Tarea 14 - Escuela de Fisica - Universidad Central de Venezuela

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Mecánica Cuántica (2431)
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/mecanicacuantica.html
Tarea 14
Teoría de perturbación estacionaria
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/mecanicacuantica(t14).pdf
1 ) Una partícula de masa m en un potencial de oscilador armónico V (x) = m! 2 x2 =2 está
^ 0 = x2 . (a) Encuentre el espectro de energía
sujeta a una pequeña perturbación del mismo tipo H
exactamente. (b) Expanda la expresión obtenida en (a) para pequeño hasta tercer orden. (c)
Calcule la perturbación de primer orden de la energía según lo aprendido en clase. (d) Compare
los resultados obtenidos en (b) y (c).
2 ) Como usted sabe, las autofunciones no-perturbadas para el pozo cuadrado in…nito son:
r
2
n x
(0)
sin
, n = 1; 2; ::: .
n (x) =
a
a
Suponga que perturbamos el sistema subiendo el piso del pozo en la cantidad V0 . En ese caso se
^ 0 = V0 . (a) Encuentre la corrección de primer orden para la energía del estado enésimo.
tiene que H
(b) ¿Que pasa con las correcciones de mayor orden? (c) Encuentre también la corrección de primer
orden para las autofunciones.
3 ) Como es bien conocido, las p
energías permitidas para el oscilador armónico son En = ~!(n +
(1=2)), n = 0; 1; 2; ::: , donde ! = k=m es la frecuencia clásica. Ahora suponga que la constante
del resorte se incrementa ligeramente: k ! (1 + )k (quizás el resorte se enfrió y se hizo menos
‡exible). (a) Encuentre las nuevas energías (exactas) y expanda esta expresión en una serie de
potencias de hasta segundo orden. (b) A continuación, calcule la perturbación de primer orden
^ 0 aquí? Compare su resultado con el obtenido
de la energía según lo aprendido en clase ¿Quien es H
en la parte (a).
4 ) Considere una partícula cargada, de masa m, en el potencial
V (x) =
m! 2 2
x
2
q"x.
La carga de la partícula es q y " es un campo eléctrico externo. (a) Muestre que un simple cambio
de variables resuelve completamente este problema en términos de las soluciones del problema con
el potencial x2 estándar. (b) Encuentre los nuevos autovalores de la energía y las autofunciones.
(c) Muestre que para un valor particular de ", la energía para el estado base se puede anular. (d)
^ 0 = q"x
Suponga ahora que la interacción debida al campo eléctrico es una pequeña perturbación H
sobre el Hamiltoniano no-perturbado. Encuentre las correcciones de primer y segundo orden de la
energía ¿Que encontró? Compare con el resultado obtenido en (b).
5 ) Considere el potencial híbrido consistente en la suma de un potencial para un pozo cuadrado
in…nito (simétrico): V1 (x) = 0, para jxj < a y V1 (x) = 1, para jxj a; y la función delta en el
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origen, es decir, V (x) = V1 (x) + g (x). En este caso la perturbación es precisamente la función ,
^ 0 = g (x). Ayuda: la aplicación explícita de las condiciones de frontera para el problema
así que H
"full" requiere que las autofunciones impares se anulen en el origen, lo cual nos lleva a los mismos
niveles de energía que tiene el problema con el pozo in…nito solo. En el caso de las autofunciones
pares la ecuación para los autovalores es = 2y cot(y), donde
2mag=~2 y E = ~2 y 2 =2ma2 .
Se puede demostrar que la energía para el estado base, al ser expandida hasta segundo orden en ,
nos da:
~2 2
~2
~2
2
Eground
+
+
.
(5.1)
8ma2
2ma2
2 2 ma2
(a) Encuentre la corrección en primer orden de la energía usando la teoría de perturbaciones. Nota:
usted deberá demostrar que este resultado es independiente de n para todos los estados pares. (b)
Encuentre ahora la corrección en segundo orden para la energía. Nota: el siguiente resultado le
será útil:
1
X
1
1
S
= .
2
(2k 1)
1
4
k=2
(c) Compare los resultados (a) y (b) con la expansión dada en (5.1).
6 ) Considere a una partícula en el interior de una caja (pozo de potencial in…nito) y sometida
además al potencial V (x) = A sin( x=a), 0 < x < a (el potencial para el resto de valores de x es
in…nito). Suponiendo que el potencial V (x) se puede tratar como una perturbación del de la caja,
calcúlese en primer orden de la teoría de perturbaciones los autovalores de la energía, así como la
función de onda del estado fundamental. Ayuda: la siguiente integral le será útil:
Z
2
du cos(2nu) sin(u) =
.
2
4n
1
0
Aquí tiene la respuesta para la función de onda del estado fundamental en primer orden:
r
r
2
x
16ma2 A X
1
2
n x
sin
+
sin
.
