Método de Newton

Introducción a los Métodos Numéricos
Redactado por: Alejandra Mariel Reyes Salazar
Definición
Los métodos numéricos son técnicas de análisis mediante las cuales es posible formular
problemas de tal manera que se puedan resolver utilizando operaciones aritméticas.
Las técnicas más utilizadas son usadas para resolver:
ε
ε
ε
ε
ε
Ajuste de curvas
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones no lineales
Integración
Ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales)
Ecuaciones no lineales
Son funciones que no cumplen con los criterios de linealidad:
ε
Si su argumento es la suma de dos elementos, entonces deberá ser lo mismo
que la suma de la función con cada elemento (abrir sumas)
T(x + y) = T(x) + T(y)
ε
Si algún elemento de su argumento está siendo multiplicado por alguna
constante arbitraria, entonces deberá ser lo mismo que la constante
arbitraria multiplique a la función con el elemento como argumento (sacar
escalares) T(kx) = kT(x)
Polinomios, funciones radical, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, trigonométricas
inversas e hiperbólicas, son algunos ejemplos de ecuaciones no lineales. Las soluciones de este
tipo de ecuaciones se les llaman raíces.
Para resolver este tipo de ecuaciones, existen varios métodos numéricos que se pueden
clasificar de la siguiente manera.
Cerrados o acotados:
(Requieren de dos valores de
x que encierren a la raíz)
Abiertos:
(Requieren de un valor de x o
dos pero que no necesariamente
encierren a la raíz)
ε
Bisección
ε
Falsa posición (“Regula falsi”)
ε
Punto fijo (“Ping pong”)
ε
Newton-Raphson
ε
Secante
ε
Müller
En los ámbitos de la ciencia y la ingeniería es común encontrarse con problemas en los que
se requiera resolver ecuaciones no lineales que no se pueden resolver analíticamente o que
resulta muy difícil. Para estos casos, es recomendable utilizar algún método numérico. En este
documento nos enfocaremos exclusivamente al método de Newton-Raphson.
1
Método de Newton Raphson
Método de Newton-Raphson
Es uno de los métodos más usados en la ingeniería por llegar al resultado del problema
planteado de forma muy rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la
función por medio de su primera derivada.
Supóngase una función f (x) a la que se desea calcular su raíz. Evaluando un valor x1 cercano
a la raíz en la función y trazando una recta tangente al punto x1, f(x1) se obtiene un nuevo valor
x2 que es mucho más cercano a la raíz que x1.
y
f (x)
f (x1)
Raíz
x2
x3
x1
x
f (x2)
Para encontrar el valor de x2, se tomará la ecuación de la recta,
f ( x2 ) − f ( x1 ) = m( x2 − x1 )
Incógnita
Se supone que f (x2) sea igual a 0 para que x2 sea una raíz de f (x)
− f ( x1 ) = m( x2 − x1 )
Pero en el punto x1, f (x1) la pendiente m puede tomarse como f ’ (x1) por ser la mejor
aproximación a la pendiente en dicho punto.
− f ( x1 ) = f ' ( x1 )( x 2 − x1 )
x 2 − x1 = −
f ( x1 )
f ' ( x1 )
Y despejando x2.
x 2 = x1 −
f ( x1 )
f ' ( x1 )
2
Método de Newton Raphson
Si buscamos una mejor aproximación a la raíz utilizando este nuevo valor x2
x3 = x2 −
f ( x2 )
f ' ( x2 )
Si nuevamente se busca otra aproximación que es cada vez más cercana a la raíz,
x 4 = x3 −
f ( x3 )
f ' ( x3 )
Entonces podemos generalizar la ecuación de la siguiente manera,
xk +1 = xk −
f ( xk )
f ' ( xk )
k ∈Z+
que es la ecuación de Newton-Raphson.
Inconvenientes
¿Qué pasa en un punto crítico?
y
f ’ (x) = 0
f (x)
f ’ (x) = 0
x
Raíz
Se sabe por cálculo diferencial que un punto crítico es aquel valor de x que hace que la
primera derivada de una función sea 0 (f ‘ (x) = 0).
x 2 = x1 −
f ( x1 )
f ' ( x1 )
→
x2 = x1 −
f ( x1 )
0
El método de Newton-Raphson se indetermina en los puntos críticos por haber una división
por cero. En un punto crítico, este método es ineficaz porque la recta tangente nunca cruza el
eje de las abscisas y no se obtiene un nuevo valor de x.
3
Método de Newton Raphson
Si al resolver una ecuación, llegamos a un punto crítico, o que la primera derivada de la
función f ‘ (x) se aproxime a cero, se sugiere intentar un nuevo valor mayor o menor (sumando
o restando una unidad) o intentar un valor cercano a la raíz.
