).
i→∞
14. Ejercicio. Muestre con un ejemplo que la condición µ(A1 ) < +∞ en la proposición
anterior es esencial, es decir, sin esta condición la afirmación no es correcta.
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Propiedad subaditiva de la medida
15. Propiedad subaditiva, el caso de dos conjuntos. Sean A, B ∈ F. Entonces
µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B).
16. Propiedad subaditiva, el caso finito. Sean A1 , . . . , An ∈ F. Entonces
!
n
n
[
X
µ
An ≤
µ(Ai ).
i=1
i=1
17. Proposición (propiedad subaditiva, el caso numerable). Sea (Ai )i∈N una sucesión en F. Entonces
!
∞
∞
[
X
µ
Ai ≤
µ(Ai ).
i∈N
i∈N
Idea de demostración. Definamos conjuntos Uk , k ∈ N, como “uniones parciales” de la
sucesión (Ai )i∈N :
[
Ai .
Uk =
i≤k
Es fácil ver que
[
Ai =
i∈N
[
Uk .
k∈N
P
Además (Uk )k∈N es una sucesión creciente de conjuntos y µ(Uk ) ≤ i≤k µ(Ai ). Por lo
tanto,
!
!
[
[
X
X
µ
Ai = µ
Uk = lim µ(Uk ) ≤ lim
µ(Ai ) =
µ(Ai ).
i∈N
k∈N
k→∞
k→∞
i≤k
i∈N
18. Ejercicio. Haga la demostración con todos los detalles.
19. Corolario (unión de una sucesión de conjuntos de medida cero). Sea (Ai )i∈N
una sucesión en F tal que µ(Ai ) = 0 para todo i ∈ N Entonces
!
[
µ
Ai = 0.
i∈N
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Medidas σ-finitas
20. Criterio de que una medida es σ-finita. Sea (X, F, µ) un espacio con medida.
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) Existe una sucesión
S (Ai )i∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(Ai ) < +∞ para
todo i ∈ N y X = i∈N Ai .
(b) Existe una sucesión creciente
S (Bi )i∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(Bi ) < +∞
para todo i ∈ N y X = i∈N Bi .
(c) Existe una sucesión (Ci )i∈N de conjuntos
S disjuntos por pares, F-medibles y tales que
µ(Ci ) < +∞ para todo i ∈ N, y X = i∈N Ci .
Si µ cumple con estas condiciones, entonces se llama σ-finita.
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