Teorema de la probabilidad total

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Probabilidades
Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de
ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las
probabilidades de P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la siguiente
expresión:
P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) + … + P(An) · P(B/An)
Actividad propuesta
Se tienen tres recipientes, A, B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de
chocolate, el B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla y el C contiene 2 de chocolate y 1 de
vainilla. Se elige un recipiente al azar y se coge también una galleta al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que sea de chocolate?
RESOLUCIÓN:
V: Suceso “galleta de vainilla"
;
Ch: Suceso “galleta de chocolate"
NOTA: Se supone que se cogen cualesquiera de los 3 recipientes con igual probabilidad.
A: Recipiente A
;
B: Recipiente B
;
C: Recipiente C
(*) Intersección de sucesos dependientes
P(V/A) = 3/5
P(A) = 1/3
P(Ch/A) = 2/5
P(V/B) = 2/5
P(A ∩ V) = P(A) · P(V/A) (*)
= 3/15
P(A ∩ Ch) = P(A) · P(Ch/A) (*)
= 2/15
P(B ∩ V) = P(B) · P(V/B) (*)
= 2/15
P(B) = 1/3
P(Ch/B) = 3/5
P(V/C) = 1/3
P(B ∩ Ch) = P(B) · P(Ch/B) (*)
= 3/15 = 1/5
P(C ∩ V) = P(C) · P(V/C) (*)
= 1/9
P(C) = 1/3
P(Ch/C) = 2/3
P(C ∩ Ch) = P(C) · P(Ch/C) (*)
= 2/9
P(Ch) =
Aplicamos el teorema de la Probabilidad Total:
P(A ∩ Ch) + P(B ∩ Ch) + P(C ∩ Ch) =
=
2 3 2
+ + =
15 15 9
= 5/9
 Abel Martín & Marta Martín Sierra - www.aulamatematica.com