El método de Newton-Raphson además, resulta poco conveniente cuando se tenga una
función f (x) cuya primera derivada sea muy complicada obtener.
Otro inconveniente, es cuando se resuelva una función con raíces reales repetidas, como la
siguiente:
y
f (x) = x5
x
En las raíces que son repetidas, dicha raíz puede ser también un punto crítico o un punto de
inflexión, donde el método de Newton-Raphson es ineficaz. Como se puede notar en el gráfico
anterior, la raíz también es un punto de inflexión.
Naturalmente, este método funciona para obtener las raíces reales de las funciones, más no
raíces complejas. Las raíces complejas nunca cruzan el eje de las abscisas y su comportamiento
en las funciones produce puntos críticos o puntos de inflexión en dichas funciones.
Cuando se tenga una función que presente alguno de estos inconvenientes descritos, se
sugiere emplear otro método numérico, como Secante o Müller.
Algoritmo para encontrar raíces
1. Tomar una primera aproximación (x1)* cercana a la raíz. Si puede, haga un bosquejo de
f(x). Esto es para evitar los puntos críticos y resolver más rápido el problema.
2. Obtenga la primera derivada de la función (f ‘ (x)).
3. Evalúe x1 en la función f(x) y en la primera derivada f ‘ (x).
4. Sustituya los valores de x1, f(x1), f ‘ (x1) en la ecuación de Newton-Raphson para
encontrar una nueva aproximación x2.
x2 = x1 −
f ( x1 )
f ' ( x1 )
*En muchos libros de Métodos Numéricos en lugar de x1 utilizan la notación x0
como la primera aproximación a la raíz, siendo exactamente lo mismo en este texto.
4
Método de Newton-Raphson
5. Si x2 se aproxima a x1 en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar x2
como el valor de la raíz. Si no, volver a aplicar los pasos 3, 4 y 5 usando ahora el valor
de x2 y encontrar una nueva aproximación, hasta que se llegue a un resultado con la
tolerancia deseada.
A cada una de las repeticiones del algoritmo se le llama Iteración.
Algunos ejemplos
Los métodos numéricos se caracterizan porque tener algo en común: se tienen que realizar
muchos cálculos aritméticos para resolver problemas haciendo tedioso el aplicarlos. En este
documento se utilizó una hoja de cálculo de MS Excel para hacer los cálculos y encontrar las
raíces de las ecuaciones propuestas. Es recomendable que al aplicar algún método numérico
se utilice alguna hoja de cálculo, un programa o paquete de programación (como Matlab o
Scilab), o utilizar una calculadora.
a) Aproxime el valor de
2 hasta 5 decimales. Utilice x1 = 1
La incógnita es el valor positivo de la raíz cuadrada de 2. Por tanto se puede expresar como
x=
2
Elevando al cuadrado, se tiene que
x2 = 2
Por lo que es igual esto a,
f (x) = x2 – 2 = 0
Derivando con respecto a x,
f ‘ (x) = 2x
Para comenzar los cálculos, se debe empezar con un “valor inicial” de x, que es x1 para
obtener la nueva aproximación a la raíz. Con un bosquejo de la gráfica de la función, se puede
ver claramente que la raíz positiva está entre el 1 y el 2.
y
f (x) = x2 - 2
1
2
x
5
Método de Newton-Raphson
Utilizando el valor de x1 propuesto por el problema, en la siguiente tabla se muestran las
iteraciones que fueron realizadas, con sus respectivos valores de f (x) y de f ‘ (x) calculados.
Aproximación
x
1
f (x)
-1
f ' (x)
2
Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5
1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356
0.25 0.00694444 6.0073E-06 4.5106E-12
0
3 2.83333333 2.82843137 2.82842712 2.82842712
El problema pide aproximar el valor de la 2 hasta 5 decimales, refiriéndose a que 5
decimales sean constantes. En la iteración 4 se llega a las cifras decimales que requiere el
problema, por lo que se toma ese valor ( 2 ≈ 1.41421) como la solución del problema. Se
puede comprobar que este valor es muy aproximado al que se obtiene en una calculadora.
3
2
b) Obtenga la raíz real del siguiente polinomio: 4x - 10x + x - 1 = 0. Considere una
tolerancia de 1 x 10-5
En la mayoría de los problemas de libro el valor de x1 ya se nos proporciona. Pero en este
problema no se nos da el valor de x1. Sin embargo, el valor de x1 se puede obtener fácilmente
evaluando en el polinomio varios valores de x usando divisiones sintéticas.