1 (x) =
2
3
2
2
a
a
~
(n
4)(n
1) a
a
n=3;5;:::
7 ) Considere un átomo hidrogenoide cuyo núcleo se considera como una esfera de radio R
cargada uniformemente, siendo su carga total +Z jej, donde Z es el número atómico y e es la carga
del electrón. Suponiendo que la diferencia entre el potencial electrostático creado por dicha esfera
V (r) =
Ze2
2R
3
r2
R2
, r
R
Ze2
, r R
r
y el potencial puramente coulombiano para una carga puntual
V (r) =
V (r) =
Ze2
, r>0
r
puede tomarse como una perturbación, calcule en
energía fundamental de ese átomo. (a) Demuestre
región r R tiene el valor:
2
^ 0 = Ze 3
H
2R
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primer orden de la teoría de perturbaciones la
que la perturbación es nula para r R y en la
r2
R2
+
Ze2
.
r
(b) Como es bien sabido, la función de onda no perturbada del nivel fundamental es
(0)
1 (r)
=p
1
a3
r
,
a
exp
donde a = a0 =Z, siendo a0 el radio de Bohr, sin embargo, ya que no existen átomos (estables)
con número atómico apreciablemente mayor que 100, y como a0 = 5 104 F y el radio nuclear es
(0)
menor que 10 F, se deduce que R
a y en consecuencia la función de onda 1 (r) puede tomarse
(0)
prácticamente como una constante en r
R: 1 (r) ' ( a3 ) 1=2 . Demuestre que la energía del
nivel fundamental, en primer orden de la teoría de perturbaciones, puede escribirse así:
"
#
Z 2 e2
2 ZR 2
E1 =
1
.
2a0
5 a0
Evidentemente, el primer factor del segundo miembro es la energía "no perturbada", es decir, la
que corresponde a un núcleo puntual.
8 ) Una partícula de masa m se mueve en una dimensión en el potencial del oscilador armónico
V (x) = m! 2 x2 =2. Como usted sabe, en el límite no-relativista, donde la energía cinética T y el
momentum p están relacionadas por T = p2 =2m, la energía para el estado base es E0 = ~!=2.
Estudie las correcciones relativistas en la relación entre T y p y estime la energía para el estado
base hasta el orden 1=c2 usando teoría de perturbaciones (en primer orden). Ayuda: (a) La energía
cinética relativista hasta el orden 1=c2 es
T
E
mc2 =
p
(mc2 )2 + (cp)2
mc2 =
p2
2m
p4
8m3 c2
¡Demuéstrelo! De esta forma, el Hamiltoniano del sistema puede escribirse así
2
2
p^4
^ =H
^ (0) + H
^ 0 = p^ + m! x
^2
.
H
2m
2
8m3 c2
D
E
D
E
(0)
(0) ^ (0) (0)
(1)
(0) ^ 0 (0)
(b) ¿Quien es E0 =
;
H
?
(c)
Calcule
E
=
;
H
. Aquí tiene la autofunción
0
0
0
0
0
(normalizada) para el estado base
(0)
0 (x)
=
m!
~
1=4
exp
m! 2
x .
2~
(d) Escriba …nalmente la energía para el estado base en primer orden de la teoría de perturbaciones:
(0)
(1)
E0 = E0 + E0 .
9 ) Un oscilador armónico simple unidimensional está sujeto a un pequeño potencial perturbador
0
^
H = =(x2 +a2 ). Calcule la
energía del estado base del oscilador en primer orden
pcorrección para lap
en en los casos (a) a
~=m!. (b) a
~=m!. Ayudas: la función de onda (normalizada)
para el estado base de un oscilador armónico simple es
(0)
0 (x)
y
=
Z
m!
~
+1
1
1=4
exp
m! 2
x ,
2~
dx
= ,
x2 + a2
a
62
y
Z
+1
dx exp( r2 x2 ) =
1
p
r
, (r > 0).
10 ) Considere un oscilador armónico unidimensional de frecuencia !. Como es usual, los
autoestados de la energía se denotan con la letra n, arrancando desde n = 0. Al potencial del
^ 0 = V (x). En
oscilador armónico original se le añade una perturbación independiente del tiempo H
vez de darse la forma de la perturbación V (x), se conocen explícitamente sus elementos matriciales,
que están calculados en la base de los autoestados no perturbados. Los elementos matriciales de
^ 0 son nulos, a menos que m y n sean pares. Una pequeña porción de la matriz se muestra abajo,
H
donde " es una constante pequeña sin dimensiones. Nota: Los índices de esta matriz corren desde
n = 0 a n = 4.
p
p
0
1
1
0
1=2 0
3=8
B
C
0
0
0
B p0
C
p0
~! B
1=2 0
1=2
0
3=16 C
B
C.
@
A
0
0
0
p0
p0
3=8 0
3=16 0
3=8
(a) Encuentre las nuevas energías para los cinco primeros niveles de energía hasta primer orden en
(0)
(1)
la teoría de perturbaciones: En = En + En . (b) Encuentre las nuevas energías para n = 0 y
(0)
(1)
(2)
n = 1 hasta segundo orden en teoría de perturbaciones: En = En + En + En .
11 ) Como usted sabe de la mecánica clásica, la energía para el problema del péndulo de masa
m y longitud l (en la aproximación de ángulos pequeños) es
1
1
2
E = ml2 _ + mgl 2 .
2
2
(a) Comparando esta expresión con la del oscilador armónico (clásico) unidimensional, obtenga
los niveles de energía cuantizados En para el problema del péndulo. (b) Tomando la posición de
equilibrio del péndulo como el punto cero de la energía potencial se tiene que V (x) = mgl(1 cos( )).
Halle la aproximación en ángulos pequeños para V (x). (c) De…niendo la perturbación como H 0 =
mgl(1 cos( )) mgl 2 =2, encuentre la aproximación en ángulos pequeños para H 0 . (d) Escriba el
^ 0 (con x = l ) y encuentre la corrección en el orden más bajo para la energía del estado
operador H
D
E
(1)
^ 0 0 . Ayuda: La función
base (que resulta de la aproximación en ángulos pequeños): E0 = 0 H
de onda para el estado base del oscilador armónico puede escribirse así
r
1 2 2
(0)
exp
x ,
0 (x) =
1=2
2
p
con = m!=~.
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