Las divisiones sintéticas realizadas evaluando x = 1, x = 2, x = 3 se muestran a continuación:
4 -10
1
-1
4
-6
-6
-5
-5
-6
4
1
4 -10
1
-1
8
-2
-4
-3
-6
-7
4
2
4 -10
12
4
2
1
6
7
-1
21
20
3
Se nota claramente que hay un cambio de signo (de negativo a positivo) entre los valores 2 y 3,
por lo que entre estos dos valores hay una raíz. Cualquiera de los dos valores puede ser x1. Se
escogió 2 como x1.
La función y su respectiva primera derivada, son las siguientes:
f ( x) = 4 x 3 − 10 x 2 + x − 1 = 0
f ' ( x) = 12 x 2 − 20 x + 1
Una tolerancia de 1 x 10-5 implica que 5 decimales sean precisos, en otras palabras, que no
cambien dichas cifras decimales entre una iteración y otra.
Las iteraciones que se realizaron con sus respectivos resultados de x, f (x) y f ‘ (x) se muestran
en la tabla siguiente:
Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5
x
3 2.59183673 2.45549494 2.43973283 2.43952885 2.43952882
f (x)
20 4.05953302 0.38212977 0.00482053
8.02E-07 1.9984E-14
f ' (x)
49 29.7746772 24.2435659 23.6328986 23.6250351 23.6250338
En la iteración 5 se satisface la tolerancia requerida por el problema. Y se obtiene que la raíz
real del polinomio es x = 2.43952
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Método de Newton-Raphson
c) Encuentre el valor de n que satisfaga la siguiente ecuación:
n 4 n = 192
Para resolver este problema por el método de Newton-Raphson se puede aplicar
directamente con la función tal y como está, pero el obtener su primera derivada sería más
complicado. Para facilitar los cálculos se toman logaritmos de ambas partes de la ecuación,
( )
ln n 4 n = ln 192
Aplicando propiedades de los logaritmos,
ln(n) + n ln 4 = ln 192
Por lo que se puede expresar como una función de la variable n, que es mucho más sencilla
de derivar que la ecuación original.
f (n) = ln(n) + (ln 4)n − ln 192 = 0
Derivando con respecto a n,
f ' ( n) =
1
+ ln 4
n
Para empezar el cálculo de la nueva aproximación, se restringirá el uso de n = 0 porque la
función logaritmo no está definida para este valor de n. Y se tomará n1 = 1 por ser un valor
pequeño y sencillo de calcular en la función y en su derivada.
Las iteraciones realizadas con sus respectivos resultados se muestran en la tabla siguiente:
n
f (n)
f ' (n)
Aproximación Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5
1 2.62226466 2.99463958 2.99999907
3
3
-3.87120101 -0.65822634 -0.00921952 -1.5996E-06 -4.7962E-14
0
2.386294361 1.76764412 1.72022436 1.7196278 1.71962769 1.71962769
n
Sustituyendo n = 3 en la ecuación original n 4 = 192 , se comprueba que satisface la
ecuación y por tanto, es la raíz de la ecuación.
Aplicación a termodinámica: Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales.
La ecuación de estado para gases ideales es muy bien conocida para cualquier estudiante o
profesionista de Química o carreras afines.
pv = RT
donde
p = Presión
v = Volumen molar
R = Constante universal de los gases
T = Temperatura
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Método de Newton-Raphson
Siendo el volumen molar:
v=
V
n
V = Volumen del gas
n = Cantidad de sustancia (mol)
El modelo del gas ideal es el más sencillo de los que se utilizan en Fisicoquímica ya que
considera a las moléculas de los gases como partículas puntuales, que no tienen volumen y
que no interactúan entre ellas. Naturalmente, las moléculas de los gases sí ocupan un volumen
determinado y sí existen interacciones (sea de atracción o repulsión) entre ellas. Por tanto, las
propiedades de estado (presión, temperatura, volumen) que se calculen usando este modelo,
no son las que realmente tiene el sistema.
En el siglo XIX, Johannes Van der Waals propuso un nuevo modelo para gases reales
haciendo una corrección al modelo del gas ideal considerando las interacciones entre las
moléculas y el volumen que ocupa cada una de ellas. Van der Waals agrega 2 parámetros
adicionales que la diferencian de la ecuación de estado para gases ideales, que son a y b.
p=
RT
a
− 2
v −b v
Ecuación de estado de Van der Waals para gases reales
donde
p = Presión
v = Volumen molar
R = Constante universal de los gases
T = Temperatura
a = Parámetro de corrección para las fuerzas de atracción entre las moléculas
b = Parámetro de corrección para el volumen propio de las moléculas
A partir de esta ecuación propuesta por Van der Waals, surgieron muchas otras ecuaciones
de estado cúbicas similares que describen mejor el comportamiento de los gases y que son las
que se usan actualmente en la ingeniería (Peng-Robinson, Redlich-Kwong-Soave, etc.).
¿Por qué cúbicas? Desarrollemos la resta de fracciones.
RT
a
− 2
v−b v
RTv 2 − a (v − b)
p=
(v 2 )(v − b)
p=
pv 2 (v − b) = RTv 2 − a (v − b)
pv 3 − pbv 2 − RTv 2 + av − ab
pv 3 − ( pb + RT )v 2 + av − ab
La ecuación que resulta es una función del volumen molar. Por tanto, se puede expresar:
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Método de Newton-Raphson
f (v) = pv 3 − ( pb + RT )v 2 + av − ab = 0
Que es un polinomio de tercer grado (o cúbico) respecto al volumen molar. Los coeficientes
que acompañan a la variable v son siempre positivos, a excepción de aquellos que les anteceda
un signo negativo. Esto se justifica porque la presión, temperatura y las constantes (tanto R
como los parámetros de Van der Waals) son siempre positivas.
Analizando la función, se notan “3 saltos” (3 cambios) en los signos de los coeficientes de
f(v), por lo que hay 3 posibles raíces reales positivas. En f (-v), no hay ningún cambio de signo
en los coeficientes, por lo que no hay raíces reales negativas. Si completamos el cuadro de
signos de Descartes, se obtienen estas posibilidades:
ℝ
+
3
1
ℂ
0
0
0
2
Con el cuadro de signos ya completo, podemos afirmar que el primer renglón de la tabla no
tiene sentido físico (¿Puede un gas ocupar tres volúmenes diferentes a condiciones dadas de
presión y temperatura?), dejando al segundo renglón como la única posibilidad con sentido
físico: Sólo una raíz real positiva y dos raíces complejas.
¿Cómo calculamos el volumen molar de algún gas a ciertas condiciones de presión y
temperatura?
El polinomio de tercer grado respecto al volumen molar se puede resolver usando un
método analítico (método de Tartaglia-Cardano), pero resulta demasiado tedioso y poco
práctico aplicarlo. En cambio, un método numérico es la opción más viable para encontrar la
única raíz real. En este documento se usará el método de Newton-Raphson.
Algoritmo para resolver la ecuación del volumen molar de Van der Waals
1. Obtener la primera aproximación v1 usando la ecuación de estado del gas ideal.
v1 =
RT
p
2. Sustituir los valores que se tienen como dato (presión, temperatura y las constantes a,
b y R) en el polinomio cúbico. Esto es para facilitar los cálculos aritméticos.
3. Derivar el polinomio construido en el paso 2 con respecto al volumen molar.
4. Evaluar v1 en f (v) y en f ‘ (v)
5. Sustituir v1, f (v1) y f ‘ (v1) en la ecuación de Newton-Raphson para encontrar una
nueva aproximación al volumen real.
v k +1 = v k −
f (v k )
f ' (v k )
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Método de Newton-Raphson
6. Si vk+1 se aproxima a vk en las cifras decimales o tolerancia deseadas, entonces tomar
vk+1 como el valor de la raíz. Si no, iterar nuevamente ahora utilizando el valor de vk+1,
hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada.
Ejemplo
Utilizando la ecuación de estado para gases reales de Van der Waals, calcule el volumen
molar (v) que ocuparía n-butano en las condiciones siguientes. El valor deberá tener una
tolerancia de 1 x 10-6.
Constantes de Van der Waals:
p (atm) = 12
T (K) = 400
a (L2·atm/mol2) = 13.6844
R (L·atm/mol·K) = 0.082
b (L/mol) = 0.11639
La función del volumen y su respectiva primera derivada, después de sustituir los valores de
p, T, a, b y R en ellas, son:
f (v) = pv 3 − ( pb + RT ) v 2 + a v − ab = 0
f (v) = 12v 3 − 34.19668v 2 + 13.6844 v − 1.592727316 = 0
f ' (v) = 3 pv 2 − 2( pb + RT ) v + a
f ' (v) = 36v 2 − 68.39336 v + 13.6844
La tabla siguiente muestra los valores obtenidos en cada iteración.
v
f (v)
f ' (v)
Gas ideal
2.73333333
25.37654788
95.70254933
Iteración 1
Iteración 2
Iteración 3
Iteración 4
Iteración 5
2.46817271 2.40132840 2.39710964 2.39709322 2.39709322
4.29042372 0.24063462 0.00092906 0.00000001 0.00000000
64.18532997 57.03909365 56.59886362 56.59715323 56.59715320
Por lo que el volumen molar del n-butano a dichas condiciones es v = 2.397093 L/mol
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